高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.5 全称量词与存在量词导学案

《1.5.1全称量词与存在量词》导学案

参考答案

新课导学 

（一）新知导入

【问题1】

（1）“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”“凡是”等.

（2）表示某个范围内的整体或全部

（二）全称量词与存在量词

【思考1】   （1）（2）不是命题，（3）（4）是命题。

（3）是在（1）的基础上，用短语“所有”对变量x进行限定，从而变为可以判断真假的命题；（4）是在（2）的基础上，用短语“任意一个”对变量x进行限定，从而变为可判断真假的命题。

全称量词与全称量词命题

所有的   任意一个      ∀      全称量词

对M中任意一个x,有p(x)成立      ∀x∈M,p(x)      对任意x属于M,有p(x)成立

【思考2】（1）常用的全称量词还有“所有”“每一个”“任何”“任意”“一切”“任给”“全部”.

（2）不一定，命题具有全称量词所表达的含义,就是全称量词命题。

（3）全称量词命题是陈述某集合的所有元素都具有某种性质的命题。

【辩一辩】 (1)√　(2)√　(3)×

【做一做 】

(1)∀x∈{x|x>－1},3x＋4>0.

(2)∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解．

【思考3】 （1）（2）不是命题，（3）（4）是命题。

（3）是在（1）的基础上，用短语“存在一个”对变量x进行限定，从而变为可判断真假的命题；（4）是在（2）的基础上，用短语“至少有一个”对变量x进行限定，从而变为可以判断真假的命题。

存在量词与存在量词命题

  存在一个    至少有一个    ∃    存在量词 

存在M中的元素x,使p(x)成立    ∃x∈M,p(x)    存在M中的元素x,使p(x)成立

【思考4】（1）常用的存在量词还有“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”等.

（2）存在量词命题的存在量词一般不能省略；

（3）存在量词命题是陈述某集合中有（存在）一些元素具有某种性质的命题。

【辩一辩】(1)×　(2)√　(3)√

【做一做 】

(1)∃x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除．

(2)∃x∈{y|y是四边形}，x不是平行四边形．

例1. 【解析】①可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称量词命题．

②可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题．

③若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题．

④含存在量词“有些”，故为存在量词命题．

⑤可改写为：存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立．故为存在量词命题．

【巩固练习1】  (1)(3)(4)为全称量词命题

(2)为存在量词命题

（三）全称量词命题与存在量词命题的真假

1.判断全称量词命题与存在量词命题的真假

例2. [解析]　(1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，

所以“∃x∈Z，x3<1”是真命题．

(2)真命题，如梯形．

(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．

(4)因为0∈N,02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题．

【巩固练习2】　

[解析]  对于①，这是全称量词命题，因为≥0对任意实数都成立，所以＋1>0，故①为真命题；对于②，这是全称量词命题，因为当x＝－1时，2x＋1＞0不成立，故②为假命题；

对于③，这是存在量词命题，当x＝0或x＝1时，有x2≤x成立，故③为真命题；

对于④，这是存在量词命题，当x＝1时，x为29的约数成立，所以④为真命题．

[答案]  C

2.由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数

例3. [解析]　(1)由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，

所以B⊆A，B≠∅，所以解得2≤m≤3.

(2)q为真，则A∩B≠∅，

因为B≠∅，所以m≥2.所以解得2≤m≤4.

【巩固练习3】[解析]  由题意知，不等式2x>m(x2＋1)恒成立，

即不等式mx2－2x＋m<0恒成立．

(1)    当m＝0时，不等式可化为－2x<0，显然不恒成立，不合题意．

(2)    当m≠0时，要使不等式mx2－2x＋m<0恒成立，

则解得m<－1.

综上可知，所求实数m的取值范围是m<－1.

（四）操作演练  素养提升

[答案] 1.C    2.B   3.C     4.C