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    新教材人教B版步步高学习笔记【同步学案】第一章 1.1.3 第1课时 交集与并集
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    2020-2021学年第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集合1.1.3 集合的基本运算第1课时学案设计

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    这是一份2020-2021学年第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集合1.1.3 集合的基本运算第1课时学案设计,共12页。学案主要包含了交集的概念及应用,并集的概念及应用,交集等内容,欢迎下载使用。

    学习目标 1.理解两个集合的交集与并集的含义,会求两个简单集合的交集和并集.2.能使用维恩图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用.
    导语
    在研究集合时,经常遇到有关集合中元素个数的问题,大家看一个问题,某超市进了两次货,第一次进的货是圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水共6种,第二次进的货是圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面共4种,两次一共进了几种货?两次进的货一样的有几种?我们知道,实数有加、减、乘、除运算,那么集合是否也有类似的运算呢?
    一、交集的概念及应用
    问题1 某超市进了两次货,第一次进的货是圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水共6种,第二次进的货是圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面共4种,我们用集合A表示第一次进货的品种,用集合B表示第二次进货的品种,通过观察,你能用集合C表示两次进货一样的品种吗?并讨论集合A,B与集合C的关系.
    提示 由A={圆珠笔,钢笔,橡皮,笔记本,方便面,汽水},B={圆珠笔,铅笔,火腿肠,方便面}知,集合C={圆珠笔,方便面},可见,集合C是由所有既属于集合A又属于集合B的元素组成的.
    知识梳理
    1.交集
    2.交集的运算性质
    (1)A∩B=B∩A.
    (2)A∩A=A.
    (3)A∩∅=∅∩A=∅.
    (4)如果A⊆B,则A∩B=A,反之也成立.
    注意点:
    (1)A∩B仍是一个集合.
    (2)文字语言中“所有”的含义:A∩B中任一元素都是A与B的公共元素,A与B的公共元素都属于A∩B.
    (3)如果两个集合没有公共元素,不能说两个集合没有交集,而是A∩B=∅.
    例1 (1)若A={x∈N|1≤x≤10},B={x∈R|x2+x-6=0},则图中阴影部分表示的集合为( )
    A.{2} B.{3}
    C.{-3,2} D.{-2,3}
    答案 A
    解析 易知A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},B={-3,2},图中阴影部分表示的集合为A∩B={2}.
    (2)(多选)设A=[-1,2],B=[0,4],则A∩B等于( )
    A.[0,2] B.{x|0≤x≤2}
    C.[0,4] D.{x|0≤x≤4}
    答案 AB
    解析 在数轴上表示出A与B,如图所示.
    则由交集的定义知,A∩B=[0,2]={x|0≤x≤2}.
    反思感悟 求集合A∩B的常用方法
    (1)定义法:若集合是用列举法表示的,可以直接利用交集的定义求解.
    (2)数形结合法:若集合是用描述法或区间表示的由实数组成的数集,则可以借助数轴分析法求解.
    跟踪训练1 (1)若区间A=(-2,1),B=(0,2),则集合A∩B等于( )
    A.(-1,1) B.(-2,1)
    C.(-2,2) D.(0,1)
    答案 D
    解析 如图,因为A=(-2,1),B=(0,2),
    所以A∩B=(0,1).
    (2)(多选)已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中的元素有( )
    A.6 B.8 C.12 D.14
    答案 BD
    解析 ∵8=3×2+2,14=3×4+2,
    ∴8∈A,14∈A,
    ∴A∩B={8,14}.
    二、并集的概念及应用
    问题2 对于问题1中的集合A与集合B,你能用集合D表示两次一共进货的品种吗?并讨论集合A,B与集合D的关系.
    提示 A={圆珠笔,钢笔,橡皮,笔记本,方便面,汽水},B={圆珠笔,铅笔,火腿肠,方便面},则D={圆珠笔,钢笔,橡皮,笔记本,方便面,汽水,铅笔、火腿肠},容易发现集合D是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的.
    知识梳理
    1.并集
    2.并集的运算性质
    (1)A∪B=B∪A.
    (2)A∪A=A.
