高中人教A版 (2019)1.5 全称量词与存在量词学案

1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定

课程标准

(1)理解全称量词命题和存在量词命题的否定的意义．(2)会对全称量词命题和存在量词命题进行否定．

新知初探·课前预习——突出基础性

教 材 要 点

要点　全称量词命题和存在量词命题的否定

助 学 批 注

批注❶　全称量词命题的否定，一般是在全称量词前加上“并非”，或把全称量词改为存在量词的同时对判断词进行否定．

批注❷　存在量词命题的否定，一般是在存在量词前加“不”或者把存在量词改为全称量词的同时对判断词进行否定．

基 础 自 测

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)用自然语言描述的全称量词命题的否定形式是唯一的．(　　)

(2)命题¬p的否定是p.(　　)

(3)∃x∈M，p(x)与∀x∈M，¬p(x)的真假性相反．(　　)

(4)对全称量词命题或存在量词命题进行否定时，量词不需要变，只否定结论即可．(　　)

2．命题：∃n∈N，n2＞3n＋5，则该命题的否定为(　　)

A．∀n∈N，n2＞3n＋5    B．∀n∈N，n2≤3n＋5

C．∃n∈N，n2≤3n＋5    D．∃n∈N，n2＜3n＋5

3．已知命题p：∀x∈R，x2－x＋1＞0，则¬p(　　)

A．∃x∈R，x2－x＋1≤0    B.∀x∈R，x2－x＋1≤0

C．∃x∈R，x2－x＋1＞0    D.∀x∈R，x2－x＋1≥0

4．命题“有些三角形的三条中线相等”的否定是________________________．

题型探究·课堂解透——强化创新性

题型 1　全称量词命题的否定

例1　(1)[2022·山东泰安高一期末]“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定形式为(　　)

A．对任意x∈R，都有x2<0

B．不存在x∈R，都有x2<0

C．存在x0∈R，使得≥0

D．存在x0∈R，使得<0

(2)命题“∀x>1，x2＋1>2”的否定为(　　)

A．∃x≤1，x2＋1≤2

B．∀x>1，x2＋1≤2

C．∃x>1，x2＋1≤2

D．∀x≤1，x2＋1≤2

方法归纳

对全称量词命题否定应注意的三个方面

巩固训练1　(1)命题∀x>0，x2－2ax－3>0的否定为(　　)

A．∃x>0，x2－2ax－3<0

B．∃x>0，x2－2ax－3≤0

C．∃x≤0，x2－2ax－3≤0

D．∀x>0，x2－2ax－3<0

(2)已知命题p：∀m>0，方程x2＋x－m＝0有实数根，则¬p：________．

题型 2　存在量词命题的否定

例2　(1)命题“∃x，y∈Z，2x＋3y＝4”的否定是(　　)

A．∀x，y∈Z，2x＋3y≠4

B．∀x，y∈Z，2x＋3y＝4

C．∃x，y∈Z，2x＋3y≠4

D．不存在整数x，y，使得2x＋3y≠4

(2)已知命题p：∃x>1，x2－4<0，则¬p是(　　)

A．∃x>1，x2－4≥0

B．∃x≤1，x2－4<0

C．∀x≤1，x2－4≥0

D．∀x>1，x2－4≥0

方法归纳

对存在量词命题否定应注意的三个方面

巩固训练2　(1)命题“存在a∈R，使方程ax＋1≥0成立”的否定是(　　)

A．任意a∈R，使方程ax＋1≥0成立

B．存在a∈R，使方程ax＋1<0成立

C．任意a∈R，使方程ax＋1<0成立

D．存在a∈R，使方程ax＋1≤0成立

(2)命题“∃x∈R，x<1或x≥2”的否定是________.

题型 3　根据全称量词命题、存在量词命题的否定求参数范围

例3　若命题“∀x∈R，x2－4x＋a≠0”为假命题，求实数a的取值范围．

方法归纳

根据含量词的命题的否定求参数范围的策略

巩固训练3　已知命题p：∀x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，且¬p是假命题，求实数a的取值范围．

1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定

新知初探·课前预习

[教材要点]

要点

∃x∈M，¬p(x)　存在量词命题　∀x∈M，¬p(x)

全称量词命题

[基础自测]

1．答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×

2．解析：否定为：∀n∈N，n2≤3n＋5.

答案：B

3．解析：¬p：∃x∈R，x2－x＋1≤0.

答案：A

4．解析：存在量词命题的否定为全称量词命题，故命题的否定为：“所有三角形的三条中线不都相等．”

答案：所有三角形的三条中线不都相等

题型探究·课堂解透

例1　解析：(1)全称量词命题的否定是存在量词命题，

则“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定形式为：存在x0∈R，使得<0.

(2)根据命题的否定形式可得：原命题的否定为“∃x>1，x2＋1≤2”．

答案：(1)D　(2)C

巩固训练1　解析：(1)命题“∀x>0，x2－2ax－3>0”的否定是：∃x>0，x2－2ax－3≤0.

(2)命题p：∀m>0，方程x2＋x－m＝0有实数根的否定是∃m>0，方程x2＋x－m＝0没有实数根．

答案：(1)B　(2)∃m>0，方程x2＋x－m＝0没有实数根

例2　解析：(1)“∃x，y∈Z，2x＋3y＝4”的否定是“∀x，y∈Z，2x＋3y≠4”．

(2)命题p：∃x>1，x2－4<0的否定是：∀x>1，x2－4≥0.

答案：(1)A　(2)D

巩固训练2　解析：(1)命题“存在a∈R，使方程ax＋1≥0成立”的否定是“任意a∈R，使方程ax＋1<0成立”．

(2)根据存在量词命题的否定是全称量词命题可得命题“∃x∈R，x<1或x≥2”的否定是∀x∈R，1≤x<2.

答案：(1)C　(2)∀x∈R，1≤x<2

例3　解析：∵命题∀x∈R，x2－4x＋a≠0为假命题，

∴∃x∈R，x2－4x＋a＝0是真命题，

∴方程x2－4x＋a＝0有实数根，则Δ＝(－4)2－4a≥0，解得a≤4.

所以实数a的取值范围是{a|a≤4}．

巩固训练3　解析：¬p是假命题即p是真命题．

即∀x∈{x|－3≤x≤2}，x∈{x|a－4≤x≤a＋5}成立，

所以，解得－3≤a≤1，

所以实数a的取值范围为{a|－3≤a≤1}．