人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.5 全称量词与存在量词导学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.5 全称量词与存在量词导学案，共8页。学案主要包含了全称量词命题的否定， 存在量词命题的否定等内容，欢迎下载使用。


知识点 含量词的命题的否定
思考1 用自然语言描述的全称量词命题的否定形式唯一吗？
答案 不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”．
思考2 对省略量词的命题怎样否定？
答案 对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称量词命题或存在量词命题．一般地，省略了量词的命题是全称量词命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是存在量词命题．反之，亦然．
1．命题“∀x∈R，x2－1≥－1”的否定是全称量词命题．( × )
2．若命题綈p是存在量词命题，则命题p是全称量词命题．( √ )
3．“∃x∈M，p(x)”与“∀x∈M，綈p(x)”的真假性相反．( √ )
4．“任意x∈R，x2≥0”的否定为“∃x∈R，x2<0”．( √ )
一、全称量词命题的否定
例1 写出下列命题的否定．
(1)所有分数都是有理数；
(2)所有被5整除的整数都是奇数；
(3)∀x∈R，x2－2x＋1≥0.
解 (1)该命题的否定：存在一个分数不是有理数．
(2)该命题的否定：存在一个被5整除的整数不是奇数．
(3)∃x∈R，x2－2x＋1<0.
(学生)
反思感悟 全称量词命题否定的关注点
(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M，綈p(x)．
(2)全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定．
跟踪训练1 写出下列全称量词命题的否定：
(1)所有自然数的平方都是正数；
(2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；
(3)对任意实数x，x2＋1≥0.
解 (1)綈p：有些自然数的平方不是正数．
(2)綈p：存在实数x不是方程5x－12＝0的根．
(3)綈p：存在实数x，使得x2＋1<0.
二、 存在量词命题的否定
例2 写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假．
(1)某些梯形的对角线互相平分；
(2)存在k∈R，函数y＝kx＋b随x值的增大而减小；
(3)∃x，y∈Z，使得eq \r(2)x＋y＝3.
解 (1)任意一个梯形的对角线都不互相平分．命题的否定为真命题．
(2)对任意k∈R，函数y＝kx＋b不随x值的增大而减小．命题的否定为假命题．
(3)命题的否定是“∀x，y∈Z，eq \r(2)x＋y≠3”．当x＝0，y＝3时，eq \r(2)x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．
(学生)
反思感悟 存在量词命题否定的关注点
(1)存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词．即p：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，綈p(x)．
(2)存在量词命题的否定是全称量词命题，对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后进行否定．
跟踪训练2 写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假：
(1)有的素数是偶数；
(2)∃a，b∈R，a2＋b2≤0.
解 (1)命题的否定：所有的素数都不是偶数．
由于2是素数也是偶数，因此命题的否定为假命题．
(2)命题的否定：∀a，b∈R，a2＋b2>0.
∵当a＝b＝0时，a2＋b2＝0，
∴命题的否定是假命题．
三、全称量词命题与存在量词命题的综合应用
例3 已知命题p：∀x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立．求实数m的取值范围．
解 令y＝x2＋4x－1，x∈R，则y＝(x＋2)2－5≥－5，
因为∀x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立，
所以只要m<－5即可．
所以所求m的取值范围是{m|m<－5}．
(教师)
延伸探究
1．把本例中的条件变为：“存在实数x，使不等式－x2＋4x－1>m有解”，求实数m的取值范围．
解 令y＝－x2＋4x－1，
因为y＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3≤3，
又因为∃x∈R，－x2＋4x－1>m有解，
所以只要m小于函数的最大值即可，
所以所求m 的取值范围是{m|m<3}．
2．把本例中的条件“∀x∈R”改为“∀x≥1”，求实数m的取值范围．
解 令y＝x2＋4x－1，x≥1，
则y＝(x＋2)2－5≥(1＋2)2－5＝4，
因为∀x≥1，不等式x2＋4x－1>m恒成立，
所以只要m<4即可．
所以所求m的取值范围是{m|m<4}．
(学生)
反思感悟 求解含有量词的命题中参数范围的策略
(1)对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或aymax(或a(2)对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或aymin(或a跟踪训练3 已知命题p：∀x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，且綈p是假命题，求实数a的取值范围．
解 因为綈p是假命题，所以p是真命题，
又∀x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，
所以{x|－3≤x≤2}⊆{x|a－4≤x≤a＋5}，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－4≤－3，,a＋5≥2，))解得－3≤a≤1，
即实数a的取值范围是－3≤a≤1.