    (3)A∪∅=∅∪A=A.
    (4)如果A⊆B,则A∪B=B,反之也成立.
    注意点:
    (1)A∪B仍是一个集合.
    (2)并集符号语言中的“或”包含三种情况:①x∈A且x∉B;②x∈A且x∈B;③x∉A且x∈B.
    (3)对概念中“所有”的理解,要注意集合元素的互异性.
    例2 (1)设集合M={x|x2+2x=0,x∈R},N={x|x2-2x=0,x∈R},则M∪N等于( )
    A.{0} B.{0,2}
    C.{-2,0} D.{-2,0,2}
    答案 D
    解析 M={x|x2+2x=0,x∈R}={0,-2},N={x|x2-2x=0,x∈R}={0,2},故M∪N={-2,0,2}.
    (2)(多选)已知集合M={x|-35},则M∪N等于( )
    A.{x|x<-5或x>-3}
    B.{x|-5C.(-∞,-5)∪(-3,+∞)
    D.(-5,5)
    答案 AC
    解析 在数轴上表示集合M,N,如图所示,
    则M∪N={x|x<-5或x>-3}.
    反思感悟 求集合M∪N的常用方法
    (1)定义法:若集合是用列举法表示的,可以直接利用并集的定义求解.
    (2)数形结合法:若集合是用描述法或区间表示的由实数组成的数集,则可以借助数轴分析法求解.
    跟踪训练2 (1)已知区间P=(-1,1),Q=(0,2),那么P∪Q等于( )
    A.(-1,2) B.(0,1)
    C.(-1,0) D.(1,2)
    答案 A
    解析 因为P=(-1,1),
    Q=(0,2),画数轴如图所示,
    所以P∪Q=(-1,2).
    (2)(多选)点集A={(x,y)|x<0},B={(x,y)|y<0},则A∪B中的元素可能在( )
    A.第一象限 B.第二象限
    C.第三象限 D.第四象限
    答案 BCD
    解析 由题意得,A∪B中的元素是由横坐标小于0或纵坐标小于0的点构成的集合,所以A∪B中的元素不可能在第一象限,可能在第二、三、四象限.
    三、交集、并集运算的综合应用
    例3 已知区间A=(2,4),B=(a,3a)(a>0).
    (1)若A∪B=B,求a的取值范围;
    (2)若A∩B=∅,求a的取值范围.
    解 (1)因为A∪B=B,所以A⊆B,如图.
    观察数轴可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2≥a,,4≤3a,))
    所以eq \f(4,3)≤a≤2.
    (2)A∩B=∅有两类情况:B在A的左边和B在A的右边,如图.
    观察数轴可知,a≥4或3a≤2,
    又a>0,所以0延伸探究 本例条件下,若A∩B=(3,4),求a的值.
    解 画出数轴如图,
    观察数轴可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a=3,,3a≥4,))即a=3.
    反思感悟 利用集合交集、并集的性质解题的方法
    (1)A∩B=A⇔A⊆B,A∪B=B⇔A⊆B.
    (2)当集合B⊆A时,如果集合A是一个确定的集合,而集合B不确定,运算时要考虑B=∅的情况,切不可漏掉.
    跟踪训练3 (1)A={x|x≤-1或x≥3},B={x|aA.3≤a<4 B.-1C.a≤-1 D.a<-1
    答案 C
    解析 利用数轴,若A∪B=R,则a≤-1.
    (2)已知集合A={x|-3≤x≤5},B={x|2m-1≤x≤2m+9},若A∪B=B,则m的取值范围是________,若A∩B=A,则m的取值范围是________.
    答案 {m|-2≤m≤-1} {m|-2≤m≤-1}
    解析 ∵A∪B=B,∴A⊆B,如图所示,
    ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m-1≤-3,,2m+9≥5,))解得-2≤m≤-1.
    ∴m的取值范围为{m|-2≤m≤-1}.
    当A∩B=A时,同样A⊆B,所以结论是一样的.
    1.知识清单:
    (1)交集、并集的概念及运算.
    (2)交集、并集运算的性质.
    (3)求参数值或范围.
    2.方法归纳:数形结合、分类讨论.
