数学必修 第一册1.4 充分条件与必要条件学案

这是一份数学必修 第一册1.4 充分条件与必要条件学案，共6页。

课程标准
(1)理解充要条件的意义．(2)会判断一些简单的充要条件问题．(3)能对充要条件进行证明．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点 充要条件
1．如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有__________，又有________，就记作__________，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为________条件❶.
2．如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为 ________条件．
助 学 批 注
批注❶ p是q的充要条件意味着“p成立，则q一定成立；p不成立，则q一定不成立”．
基 础 自 测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．( )
(2)符号“⇔”表示具有等价性．( )
(3)若pq和qp有一个成立，则p一定不是q的充要条件．( )
(4)数学中的每一个定义都是一个充要条件．( )
2．设p：“两个三角形相似”，q：“两个三角形的三边对应成比例”，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C. 充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．在△ABC中，AB>AC是∠C>∠B的________条件( )
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
4．若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的________条件．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型 1 充要条件的判断
例1 (多选)在下列四个结论中，正确的有( )
A．“x2＞4”是“x3＜－8”的必要不充分条件
B．在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件
C．若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不为0”的充要条件
D．若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件
方法归纳
判定充要条件常用方法
巩固训练1 (1)命题“x＝1且y＝2”是命题“x2＋y2＝2x＋4y－5”的( )条件
A．充要 B．充分不必要
C．必要不充分 D．既不充分也不必要
(2)(多选)设r是p的必要条件，r是q的充分条件，s是r的充分必要条件，s是p的充分条件，则下列说法正确的有( )
A．r是q的必要条件
B．s是q的充分条件
C．s是p的充分必要条件
D．p是q的既不充分也不必要条件
题型 2 充要条件的证明
例2 求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
方法归纳
充要条件的证明思路
根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明．一般地，证明“p成立的充要条件为q”：
①充分性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p；
②必要性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.
巩固训练2 求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
题型 3 充要条件的探求
例3 已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．
方法归纳
探求充要条件的方法
巩固训练3 设a，b∈R，则“ab＋1＝a＋b”的充要条件是( )
A．a，b都为1 B．a，b不都为1
C．a，b中至少有一个为1 D．a，b都不为0
1.4.2 充要条件
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点
1．p⇒q q⇒p p⇔q 充要 2.充要
[基础自测]
1．答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√
2．解析：两个三角形相似⇔两个三角形的三边对应成比例，
即p⇔q，
故p是q的充要条件．
答案：C
3．解析：因为在△ABC中，边大则角大，角大边也大，
所以AB>AC是∠C>∠B的充要条件．
答案：C
4．解析：因为p⇔q，q⇔r，所以p⇔r，
所以p是r的充要条件．
答案：充要条件
题型探究·课堂解透
例1 解析：对于结论A，由x3＜－8⇒x<－2⇒x2＞4，但是x2＞4⇒x>2或x＜－2⇒x3<－8或x3＞8，不一定有x3＜－8，故A正确；对于结论D，由a2＋b2≠0⇒a，b不全为0，反之，由a，b不全为0⇒a2＋b2≠0，D正确．
答案：AD
巩固训练1 解析：(1)由x2＋y2＝2x＋4y－5，
可得(x－1)2＋(y－2)2＝0，
解得x＝1且y＝2，
所以“x＝1且y＝2”是“x2＋y2＝2x＋4y－5”的充要条件．
(2)由题意，p⇒r，r⇒q，r⇔s，s⇒p，则p⇔r⇔s⇒q.
答案：(1)A (2)BC
例2 证明：充分性：由ac<0可得b2－4ac>0及x1·x2＝ca<0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0，有两不相等的实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0，有一正根和一负根，∴Δ＝b2－4ac>0，x1·x2＝ca<0，∴ac<0.综上可知，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
巩固训练2 证明：①充分性：如果b＝0，那么y＝kx，
x＝0时y＝0，函数图象过原点．
②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点，
所以x＝0时y＝0，得0＝k·0＋b，b＝0.
综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
例3 解析：方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，则方程有两个大于1的实数根x1，x2：
⇔Δ=2k-12-4k2≥0，x1-1x2-1>0，x1-1+x2-1>0⇔k≤14，x1x2-x1+x2+1>0，x1+x2-2>0
⇔k≤14，k2+2k-1+1>0，-2k-1-2>0⇔k<－2.
所以使方程有两个大于1的实根的充要条件是k<－2.
巩固训练3 解析：由ab＋1＝a＋b可得：(a－1)(b－1)＝0，
∴a＝1或b＝1，故“a，b中至少有一个为1”是“ab＋1＝a＋b”的充要条件．
答案：C