1．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是( )
A．∀x∈R，|x|＋x2<0 B．∀x∈R，|x|＋x2≤0
C．∃x∈R，|x|＋x2<0 D．∃x∈R，|x|＋x2≥0
答案 C
解析 此全称量词命题的否定为∃x∈R，|x|＋x2<0.
2．命题“∃x>0,2x2＝5x－1”的否定是( )
A．∀x>0,2x2≠5x－1 B．∀x≤0,2x2＝5x－1
C．∃x>0,2x2≠5x－1 D．∃x≤0,2x2＝5x－1
答案 A
解析 存在量词命题的否定是全称量词命题．
3．命题“同位角相等”的否定为___________________________________________．
答案 有的同位角不相等
解析 全称量词命题的否定是存在量词命题，故否定为：有的同位角不相等．
4．命题：“有的三角形是直角三角形”的否定是：________________________________.
答案 所有的三角形都不是直角三角形
解析 命题：“有的三角形是直角三角形”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，即所有的三角形都不是直角三角形．
5．若命题“∀x∈R，x2－4x＋a≠0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
答案 {a|a≤4}
解析 ∵命题∀x∈R，x2－4x＋a≠0为假命题，
∴∃x∈R，x2－4x＋a＝0是真命题，
∴方程x2－4x＋a＝0有实数根，则Δ＝(－4)2－4a≥0，解得a≤4.
1．知识清单：
(1)全称量词命题、存在量词命题的否定．
(2)命题真假的判断．
(3)全称量词命题与存在量词命题的综合应用．
2．方法归纳：转化法．
3．常见误区：否定不唯一，命题与其否定的真假性相反．
1．命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则p的否定是( )
A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根
B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根
C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根
D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根
答案 C
解析 命题p是存在量词命题，其否定形式为全称量词命题，即对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根．
2．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则( )
A．綈p：∀x∈A,2x∈B B．綈p：∀x∉A,2x∉B
C．綈p：∃x∉A,2x∈B D．綈p：∃x∈A,2x∉B
答案 D
解析 命题p：∀x∈A,2x∈B是一个全称量词命题，命题p的否定应为：∃x∈A,2x∉B.
3．命题“存在实数x，使x>1”的否定是( )
A．对任意实数x，都有x>1
B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x，都有x≤1
D．存在实数x，使x≤1
答案 C
解析 利用存在量词命题的否定是全称量词命题求解．“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．
4．(多选)关于命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是( )
A．綈p：∃x∈R，x2＋1＝0
B．綈p：∀x∈R，x2＋1＝0
C．p是真命题，綈p是假命题
D．p是假命题，綈p是真命题
答案 AC
解析 命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的否定是“∃x∈R，x2＋1＝0”．所以p是真命题，綈p是假命题．
5．(多选)对下列命题的否定说法正确的是( )
A．p：能被2整除的数是偶数；p的否定：存在一个能被2整除的数不是偶数
B．p：有些矩形是正方形；p的否定：所有的矩形都不是正方形
C．p：有的三角形为正三角形；p的否定：所有的三角形不都是正三角形
D．p：∀n∈N,2n≤100；p的否定：∃n∈N,2n>100
答案 ABD
解析 “有的三角形为正三角形”为存在量词命题，其否定为全称量词命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误．
6．命题“任意一个x∈R，都有x2－2x＋4≤0”的否定是________________________．
答案 存在一个x∈R，使得x2－2x＋4>0
解析 原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题，既要否定量词又要否定结论，所以其否定为存在一个x∈R，使得x2－2x＋4>0.
7．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________________．
答案 任意x∈R，使得x2＋2x＋5≠0
解析 存在量词命题的否定是全称量词命题，将“存在”改为“任意”，“＝”改为“≠”．
8．已知命题p：存在x∈R，x2＋2x＋a＝0.若命题綈p是假命题，则实数a的取值范围是________．
答案 {a|a≤1}
解析 ∵命题綈p是假命题，
∴p是真命题，
即存在x∈R，x2＋2x＋a＝0为真命题，
∴Δ＝4－4a≥0，∴a≤1.
