高中数学人教B版 (2019)必修 第一册1.1.3 集合的基本运算说课ppt课件

课题名

1.1.1　集合及其表示方法(第2课时)

课标要求

1.在具体情境中,了解补集和全集的含义.(数学抽象)

2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.(数学运算)

3.理解补集思想在解题中的应用.(逻辑推理)

4.掌握集合交集、并集、补集的综合运算.(数学运算)

核心目标

1．补集定义的理解及补集的求法．(重点)

2．集合的交、并、补运算．(难点)

教学准备

教师准备：教案、课件

学生准备：教材、学案

教学过程

情景引入

太阳系有8颗行星,即水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星和海王星.原来被认为是行星的冥王星在第26届国际天文联会通过的第5号决议中,被划为矮行星,并命名为小行星134 340号,从太阳系九大行星中被除名.如果我们把名字中含有“王”的行星除去,还有几颗行星?上小学的小朋友也会回答还有6颗,但是如果我们用集合的眼光来看,就会发现一个问题:若把太阳系的行星的集合作为U,把名字中含有“王”的行星的集合作为A,把名字中不含有“王”的行星的集合作为B,那么集合A,B,U之间有怎样的关系呢?

新知探究

知识点　补集

1.全集:

   在研究某些集合的时候,这些集合往往是            的子集,这个         叫做全集(Universe set),用符号   表示.

2．补集:

   设U是全集，集合A是全集U的一个子集(A⊆U)，则由

                    构成的集合，叫做U中子集A的补集(或余集)，记作      ，读作              。

3．补集与全集的性质

(1)U＝       ；  (2)∅＝       ；(3)(A)＝       ；

(4)A∪A＝       ；(5)A∩A＝      .

扩展：

(6)(A)∩(B)＝(A∪B)；

(7)(A)∪(B)＝(A∩B)．

核心目标检验

1.已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A＝{1,3,5,6}，则 A＝(　　)

A．{1,3,5,6}　　B．{2,3,7}

C．{2,4,7}    D．{2,5,7}

2.已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{1,3,5}，Q＝{1,2,4},则(P)∪Q＝(　　)

 A．{1}　　　　 B．{3,5}

 C．{1,2,4,6}   D．{1,2,3,4,5}

3.设全集U＝R，集合P＝{x|－2≤x＜3}，则P等于(　　)

A．{x|x＜－2或x≥3}　　B．{x|x＜－2或x＞3}

C．{x|x≤－2或x＞3}    D．{x|x≤－2且x≥3}

4．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合(A∪B)等于(　　)

A．{x|x≥0}          B．{x|x≤1}

C．{x|0≤x≤1}    D．{x|0＜x＜1}

课堂总结

1.在具体情境中,了解补集和全集的含义.(数学抽象)

2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.(数学运算)

命题讲练

命题方向1：补集的运算

例题1:已知A＝(－1，＋∞)，B＝(－∞，2]，求A，B.

【解析】　在数轴上表示出A和B，如图所示．

由图可知A＝(－∞，－1]，B＝(2，＋∞)．

教材反思         

求补集的原则和方法

(1)一个基本原则．

求给定集合A的补集，从全集U中去掉属于集合A的元素后，由所有剩下的元素组成的集合即为A的补集．

(2)两种求解方法：

①若所给的集合是有关不等式的集合，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，注意端点值的取舍．

②若所给的集合是用列举法表示，则用Venn图求解．

跟踪练习1:

(1)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，则A＝(　　)

A．∅　　　　  B．{1，3}

C．{2，4，5}    D．{1，2，3，4，5}

利用补集定义直接求

解析：(1)本小题考查集合的运算．

∵U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，∴A＝{2，4，5}．

借助于数轴，可得A∩(B)＝{x|0<x<1}，故选B.

(2)设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(B)＝(　　)

A.{x|0＜x≤1}      B．{x|0＜x＜1}

C．{x|1≤x＜2}     D．{x|0＜x＜2}

利用数轴表示集合A、B，结合数轴求出结果．

解析：(2)本题主要考查集合的基本运算．

由B＝{x|x≥1}，得B＝{x|x<1}，

命题方向2:题型二 交、并、补的综合运算

例题2:(1)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，则集合A∩(B)＝(　　)

A．{2，5}       B．{3，6}

C．{2，5，6}    D．{2，3，5，6，8}

【解析】　(1)因为U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，B＝{1，3，4，6，7}，所以B＝{2，5，8}．又A＝{2，3，5，6}，

所以A∩(B)＝{2，5}．

(2)已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}，P＝{x|x≤0或x≥5/2}，求A∩B，(B)∪P，(A∩B)∩(P)．

(2)将集合A，B，P分别表示在数轴上，如图．

因为A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1<x≤3}，

所以A∩B＝{x|－1<x<2},B＝{x|x≤－1或x>3}.又P＝{x|x≤0或x≥5/2}，

所以(B)∪P＝{x|x≤0或x≥5/2}.又P＝{x|0<x<5/2}，

所以(A∩B)∩(P)＝{x|－1<x<2}∩{x|0<x<5/2}＝{x|0<x<2}．

方法归纳

求集合交、并、补运算的方法

跟踪练习2：已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3＜x≤3}．求A，A∩B，(A∩B)，(A)∩B.

