高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.5 全称量词与存在量词优秀学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.5 全称量词与存在量词优秀学案，共8页。

1．5.1 全称量词与存在量词


学习目标 1.理解全称量词、全称量词命题的定义.2.理解存在量词、存在量词命题的定义.


3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．





知识点 全称量词和存在量词











1．“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．( × )


2．全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．( √ )


3．“三角形内角和是180°”是全称量词命题．( √ )





一、全称量词命题与存在量词命题的辨析


例1 (1)下列语句不是存在量词命题的是 ( )


A．有的无理数的平方是有理数


B．有的无理数的平方不是有理数


C．对于任意x∈Z,2x＋1是奇数


D．存在x∈R,2x＋1是奇数


答案 C


解析 因为“有的”“存在”为存在量词，“任意”为全称量词，所以选项A，B，D均为存在量词命题，选项C为全称量词命题．


(2)给出下列几个命题：


①至少有一个x，使x2＋2x＋1＝0成立；


②对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立；


③对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立；


④存在x，使x2＋2x＋1＝0成立．


其中是全称量词命题的个数为( )


A．1 B．2 C．3 D．0


答案 B


解析 因为“至少有一个”、“存在”是存在量词，“任意的”为全称量词，所以①④为存在量词命题，②③为全称量词命题，所以全称量词命题的个数为2.


反思感悟 全称量词命题或存在量词命题的判断





注意：全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．


跟踪训练1 下列命题中全称量词命题的个数为( )


①平行四边形的对角线互相平分；


②梯形有两边平行；


③存在一个菱形，它的四条边不相等．


A．0 B．1 C．2 D．3


答案 C


解析 ①②是全称量词命题，③是存在量词命题．


二、全称量词命题与存在量词命题的真假判断


例2 判断下列命题的真假．


(1)∃x∈Z，x3<1；


(2)存在一个四边形不是平行四边形；


(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；


(4)∀x∈N，x2>0.


解 (1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，


所以“∃x∈Z，x3<1”是真命题．


(2)真命题，如梯形．


(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．


(4)因为0∈N,02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题．


反思感悟 全称量词命题和存在量词命题真假的判断


(1)要判断一个全称量词命题为真，必须对于给定集合的每一个元素x，命题p(x)为真；但要判断一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假．


(2)要判断一个存在量词命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真；要判断一个存在量词命题为假，必须对于给定集合的每一个元素x，命题p(x)为假．


跟踪训练2 指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假．


(1)∀x∈N,2x＋1是奇数；


(2)存在一个x∈R，使eq \f(1,x－1)＝0.


解 (1)是全称量词命题，因为∀x∈N,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．


(2)是存在量词命题．因为不存在x∈R，使eq \f(1,x－1)＝0成立，所以该命题是假命题．


三、由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数


例3 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅.


(1)若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；


(2)命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围．


解 (1)由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，


所以B⊆A，B≠∅，


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋1≤2m－1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5，))


解得2≤m≤3.


(2)q为真，则A∩B≠∅，


因为B≠∅，所以m≥2.


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋1≤5，,2m－1≥－2，,m≥2.))


解得2≤m≤4.


反思感悟 求解含有量词的命题中参数范围的策略


对于全称(存在)量词命题为真的问题，实质就是不等式恒成立(能成立)问题，通常转化为求函数的最大值(或最小值)．


跟踪训练3 若命题“对任意实数x,2x>m(x2＋1)”是真命题，求实数m的取值范围．


解 由题意知，不等式2x>m(x2＋1)恒成立，


即不等式mx2－2x＋m<0恒成立．


(1)当m＝0时，不等式可化为－2x<0，显然不恒成立，不合题意．


(2)当m≠0时，要使不等式mx2－2x＋m<0恒成立，


则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m<0，,4－4m2<0.))


解得m<－1.


综上可知，所求实数m的取值范围是m<－1.





1．下列语句不是全称量词命题的是( )


A．任何一个实数乘以零都等于零


B．自然数都是正整数


C．高二(一)班绝大多数同学是团员


D．每一个学生都充满阳光


答案 C


解析 “高二(一)班绝大多数同学是团员”，即“高二(一)班有的同学不是团员”，是存在量词命题．


2．下列命题中为全称量词命题的是( )


A．有些实数没有倒数


B．矩形都有外接圆


C．存在一个实数与它的相反数的和为0


D．过直线外一点有一条直线和已知直线平行


答案 B


3．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( )


A．每个二次函数的图象都开口向上


B．存在一条直线与已知直线不平行


C．对任意实数a，b，若a－b≤0，则a≤b


D．存在一个实数x，使等式x2－2x＋1＝0成立


答案 C


解析 B，D是存在量词命题，故应排除；对于A，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象开口向下，也应排除，故应选C.


4．下列命题，是全称量词命题的是________，是存在量词命题的是________(填序号)．


①正方形的四条边相等；


②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；


③正数的平方根不等于0；


④至少有一个正整数是偶数．


答案 ①②③ ④


解析 ①②③是全称量词命题，④是存在量词命题．


5．若对任意x>3，x>a恒成立，则a的取值范围是______________．


答案 a≤3


解析 对于任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，所以a≤3.