    3.常见误区:由交集、并集的关系求解参数时漏掉对集合为空集的讨论.
    1.若集合M={-1,0,1,2},N={x|x(x-1)=0},则M∩N等于( )
    A.{-1,0,1,2} B.{0,1,2}
    C.{-1,0,1} D.{0,1}
    答案 D
    解析 N={0,1},M∩N={0,1}.
    2.已知集合M={-1,0,1},P={0,1,2,3},则图中阴影部分所表示的集合是( )
    A.{0,1} B.{0}
    C.{-1,2,3} D.{-1,0,1,2,3}
    答案 D
    解析 由维恩图,可知阴影部分所表示的集合是M∪P.因为M={-1,0,1},P={0,1,2,3},故M∪P={-1,0,1,2,3}.
    3.(多选)已知集合A={x|x=4n-1,n∈N},B={y|y=2n-1,n∈N},C={-1,0,1,3,5,7,9},则集合A∩B∩C中的元素为( )
    A.-1 B.3 C.5 D.7
    答案 ABD
    解析 -1=4×0-1=2×0-1,
    3=4×1-1=2×2-1,
    7=4×2-1=2×4-1.
    4.若集合A={x|-1答案 R {x|-1解析 借助数轴可知,A∪B=R,A∩B={x|-15.已知集合A={(x,y)|x+y=4},B={(x,y)|x-y=2},则A∩B=________.
    答案 {(3,1)}
    解析 由题意知A∩B={(x,y)|x+y=4且x-y=2}=eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x,y\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x+y=4,x-y=2)))))),
    由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x+y=4,,x-y=2,))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=3,,y=1,))故A∩B={(3,1)}.
    1.(多选)已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,x∈A},则能成为A∩B的元素的是( )
    A.1 B.2 C.3 D.4
    答案 AD
    解析 由题意得,B={1,4,7,10},所以A∩B={1,4}.
    2.A,B是两个集合,则集合{x|x∈A且x∈B}可用阴影表示为( )
    答案 D
    解析 集合{x|x∈A且x∈B}=A∩B.
    3.满足M⊆{a1,a2,a3,a4}且M∩{a1,a2,a3}={a1,a2}的集合M的个数是( )
    A.1 B.2 C.3 D.4
    答案 B
    解析 由题意得,集合M含有元素a1,a2且不含元素a3,故M={a1,a2}或M={a1,a2,a4}.
    4.设集合A={x|-1≤x<2},B={x|xA.a<2 B.a>-2
    C.a>-1 D.-1答案 C
    解析 A={x|-1≤x<2},B={x|x-1.
    5.(多选)已知集合A={x|x2=x},集合B中有两个元素且满足A∪B={0,1,2},则集合B可以是( )
    A.{0,1} B.{0,2}
    C.{0,3} D.{1,2}
    答案 BD
    解析 由题意知,集合A={0,1},
    ∵B中有两个元素且A∪B={0,1,2},
    ∴B可以为{0,2},{1,2}.
    6.若集合A={x|x>-1},B={x|-2答案 {x|x>-2}
    解析 画出数轴如图所示,故A∪B={x|x>-2}.
    7.设S={x|x<-1或x>5},T={x|a答案 -3解析 在数轴上表示集合S,T如图所示.因为S∪T=R,由数轴可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<-1,,a+8>5,))解得-38.已知集合M={x|-1≤x≤3},N={x|x=2k-1,k∈N+},维恩图如图所示,则阴影部分所表示的集合的元素共有____个,若N={x|x=3k-1,k∈N},则阴影部分的元素有____个.
    答案 2 2
    解析 M={x|-1≤x≤3},集合N是全体正奇数组成的集合,则阴影部分所表示的集合为M∩N={1,3},
    即阴影部分所表示的集合共有2个元素.
    若N={x|x=3k-1,k∈N},则M∩N={-1,2},
    即阴影部分所表示的集合共有2个元素.
    9.已知集合A=eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3-x>0,3x+6>0)))))),集合B={x|2x-1<3},求A∩B,A∪B.