解析：把全集U和集合A，B在数轴上表示如下：

由图可知，A＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，A∩B＝{x|－2<x<3}，

(A∩B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，

(A)∩B＝{x|－3<x≤－2或x＝3}．

命题方向3:补集思想的应用

例题3:已知全集U＝R，集合A＝{x|＜0}，B＝{x|x＞a}．且A⊆B，实数a的取值范围．

审题指导:  本题主要考查了集合间的关系，集合的补集等知识．

[规范解答] ∵A＝{x|x－1(1)＜0}＝{x|x＜1}…………4分

          ∴A＝{x|x≥1}．

     由数轴可知：

当a＜1时，AB …………………………………8分

当a≥1时，AB …………………………..10分

∴实数a的取值范围是{a|a＜1}

方法归纳   (1)运用补集思想求参数范围的方法：

              ①否定已知条件，考虑反面问题；

              ②求解反面问题对应的参数范围；

              ③将反面问题对应参数的范围取补集．

            (2)补集思想适用的情况：

               从正面考虑，情况较多，问题较复杂的时候，往往考虑

               运用补集思想．根据补集的定义，得到关于m的方程－m－1＝5，解得m的值后还需检验．

跟踪练习3:(1)设全集U＝{3，6，m2－m－1}，A＝{|3－2m|，6}，A＝{5}，求实数m.

解析：因为A＝{5}，所以5∈U但5∉A，

所以m2－m－1＝5，解得m＝3或m＝－2.

当m＝3时，|3－2m|＝3≠5，

此时U＝{3，5，6}，A＝{3，6}，满足A＝{5}；

当m＝－2时，|3－2m|＝7≠5，

此时U＝{3，5，6}，A＝{6，7}，不符合题意舍去．

综上，可知m＝3.

(2)设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(A)∩B＝∅，求实数m的取值范围．

[解]　由已知A＝{x|x≥－m}，得A＝{x|x<－m}，

因为B＝{x|－2<x<4}，(A)∩B＝∅，如图，

所以－m≤－2，即m≥2，

所以m的取值范围是[2，＋∞)．

易错易难辨析

例题4:已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1}，B＝{x|2a<x<a＋3}，且B⊆A，求a的取值范围．

[误解]　∵A＝{x|x<－1}，U＝R，∴A＝{x|x≥－1}，

      又∵B⊆A，∴2a≥－1，∴a≥－1/2.

[辨析]　忽视了B是空集的情况，只求2a≥－1，虽然结果正确，但过程是错误的，实际上应分两种情况，即B＝∅与B≠∅讨论．

[正解]　　由题意得A＝{x|x≥－1}．

(1)若B＝∅，则a＋3≤2a，即a≥3，满足B⊆A.

(2)若B≠∅，则由B⊆A，得2a≥－1且2a<a＋3，

即－1/2≤a<3.综上可得a≥－1/2.

思想方法技巧

1．“正难则反”法

有些集合问题从正面考虑比较复杂，此时需要考虑问题的反面．然后再回到正面上来，我们把这种解决问题的方法叫做“正难则反”的方法，有时又叫“补集思想”的运用．具体规律如下：

反演律(又叫德摩根定律)

(1)(A∪B)＝(A)∩(B)．

(2)(A∩B)＝(A)∪(B)．

例题5:已知集合A＝{x|－4x＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．

[分析]　A∩B≠∅的对立面为A∩B＝∅，故可先求出A∩B＝∅时m的取值范围，再用补集思想求A∩B≠∅时m的取值范围．

[解析]　先求A∩B＝∅时m的取值范围．

①当A＝∅时，方程－4x＋2m＋6＝0无实根，

所以Δ＝－4(2m＋6)<0，

所以2－m－3<0，m>－1.

②当A≠∅，A∩B＝∅时，

方程－4x＋2m＋6＝0的根为非负实根．

设方程－4x＋2m＋6＝0的两根为，，则

,③即,得－3≤m≤－1，

综上，当A∩B＝∅时，m的取值范围是{m|m≥－3}．

又因为U＝R，④所以当A∩B≠∅时，

m的取值范围是{m|m≥－3}＝{m|m<－3}．

所以，A∩B≠∅时，m的取值范围是{m|m<－3}．

状元随笔　

①A∩B＝∅,对于集合A而言,分A＝∅与A≠∅两种情况. A＝∅表示方程无实根．

②B＝{x|x＜0},而A∩B＝∅,故A={x|x≥0},即方程的根为非负实根．

③Δ≥0保证了A≠∅，即原方程有实根；+≥0与≥0保证了原方程两根非负. 如果两根都大于1，则等价形式为而不是.

④由于A∩B≠∅，故方程－4x＋2m ＋6＝0一定有解，故我们还可以设全集U＝{m|Δ≥0}＝{m|m≤－1}．此时，{m|－3≤m≤－1}关于U的补集也是{m|m＜－3}，结果相同．

2．图示法

在进行集合的交、并、补综合运算时，为了保证运算的准确性、有效性、简捷性，通常要借助Venn图和数轴这两个有力的工具，数形结合来分析得出结果．

一般来说，用列举法表示的数集或者研究比较抽象的集合之间关系时，用Venn图比较方便，如(A)∩B，(B)∩A等在图示法中的表示如图所示．

如图所示，两条封闭相交的曲线将集合U分为四个部分：

(1)(A)∩B；  (2)(B)∩A；

(3)A∩B；     (4)(A∪B)．

用描述法表示的数集，特别是和不等式相关的集合之间的运算．通常用数轴分析得出结果，这样可以将抽象问题直观化．

例题6:集合A＝{x|－6≤x≤1}，B＝{x|x<－3或x>0}，求A∪B和A∩B.

[解析]　∵A＝{x|－6≤x≤1}，B＝{x|x<－3或x>0}．

在数轴上表示集合A，B如图所示，

∴A∪B＝{x|－6≤x≤1}∪{x|x<－3或x>0}＝R，

A∩B＝{x|－6≤x≤1}∩{x|x<－3或x>0}＝{x|－6≤x<－3或0<x≤1}．

布置作业

教材练习题

教辅练习题

板书设计

一、补集

二、综合题型

教学反思