1．知识清单：


(1)全称量词命题、存在量词命题的概念．


(2)含量词的命题的真假判断．


(3)通过含量词的命题的真假求参数．


2．常见误区：有些命题省略了量词，全称量词命题强调“整体、全部”，存在量词命题强调“个别、部分”．








1．下列命题是“∀x∈R，x2>3”的另一种表述方式的是( )


A．有一个x∈R，使得x2>3


B．对有些x∈R，使得x2>3


C．任选一个x∈R，使得x2>3


D．至少有一个x∈R，使得x2>3


答案 C


2．存在量词命题“存在实数x，使x2＋1<0”可写成( )


A．若x∈R，则x2＋1>0 B．∀x∈R，x2＋1<0


C．∃x∈R，x2＋1<0 D．以上都不正确


答案 C


解析 存在量词命题中“存在”可用符号“∃”表示，故选C.


3．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( )


A．锐角三角形的内角是锐角或钝角


B．至少有一个实数x，使x2≤0


C．两个无理数的和必是无理数


D．存在一个负数x，使eq \f(1,x)>2


答案 B





4．给出下列三个命题：


①对任意的x∈R，x2>0；


②存在x∈R，使得x2≤x成立；


③对于集合A，B，若x∈A∩B，则x∈A且x∈B.


其中真命题的个数是( )


A．0 B．1 C．2 D．3


答案 C


解析 对于①，存在x＝0，使得x2＝0，故①是假命题；显然②③是真命题．


5．下列说法正确的是( )


A．对所有的正实数t，有eq \r(t)

B．存在实数x，使x2－3x－4＝0


C．不存在实数x，使x<4且x2＋5x－24＝0


D．任意实数x，使得|x＋1|≤1且x2>4


答案 B


解析 t＝eq \f(1,4)时，eq \r(t)>t，所以A选项错；由x2－3x－4＝0，得x＝－1或x＝4，因此当x＝－1或x＝4时，x2－3x－4＝0，故B选项正确；由x2＋5x－24＝0，得x＝－8或x＝3，所以C选项错；x＝0时，不成立，所以D选项错．


6．下列存在量词命题中真命题有________．


①有的实数是无限不循环小数；


②有些三角形不是等腰三角形；


③有的菱形是正方形．


答案 ①②③


7．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2>0”用“∃”写成存在量词命题为________．


答案 ∃x<0，(1＋x)(1－9x)2>0


解析 存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”．


8．下列命题中，是全称量词命题的有________．(填序号)


①有的实数是整数；②三角形是多边形；


③矩形的对角线互相垂直；④∀x∈R，x2＋2>0；


⑤有些素数是奇数．


答案 ②③④


9．判断下列命题的真假．


(1)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；


(2)存在一个实数x，使得等式x2＋x＋8＝0成立．


解 (1)假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为eq \r(2)，eq \r(2) 就不能用正有理数表示．


(2)假命题，方程x2＋x＋8＝0的判别式Δ＝－31<0，故方程无实数解．


10．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假：


(1)∃x，x－2≤0.


(2)三角形两边之和大于第三边．


(3)有些整数是偶数．


解 (1)存在量词命题．x＝1时，x－2＝－1≤0，故存在量词命题“∃x，x－2≤0”是真命题．


(2)全称量词命题．三角形中，任意两边之和大于第三边．故全称量词命题“三角形两边之和大于第三边”是真命题．


(3)存在量词命题.2是整数，2也是偶数．故存在量词命题“有些整数是偶数”是真命题．





11．下列全称量词命题中真命题的个数为( )


①对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab；


②二次函数y＝x2－ax－1与x轴恒有交点；


③∀x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.


A．1 B．2 C．3 D．0


答案 B


12．已知命题p：∀x∈R，x2＋2x－a>0.若p为真命题，则实数a的取值范围是( )


A．a>－1 B．a<－1 C．a≥－1 D．a≤－1


答案 B


解析 依题意不等式x2＋2x－a>0对x∈R恒成立，所以必有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.


13．若存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0，则实数a的取值范围为________．


答案 {a|a<1}


解析 当a≤0时，显然存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0；


当a>0时，需满足Δ＝4－4a2>0，得－1

故0

综上所述，实数a的取值范围是a<1.


14．若任意x∈R，函数y＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．


解 (1)当m＝0时，y＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R.


(2)当m≠0时，二次函数y＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，


即4m2＋4am＋1≥0恒成立．


又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，


恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，


解得－1≤a≤1.


综上所述，当m＝0时，a∈R；


当m≠0时，－1≤a≤1.





15．已知A＝{x|1≤x≤2}，命题“∀x∈A，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是( )


A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5


答案 C


解析 当该命题是真命题时，只需a≥(x2)max，x∈A＝{x|1≤x≤2}．又y＝x2在1≤x≤2上的最大值是4，所以a≥4.因为a≥4⇏a≥5，a≥5⇒a≥4，故选C.


16．已知函数y1＝xeq \\al(2,1)，y2＝－2x2－m，若对∀x1∈{x|－1≤x≤3}，∃x2∈{x|0≤x≤2}，使得y1≥y2，求实数m的取值范围．


解 因为x1∈{x|－1≤x≤3}，x2∈{x|0≤x≤2}，


所以y1∈{y|0≤y≤9}，y2∈{y|－4－m≤y≤－m}，


又因为对∀x1∈{x|－1≤x≤3}，∃x2∈{x|0≤x≤2}，使得y1≥y2，


即y1的最小值大于等于y2的最小值，


即－4－m≤0，


所以m≥－4.全称量词
存在量词
量词
所有的、任意一个
存在一个、至少有一个
符号
∀
∃
命题
含有全称量词的命题是全称量词命题
含有存在量词的命题是存在量词命题
命题形式
“对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”
“存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”