    解 解不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3-x>0,,3x+6>0,))得-2即A={x|-2解不等式2x-1<3,得x<2,
    即B={x|x<2},
    在数轴上分别表示集合A,B,如图所示.
    则A∩B={x|-210.设A={x|x2+ax+12=0},B={x|x2+3x+2b=0},A∩B={2},C={2,-3}.
    (1)求a,b的值及A,B;
    (2)求(A∪B)∩C.
    解 (1)∵A∩B={2},∴2∈A且2∈B,
    ∴4+2a+12=0,4+6+2b=0,
    解得a=-8,b=-5,
    ∴A={x|x2-8x+12=0}={2,6},
    B={x|x2+3x-10=0}={2,-5}.
    (2)由(1)知A∪B={-5,2,6},
    又C={2,-3},∴(A∪B)∩C={2}.
    11.设A,B是非空集合,定义A*B={x|x∈A∪B且x∉A∩B},已知A={x|0≤x≤3},B={x|x≥1},则A*B等于( )
    A.{x|1≤x<3}
    B.{x|1≤x≤3}
    C.{x|0≤x<1或x>3}
    D.{x|0≤x≤1或x≥3}
    答案 C
    解析 由题意知A∪B={x|x≥0},
    A∩B={x|1≤x≤3},
    ∴A*B={x|0≤x<1或x>3}.
    12.下列表示图形中的阴影部分正确的是( )
    A.(A∪C)∩(B∪C)
    B.(A∪B)∩(A∪C)
    C.(A∪B)∩(B∪C)
    D.(A∪B)∩C
    答案 A
    解析 阴影部分完全覆盖了C部分,这样就要求交集运算的两边都含有C部分.所以A正确.
    13.某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________.
    答案 12
    解析 设所求人数为x,则x+10=30-8⇒x=12.
    14.已知集合A={x|x2-px-2=0},B={x|x2+qx+r=0},且A∪B={-2,1,5},A∩B=
    {-2},则p+q+r=________.
    答案 -14
    解析 因为A∩B={-2},
    所以-2∈A且-2∈B,
    将x=-2代入x2-px-2=0,得p=-1,
    所以A={1,-2},
    因为A∪B={-2,1,5},A∩B={-2},
    所以B={-2,5},
    所以q=-[(-2)+5]=-3,r=(-2)×5=-10,
    所以p+q+r=-14.
    15.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出19种商品,第二天售出13种商品,第三天售出18种商品;前两天都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种.则该网店
    (1)第一天售出但第二天未售出的商品有________种;
    (2)这三天售出的商品最少有________种.
    答案 (1)16 (2)29
    解析 设三天都售出的商品有x种,第一天售出,第二天未售出,且第三天售出的商品有y种,则三天售出商品的种类关系如图所示.
    由图可知,(1)第一天售出但第二天未售出的商品有19-(3-x)-x=16(种).
    (2)这三天售出的商品有(16-y)+y+x+(3-x)+(6+x)+(4-x)+(14-y)=43-y(种).
    由于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(16-y≥0,,y≥0,,14-y≥0,))所以0≤y≤14.
    所以(43-y)min=43-14=29(种).
    16.已知集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|x<-1或x>16},分别根据下列条件求实数a的取值范围.
    (1)A∩B=∅;
    (2)A⊆(A∩B).
    解 (1)若A=∅,则A∩B=∅成立.
    此时2a+1>3a-5,即a<6.
    若A≠∅,如图所示,
    则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a+1≤3a-5,,2a+1≥-1,,3a-5≤16,))解得6≤a≤7.
    综上,满足条件A∩B=∅的实数a的取值范围是{a|a≤7}.
    (2)因为A⊆(A∩B),所以A∩B=A,即A⊆B.
    显然A=∅满足条件,此时a<6.
    若A≠∅,如图所示,

    则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a+1≤3a-5,,3a-5<-1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a+1≤3a-5,,2a+1>16.))
    由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a+1≤3a-5,,3a-5<-1,))解得a∈∅;
    由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a+1≤3a-5,,2a+1>16,))解得a>eq \f(15,2).
    综上,满足条件A⊆(A∩B)的实数a的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<6或a>\f(15,2))))).
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