9．写出下列命题的否定．
(1)有些四边形有外接圆；
(2)末位数字为9的整数能被3整除；
(3)∃x∈R，x2＋1<0.
解 (1)所有的四边形都没有外接圆．
(2)存在一个末位数字为9的整数不能被3整除．
(3)∀x∈R，x2＋1≥0.
10．写出下列命题的否定，并判断其否定的真假：
(1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实根；
(2)∀x，y∈R，x2＋y2＋2x－4y＋5＝0.
解 (1)綈p：存在一个实数m，使方程x2＋mx－1＝0没有实数根．
∵该方程的判别式Δ＝m2＋4>0恒成立，
∴綈p为假命题．
(2)綈p：∃x，y∈R，x2＋y2＋2x－4y＋5≠0.
∵x2＋y2＋2x－4y＋5＝(x＋1)2＋(y－2)2，
当x＝0，y＝0时，x2＋y2＋2x－4y＋5≠0成立，∴綈p为真命题．
11．下列命题的否定是真命题的为( )
A．p1：每一个合数都是偶数
B．p2：两条平行线被第三条直线所截内错角相等
C．p3：全等三角形的周长相等
D．p4：所有的无理数都是实数
答案 A
解析 若判断某命题的否定的真假，只要判断出原命题的真假即可，它们的真假性始终相反．因为p1为全称量词命题，且是假命题，所以綈p1是真命题．命题p2，p3，p4均为真命题，即綈p2，綈p3，綈p4均为假命题．
12．(多选)下列命题的否定是假命题的是( )
A．等圆的面积相等，周长相等
B．∀x∈N，x2≥1
C．任意两个等边三角形都是相似的
D．3是方程x2－9＝0的一个根
答案 ACD
解析 A的否定：存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等，假命题；
B的否定：∃x∈N，x2<1，真命题；
C的否定：有些等边三角形不相似，假命题；
D的否定：3不是方程x2－9＝0的一个根，假命题．
13．已知命题“∃x∈R，使4x2＋x＋eq \f(1,4)(a－2)≤0”是假命题，则实数a的取值范围是( )
A．a<0 B．0≤a≤4
C．a≥4 D．a>eq \f(9,4)
答案 D
解析 ∵命题“∃x∈R，使4x2＋x＋eq \f(1,4)(a－2)≤0”是假命题，∴命题“∀x∈R，使4x2＋x＋eq \f(1,4)(a－2)>0”是真命题，即判别式Δ＝1－4×4×eq \f(1,4)(a－2)<0，解得a>eq \f(9,4).
14．已知命题：“∃x∈{x|1≤x≤2}，使x2＋2x＋a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是________．
答案 a≥－8
解析 当x∈{x|1≤x≤2}时，
因为x2＋2x＝(x＋1)2－1，
所以3≤x2＋2x≤8，
由题意有a＋8≥0，∴a≥－8.
15．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥2x＋1”的否定形式是( )
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n<2x＋1
B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n<2x＋1
C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n<2x＋1
D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n<2x＋1
答案 D
解析 由题意可知，全称量词命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥2x＋1”的否定形式为存在量词命题“∃x∈R，∀n∈N*，使得n<2x＋1”．
16．已知命题p：∀1≤x≤3，都有m≥x，命题q：∃1≤x≤3，使m≥x，若命题p为真命题，綈q为假命题，求实数m的取值范围．
解 由题意知命题p，q都是真命题．
由∀1≤x≤3，都有m≥x都成立，只需m大于或等于x的最大值，即m≥3.
由∃1≤x≤3，使m≥x成立，只需m大于或等于x的最小值，即m≥1，
因为两者同时成立，故实数m的取值范围为{m|m≥3}∩{m|m≥1}＝{m|m≥3}．p
綈p
结论
全称量词命题∀x∈M，p(x)
∃x∈M，綈p(x)
全称量词命题的否定是存在量词命题
存在量词命题∃x∈M，p(x)
∀x∈M，綈p(x)
存在量词命题的否定是全称量词命题