2021学年第一章 集合与常用逻辑用语1.5 全称量词与存在量词精品学案设计

　第一章 集合与常用逻辑用语

1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定

【课程标准】

1. 能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定
2. 能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定

【知识要点归纳】

1.全称量词命题和存在量词命题的否定

1)        命题的否定：一般的，对命题p加以否定，就得到一个新命题，记作，读作“非p”或“p的 否定”（举例）

2)        全称量词命题和存在量词命题的否定

全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，

它的否定：                    

存在量词命题p：∃x0∈M，p(x0)，

它的否定：                     

3)        总结：改量词，否结论；p与必定一真一假

【知识辨析】

下列说法是否正确？

(1)存在量词命题的否定是一个全称量词命题．(　　)

(2)∃x∈M，使x具有性质p(x)与∀x∈M，x不具有性质p(x)的真假性相反．(　　)

(3)从存在量词命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．(　　)

(4)命题“非负数的平方是正数”的否定是“非负数的平方不是正数”．(　　)

【经典例题】

例1 写出下列全称量词命题的否定，并判断真假。

(1)任何一个平行四边形的对边都平行；

(2)；

(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有惟一解；

(4)可以被5整除的整数，末位是0.

例2写出下列存在命题的否定，并判断其否定的真假.

(1)有些实数的绝对值是正数；

(2)某些平行四边形是菱形；

(3)∃x0，y0∈Z，使得x0＋y0＝3.

(4)有的素数是偶数；

【当堂检测】

一．选择题（共5小题）

1．命题“，”的否定是　　

A．， B．， 

C．， D．，

2．命题有实数根，若是假命题，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

3．已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

4．命题，，则是　　

A．， B．， 

C． D．

5．已知命题，一元二次方程有实根；若是真命题，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

二．填空题（共2小题）

6．命题“，”为假命题，则实数的取值范围是　　．

7．已知“”是假命题，则实数的取值范围为　　．

三．解答题（共1小题）

8．写出下列命题的否定，并判断其真假：

（1），方程必有实根；

（2），使得．

当堂检测答案

一．选择题（共5小题）

1．命题“，”的否定是　　

A．， B．， 

C．， D．，

【分析】因为命题“，”为全称命题，其否定为特称命题，将“”改为“”，“ “改为“”即可．

【解答】解：命题“，”为全称命题，

命题的否定为：，，

故选：．

【点评】本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化问题，注意全称命题的否定为特称命题，反过来特称命题的否定是全称命题．

2．命题有实数根，若是假命题，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

【分析】因为方程最高项系数含参，所以需分类讨论，结合命题的真假，即可求出答案．

【解答】解：是假命题，则是真命题，有实数根，

当时，方程为，解得，有根，符合题意；

当时，方程有根，等价于△，且，

综上所述，的可能取值为．

故选：．

【点评】本题考查命题的真题，考查一元二次方程根的存在问题，考查分类讨论，属于中档题．

3．已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

【分析】根据特称命题的真假关系即可得到结论．

【解答】解：命题“，使”是假命题，

命题“，使”是真命题，

即判别式△，

即，

故选：．

【点评】本题主要考查含有量词的命题的真假应用，利用一元二次不等式的性质是解决本题的关键．

4．命题，，则是　　

A．， B．， 

C． D．

【分析】根据全称命题的否定是特称命题，写出其特称命题可得答案．

【解答】解：命题的否定是：，，

故选：．

【点评】本题考查了全称命题的否定．

5．已知命题，一元二次方程有实根；若是真命题，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

【分析】根据命题与的真假性相反得出是假命题，

利用△求出的取值范围．

【解答】解：命题，一元二次方程有实根；

若是真命题，则命题是假命题，

所以一元二次方程没有实根；

即△，解得；

所以实数的取值范围是．

故选：．

【点评】本题考查了命题与它的否定命题真假性相反的应用问题，是基础题．

二．填空题（共2小题）

6．命题“，”为假命题，则实数的取值范围是　，　．

【分析】写出特称命题的否定，可得全称命题为真命题，再由判别式小于等于0求解．

【解答】解：命题“，”为假命题，

则其否定“，”为真命题，

△，可得．

实数的取值范围是，．

故答案为：，．

【点评】本题考查特称命题的否定，考查数学转化思想方法，是基础题．

7．已知“”是假命题，则实数的取值范围为　　．

【分析】根据特称命题的性质进行求解即可．

【解答】解： “”是假命题，对任意的，，恒成立，

，对任意的，恒成立，

，当且仅当即时等号成立，

，

故答案为：．

【点评】本题主要考查特称命题的应用，将条件转化为求函数的最值是解决本题的关键．

三．解答题（共1小题）

8．写出下列命题的否定，并判断其真假：

（1），方程必有实根；

（2），使得．

【分析】命题的否定即命题的对立面．可根据如下规则书写：“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述．如“对所有的都成立”与“至少有一个不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”．

【解答】解：（1）．方程无实数根；

由于当时，方程的根的判别式△，

方程无实数根，故其是真命题．

（2），使得；

由于，

故其是真命题．

【点评】本题考查了命题的否定的写法与判断．属于基础题．