2021学年1.5 全称量词与存在量词优质导学案

　第一章 集合与常用逻辑用语

1.5.1全称量词与存在量词

【课程标准】

1.理解全称量词、全称量词命题的定义.

2.理解存在量词、存在量词命题的定义.

3.通过学过的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义.．

【知识要点归纳】

1.全称量词与存在量词

（1）全称量词与全称命题

（2）存在量词与特称命题

【经典例题】

例1将下列命题用量词等符号表示，并判断命题的真假．

(1)所有实数的平方都是正数；

(2)存在一个实数，它的绝对值不是正数；

(3)任何一个实数除以1，仍等于这个实数；

(4)方程ax2＋2x＋1＝0(a<0)至少存在一个负根；

(5)有些整数是偶数

例2 判断下列量词命题的真假．

(1)对每一个无理数x，x2也是无理数．

(2)末位是零的整数，可以被5整除．

(3)∀x∈R，有|x＋1|>1.

(4)有的集合中不含有任何元素．

(5)存在对角线不互相垂直的菱形．

例3  已知命题“∀1≤x≤2，x2－m≥0”为真命题，求实数m的取值范围．

[变式]　若把本例中的“∀”改为“∃”，其他条件不变，求实数m的取值范围．

例4．若对于任意x∈R，都有ax2＋2x＋a<0，则实数a的取值范围是________．

例5. 命题：3mx2＋mx＋1>0恒成立是真命题，求实数m的取值范围．

【当堂检测】

一．选择题（共4小题）

1．下列命题含有全称量词的是　　

A．某些函数图象不过原点 B．实数的平方为正数 

C．方程有实数解 D．素数中只有一个偶数

2．若命题“任意， “是真命题，则实数的取值范围是　　

A． B． C．， D．，

3．下列命题中为真命题的是　　

A．， B．， 

C．， D．，

4．下列命题中是真命题的是　　

A．， B．， 

C．若，则”的逆命题 D．若，则”的逆否命题

二．填空题（共2小题）

5．设，，若是真命题，则实数的取值范围是　　．

6．命题，，若是真命题，则实数的取值范围为　　

三．解答题（共1小题）

7．设命题，，命题，．若，都为真命题，求实数的取值范围．

当堂检测答案

一．选择题（共4小题）

1．下列命题含有全称量词的是　　

A．某些函数图象不过原点 B．实数的平方为正数 

C．方程有实数解 D．素数中只有一个偶数

【分析】直接根据全称量词命题和存在量词命题的定义求解即可．

【解答】解：：某些函数图象不过原点，不是全部的意思，不是全称量词命题；

：实数的平方为正数即是所有实数的平方根都为正数，是全称量词命题；

：方程有实数解，不是全称量词命题；

：素数中只有一个偶数，不是全称量词命题；

故选：．

【点评】本题考查全称量词命题和存在量词命题的判断，属于基础题．

2．若命题“任意， “是真命题，则实数的取值范围是　　

A． B． C．， D．，

【分析】利用不等式恒成立，通过判别式小于等于0，列出不等式求解即可．

【解答】解：依题意，△，解得．

故选：．

【点评】本题考查不等式的恒成立问题，属于基础题．

3．下列命题中为真命题的是　　

A．， B．， 

C．， D．，

【分析】利用命题的真假对每个选项判断，全称特称量词命题定义判断即可．

【解答】解：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，

常见的存在量词还有：“有些”，“有一个”，“对某个”，“有”表示存在量词，

用符号的“彐”表示，特称命题的定义．

、，，△，错误．

、，，，△，错误．

、，，时，错误．

、，，，正确．

故选：．

【点评】本题考查命题的真假判断，全称特称量词命题判断即可．是基础题．

4．下列命题中是真命题的是　　

A．， B．， 

C．若，则”的逆命题 D．若，则”的逆否命题

【分析】直接利用排除法和命题的真假的判断求出结果．

【解答】解：对于选项，

对于，为假命题．

故错误，

对于选项

当时，逆命题不成立．

对于选项：若“，则”为假命题，故逆否命题为假命题．

故选：．

【点评】本题考查的知识要点：简易逻辑的应用，不等式的应用，等价命题的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．

二．填空题（共2小题）

5．设，，若是真命题，则实数的取值范围是　，　．

【分析】由含参不等式恒成立问题，得：，等价于△，解不等式即可得的取值范围．

【解答】解：若，，是真命题，则△，解得；

故的取值范围是：；

故答案为：，．

【点评】本题考查了全称量词及全称命题、含参不等式恒成立问题，属于简单题．

6．命题，，若是真命题，则实数的取值范围为　　

【分析】由含参不等式恒成立问题，得：，，等价于①当时，，显然恒成立，②当时，由题意有：，解得：，得解．

【解答】解：当是真命题时，即：，，

①当时，，显然恒成立，

②当时，由题意有：，解得：，

综合①②得：

实数的取值范围为：，

故答案为：．

【点评】本题考查了全称量词及全称命题、含参不等式恒成立问题，属简单题．

三．解答题（共1小题）

7．设命题，，命题，．若，都为真命题，求实数的取值范围．

【分析】分别求出命题，为真时实数的取值范围，进而求出结论．

【解答】解：若命题，为真命题，

则△，解得；

若命题，为真命题，

则△，

解得，，又，都为真命题，

实数的取值范围是，．

【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，是基础题．