必修 第一册1.5 全称量词与存在量词学案

1.5　全称量词与存在量词

1.5.1　全称量词与存在量词

【学习目标】

【自主学习】

一 .全称量词与全称量词命题

1.全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做____________，并用符号“______”表示．

2.全称量词命题：含有____________的命题，叫做全称量词命题．

3.全称量词命题的表述形式：全称量词命题

“对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为__________________.

 二.存在量词与存在量词命题

1.存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做____________，并用符号“______”表示．

2.存在量词命题：含有存在量词的命题，叫做________________.

3.存在量词命题的表述形式：存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为__________________.

【小试牛刀】

思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)在全称量词命题和存在量词命题中，量词都可以省略．(　　)

(2)“三角形内角和是180°”是存在量词命题．(　　)

(3)“有些三角形没有内切圆”是存在量词命题．(　　)

(4) “有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．(　 　)

(5)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．(  　)

【经典例题】

题型一　全称量词命题与存在量词命题的辨析

点拨：全称量词命题与存在量词命题的判断

例1　判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题．

(1)凸多边形的外角和等于360°；

(2)有的向量方向不定；

(3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．

(4)存在二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴无交点．

【跟踪训练】1  将下列命题用“∀”或“∃”表示．

(1)实数的平方是非负数；

(2)方程ax2＋2x＋1＝0(a<0)至少存在一个负根.

题型二   全称量词命题和存在量词命题的真假判断

点拨：全称量词命题与存在量词命题真假的判断技巧

1.全称量词命题真假的判断:

要判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要判定全称量词命题是假命题,只需举出限定集合M中的一个x0,使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).

2.存在量词命题真假的判断:

要判定一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,找到一个x0,使p(x0)成立即可;否则,这一存在量词命题就是假命题.

例2 判断下列全称量词命题的真假．

(1)对每一个无理数x，x2也是无理数．

(2)末位是零的整数，可以被5整除．

(3)∀x∈R，有|x＋1|>1.

【跟踪训练】2 判断下列存在量词命题的真假．

(1)有的集合中不含有任何元素．

(2)存在对角线不互相垂直的菱形．

(3)∃x∈R，满足3x2＋2>0.

(4)有些整数只有两个正因数．

题型三   由含量词的命题求参数

点拨：解由含量词的命题的真假求参数的取值范围的问题时,一般先把命题的真假问题转化为集合间的关系问题,再转化为关于参数的不等式(组)求参数范围问题.

例3 已知命题“∀1≤x≤2，x2－m≥0”为真命题，求实数m的取值范围．

【跟踪训练】3  若把本例中的“∀”改为“∃”，其他条件不变，即已知命题“∃1≤x≤2，x2－m≥0”为真命题，求实数m的取值范围．

【当堂达标】

1.下列命题是“∀x∈R,x2>3”的另一种表述方式的是(　　)

A.有一个x∈R,使得x2>3          B.对有些x∈R,使得x2>3

C.任选一个x∈R,使得x2>3        D.至少有一个x∈R,使得x2>3

2.（多选）下列命题中为存在量词命题的是(　　)

A.有些实数没有倒数                         B.矩形都有外接圆

C.过直线外一点有一条直线和已知直线平行     D.∃x∈R，x2+x≤2

3.给出下列四个命题：①y＝⇔xy＝1；②矩形都不是梯形；③∃x，y∈R，x2＋y2≤1；④等腰三角形的底边的高线、中线重合．其中全称量词命题是________．

4.四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．

5.将下列命题用“∀”或“∃”表示．

(1)“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”；

(2）“任意一个不大于0的数的立方不大于0”.

6.已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},且B≠∅,若命题p:“∀x∈B,x∈A”是真命题,求实数m的取值范围.

【课堂小结】

一．易错提醒

1.注意全称量词命题和存在量词命题的自然语言与符号语言的转化.

2.注意省略量词的命题的真假判断.

3.对于“至多”“至少”型的命题，多采用逆向思维的方法处理.

二．判断全称、存在量词命题真假的方法:

1.若全称量词命题为真，则给定集合中每一个元素x使p(x)为真，若为假命题，则只需举一反例即可.

2.若存在量词命题为真，则给定集合中只要有一个元素x使p(x)为真即可，否则为假命题.

【参考答案】

【自主学习】

全称量词 ∀  全称量词   ∀x∈M，p(x)

存在量词 ∃ 存在量词命题  ∃x0∈M，p(x0)

【小试牛刀】

(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√

【经典例题】

例1 解　(1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称量词命题．

(2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题．

(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题．

(4)含有量词“存在”，是存在量词命题．

【跟踪训练】1  (1)∀x∈R，x2≥0.

(2)∃x0<0，ax＋2x0＋1＝0(a<0)．

例2解 (1)因为是无理数，但()2＝2是有理数，所以全称量词命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题．

(2)因为每一个末位是零的整数，都能被5整除，所以全称量词命题“末位是零的整数，可以被5整除”是真命题．

(3)当x＝0时，不满足|x＋1|>1，所以“∀x∈R，有|x＋1|>1”为假命题．

【跟踪训练】2 (1)由于空集中不含有任何元素．因此“有的集合中不含有任何元素”为真命题．

(2)由于所有菱形的对角线都互相垂直．所以不存在对角线不垂直的菱形．因此存在量词命题“存在对角线不互相垂直的菱形”为假命题．

(3)∀x∈R，有3x2＋2>0，因此存在量词命题“∃x∈R,3x2＋2>0”是假命题．

(4)由于存在整数3只有正因数1和3.所以存在量词命题“有些整数只有两个正因数”为真命题．

例3 解　∵“∀1≤x≤2，x2－m≥0”成立，

∴x2－m≥0对1≤x≤2恒成立．

又y＝x2在1≤x≤2上y随x增大而增大，∴y＝x2－m的最小值为1－m.

∴1－m≥0.解得m≤1.

∴实数m的取值范围是{m|m≤1}．

【跟踪训练】3 解　∵“∃1≤x≤2，x2－m≥0”成立，

∴x2－m≥0在1≤x≤2有解．

又函数y＝x2在1≤x≤2上单调递增，

∴函数y＝x2在1≤x≤2上的最大值为22＝4.

∴4－m≥0，即m≤4.

∴实数m的取值范围是{m|m≤4}．

【当堂达标】

1.C　

2.ACD 解析：选A、C、D是存在量词命题，B可改写为“所有矩形都有外接圆”，是全称量词命题.

3.①②④ 解析：①②④是全称量词命题，③是存在量词命题．

4. 0 解析： ①当x＝1时，x2－3x＋2＝0，故①为假命题；②因为x＝±时，x2＝2，而±为无理数，故②为假命题；③因为x2＋1>0(x∈R)恒成立，故③为假命题；④原不等式可化为x2－2x＋1>0，即(x－1)2>0，当x＝1时(x－1)2＝0，故④为假命题．

5.（1）∃x0<0，(1＋x0)(1－9x0)>0
（2）∀x≤0，x3≤0
6.解：因为命题p:“∀x∈B,x∈A”是真命题,所以B⊆A,又B≠∅,

解得2≤m≤3.

故实数m的取值范围是{m|2≤m≤3}.