人教A版 (2019)必修 第一册1.5 全称量词与存在量词学案设计

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学校为了迎接秋季田径运动会，正在排练由1 000名学生参加的开幕式团体操表演．这1 000名学生符合下列条件：
(1)所有学生都来自高二年级；
(2)至少有30名学生来自高二·一班；
(3)每一个学生都有固定表演路线.
上述条件中包含以下短语：“所有”“至少有”和“每一个”，这些短语在逻辑上称为什么？含有这些短语的命题称作什么命题？
知识点1 全称量词与全称量词命题
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．
(2)含有全称量词的命题，叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示．变量x的取值范围用M表示．那么全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)．
全称量词命题含有全称量词，有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充出来．例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”．
1.命题“自然数是正整数”是全称量词命题吗？它的量词是什么？
[提示] 是全称量词命题．它的量词是“所有的”(“每一个”等)．即所有的自然数都是正整数．
1.下列命题中是全称量词命题的有________．(填序号)
①任意一个偶数都能被2整除；
②有的矩形是正方形；
③三角形的内角和是180°.
[答案] ①③
2.“任意一个实数的平方都大于等于0”用符号“∀”可表示为________．
∀x∈R，x2≥0 [命题“任意一个实数的平方都大于等于0”，用“∀”符号可以表示为∀x∈R，x2≥0.]
知识点2 存在量词与存在量词命题
(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．
(2)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为∃x∈M，p(x)．
2.“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题？请改写成相应命题的形式．
[提示] 是存在量词命题，可改写为“存在x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”．
3.命题“有些长方形是正方形”含有的量词是________，该量词是________量词. (填“全称量词”或“存在量词”)
[答案] 有些 存在量词
类型1 全称量词命题与存在量词命题的
识别
【例1】 判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并用量词符号“∀”或“∃”表述下列命题．
(1)对任意x∈{x|x>－1},3x＋4>0成立；
(2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解；
(3)有些整数既能被2整除，又能被3整除；
(4)某个四边形不是平行四边形．
[解] (1)全称量词命题，表示为∀x∈{x|x>－1},3x＋4>0.
(2)全称量词命题，表示为∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解．
(3)存在量词命题，表示为∃x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除．
(4)存在量词命题，表示为∃x∈{y|y是四边形}，x不是平行四边形．
判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路
提醒：全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
1．下列语句中，是全称量词命题的是________，是存在量词命题的是________．
①菱形的四条边相等；
②所有含两个60°角的三角形是等边三角形；
③负数的立方根不等于0；
④至少有一个负整数是奇数；
⑤所有有理数都是实数吗？
①②③ ④ [①②③是全称量词命题；④是存在量词命题；⑤不是命题．]
类型2 全称量词命题与存在量词命题的真假
【例2】 (对接教材P27例题)判断下列命题的真假．
(1)任意两个面积相等的三角形一定相似；
(2)∃x，y为正实数，使x2＋y2＝0；
(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；
(4)∀x∈N，x2>0.
[解] (1)因为面积相等的三角形不一定相似．故它是假命题．
(2)因为当x2＋y2＝0时，x＝y＝0，
所以不存在x，y为正实数，使x2＋y2＝0，故它是假命题．
(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．
(4)因为0∈N,02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题．
全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法
(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x证明p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．
(2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p(x)成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
2．判断下列命题的真假．
(1)∀x∈R，x2＋1> eq \f(1,2) ；
(2)∃α，β∈R，(α－β)2＝(α＋β)2；
(3)存在一个数既是偶数又是负数；
(4)每一条线段的长度都能用正有理数表示；
(5)存在一个实数x，使等式x2＋x＋8＝0成立．
[解] (1)真命题，因为x2≥0，
所以x2＋1≥1，x2＋1>eq \f(1,2)恒成立．
(2)真命题，例如α＝0，β＝1，符合题意．
(3)真命题，如数－2，－4等，既是偶数又是负数．
(4)假命题，如边长为1的正方形的对角线长为eq \r(2)，它的长度就不是有理数．
(5)假命题，因为该方程的判别式Δ＝－31<0，故无实数解．
类型3 依据含量词命题的真假求参数
的取值范围
【例3】 命题p：存在实数x∈R，使得方程ax2＋2x－1＝0成立，若命题p为真命题，求实数a的取值范围．
判断方程ax2＋2x－1＝0是否为关于x的一元二次方程，由此思考命题为真的情况．
[解] 当a＝0时，方程为2x－1＝0，显然有实数根，满足题意；
当a≠0时，由题意可得ax2＋2x－1＝0有实根，得Δ＝4＋4a≥0，解得a≥－1，且a≠0.
综上可得a≥－1.
即实数a的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≥－1)))).
利用含量词的命题的真假求参数的取值范围
(1)含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数恒等式(如x2≥0)，确定参数的取值范围．
(2)含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助根的判别式等知识解决．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
3．若命题“p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0”是真命题，则实数m的取值范围是( )
A．m≥1B．m＞1
C．m＜1D．m≤1
B [命题p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，则Δ＜0，即m＞1.]
1．(多选)下列是全称量词的是( )
A．任意一个B．所有的
C．每一个D．很多
ABC [很明显A，B，C中的量词均是全称量词，D中的量词不是全称量词．故选ABC.]
2．下列命题中是存在量词命题的是( )
A．任何一个实数乘以0都等于0
B．任意一个负数都比零小
C．每一个正方形都是矩形
D．一定存在没有最大值的二次函数
D [D选项是存在量词命题．]
3．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( )
A．每个二次函数的图象都开口向上
B．存在一条直线与已知直线不平行
C．对任意实数a，b，若a－b≤0，则a≤b
D．存在一个实数x，使等式x2－2x＋1＝0成立
C [B，D是存在量词命题，故应排除；对于A，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象开口向下，也应排除，故应选C.]
4．命题p：∃x∈R，x2＋2x＋5＝0是________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)．
存在量词命题 假 [命题p是存在量词命题，
因为方程x2＋2x＋5＝0的判别式22－4×5<0，
即方程x2＋2x＋5＝0无实根，所以命题p是假命题．]
5．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“∃”或“∀”可表述为________．
∃x<0，使(1＋x)(1－9x)>0 [有些是存在量词．所以命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“∃”可表述为∃x<0，使(1＋x)(1－9x)>0.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．常见的全称量词有那些？用符号怎么表示？
[提示] 全称量词有：“所有的”“任意一个”等，并用符号“∀”表示．
2．常见的存在量词有那些？用符号怎么表示？
[提示] 存在量词有：“存在一个”“至少有一个”等，用符号“∃”表示．
3．全称量词命题如何用符号表述？存在量词命题呢？
[提示] 全称量词命题用符号简记为“∀x∈M，p(x)”存在量词命题用符号简记为“∃x∈M，p(x)”．
学 习 任 务
核 心 素 养
1．理解全称量词、全称量词命题的定义．(重点)
2．理解存在量词、存在量词命题的定义．(重点)
3．会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．(难点)
1．借助全称量词、存在量词的含义，培养数学抽象素养．
2．通过全称量词命题、存在量词命题的判断，提升逻辑推理素养.