高中数学人教B版 (2019)必修 第一册1.1.2 集合的基本关系学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册1.1.2 集合的基本关系学案，共11页。学案主要包含了集合间关系的判断，子集，集合间关系的应用等内容，欢迎下载使用。

导语
我们知道，两个实数之间有相等关系、大小关系，如5＝5,5<7,5>3，等等，两个集合之间是否也有类似的关系呢？(同学们有可能回答包含关系)嗯，大家都预习课本了，有同学说了，集合间有包含关系，不错，本节课的关键词就是“包含”，古人有云：困难里包含着胜利；失败里孕育着成功；书包含着人生；机会包含于每个人的奋斗之中．
一、集合间关系的判断
问题 观察下面的几个例子，请同学们说出两个集合元素有何特点？
(1)A＝{1,2,3}，B＝{1,2,3,4,5}；
(2)C为立德中学高一(2)班全体女生组成的集合，D为这个班全体学生组成的集合；
(3)A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{偶数}．
提示 (1)集合A的任意元素都是集合B的元素，但4和5是集合B的元素，不是集合A的元素；
(2)集合C的任意元素都是集合D的元素，但立德中学高一(2)班每一个男生都是集合D的元素，不是集合C的元素；(3)集合A的任意元素都是集合B的元素，同时集合B的任意元素都是集合A的元素．
知识梳理
1．子集与真子集的定义
2.维恩图
如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图通常称为维恩图．
注意点：
(1)任意集合A都是它自身的子集，即A⊆A.
(2)空集是任意一个集合A的子集，即∅⊆A，空集是任意一个非空集合B的真子集，即∅B.
(3)对于集合A，B，C，如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C；
对于集合A，B，C，如果AB，BC，则AC.
(4)如果A⊆B且B⊆A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A⊆B且B⊆A.
例1 指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
(3)A＝(－1,4)，B＝{x|x－5<0}；
(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋}．
解 (1)集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．
(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB.
(3)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知AB.
(4)由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，故NM.
反思感悟 (1)判断集合关系的方法
①观察法：一一列举观察．
②元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．
③数形结合法：利用数轴或维恩图．
(2)证明集合间的包含关系，一般用定义．
跟踪训练1 (1)能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的维恩图是( )
答案 B
解析 解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，易得NM，其对应的维恩图如选项B所示．
(2)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{x|x<8，x∈N}，用适当的符号填空：
①A________B；②A________C；
③{2}________C；④2________C.
答案 ①＝ ② ③ ④∈
解析 A＝{1,2}，B＝{1,2}，C＝{0,1,2,3,4,5,6,7}．故①A＝B；②AC；③{2}C；④2∈C.
二、子集、真子集的个数问题
例2 已知集合M满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，写出集合M所有的可能情况．
解 由题意可以确定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：
含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；
含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；
含有5个元素：{1,2,3,4,5}．
故满足条件的集合M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．
反思感悟 公式法求有限集合的子集个数
(1)含n个元素的集合有2n个子集．
(2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集．
(3)含n(n≥1)个元素的集合有(2n－2)个非空真子集．
跟踪训练2 已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集．
解 ∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，
∴A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．
∴A的子集有∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．
三、集合间关系的应用
例3 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若BA，求实数m的取值范围．
解 (1)当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2.
(2)当B≠∅时，如图所示．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋1≥－2，,2m－1<5，,2m－1≥m＋1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋1>－2，,2m－1≤5，,2m－1≥m＋1，))
解这两个不等式组，得2≤m≤3.
综上可得，m的取值范围是{m|m≤3}．
延伸探究
1．若本例条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2解 (1)当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2.
(2)当B≠∅时，如图所示．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋1>－2，,2m－1<5，,m＋1≤2m－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>－3，,m<3，,m≥2，))
即2≤m<3，
综上可得，m的取值范围是{m|m<3}．
2．若本例条件“BA”改为“A⊆B”，其他条件不变，求m的取值范围．
解 当A⊆B时，如图所示，此时B≠∅.
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m－1>m＋1，,m＋1≤－2，,5≤2m－1，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>2，,m≤－3，,m≥3，))
∴m∈∅，
即m的取值范围为∅.
反思感悟 (1)利用数轴处理不等式表示的集合间的关系问题时，可化抽象为直观，要注意端点值的取舍．
(2)涉及到“A⊆B”或“AB且B≠∅”的问题，一定要分A＝∅和A≠∅两种情况讨论，不要忽视空集的情况．
跟踪训练3 (1)已知集合A＝[－3,4]，B＝{x|2m－1(2)已知集合A＝{x|x2－4x＋3＝0}，B＝{x|mx－3＝0}，且B⊆A，则实数m的取值集合为________．
答案 (1)[－1，＋∞) (2){0,1,3}
解析 (1)∵B⊆A，
①当B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.
②当B≠∅时，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－3≤2m－1，,m＋1≤4，,2m－1综上得m的取值范围为[－1，＋∞)．
(2)由x2－4x＋3＝0，得x＝1或x＝3.
∴集合A＝{1,3}．
①当B＝∅时，此时m＝0，满足B⊆A.
②当B≠∅时，则m≠0，B＝{x|mx－3＝0}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(3,m))).
∵B⊆A，∴eq \f(3,m)＝1或eq \f(3,m)＝3，解得m＝3或m＝1.
综上可知，所求实数m的取值集合为{0,1,3}．
1．知识清单：
(1)子集、真子集、维恩图的概念及集合间关系的判断．
(2)子集、真子集的个数问题．
(3)由集合间的关系求参数的值或范围．
2．方法归纳：数形结合、分类讨论．
3．常见误区：忽略对集合是否为空集的讨论，利用数轴解题时忽视是否能够取到端点．
1．(多选)集合P＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1,0,1}，则P与T的关系为( )
A．P⊆T B．T⊇P
C．P＝T D．P⊈T
答案 AB
解析 集合P＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，T＝{－1,0,1}，∴P⊆T，或者写成T⊇P.
2．集合A＝{－1,0,1}，在A的子集中，含有元素0的子集共有( )
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
答案 B
解析 根据题意，在集合A的子集中，含有元素0的子集有{0}，{0,1}，{0，－1}，{－1,0,1}，共4个．
3．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的维恩图是( )
答案 B
解析 由N＝{x|x2＋x＝0}，得N＝{－1,0}．
∵M＝{－1,0,1}，∴NM.
4．已知M＝{x|x≥2eq \r(2)，x∈R}，给定下列关系：①π∈M；②{π}M；③πM；④{π}∈M.其中正确的有________．(填序号)
答案 ①②
解析 ①②显然正确；③中π与M的关系为元素与集合的关系，不应该用“”符号；④中{π}与M的关系是集合与集合的关系，不应该用“∈”符号．
5．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x，y\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y,x)＝1))))，则A，B的关系是________．
答案 BA
解析 因为B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x，y\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y,x)＝1))))＝{(x，y)|y＝x，且x≠0}，故BA.
1．(多选)下列关系书写正确的有( )
A．0∈{0} B．∅{0}
C．{0,1}＝{(0,1)} D．{(a，b)}＝{(b，a)}
答案 AB
解析 A正确，0是集合{0}的元素；B正确，∅是任何非空集合的真子集；C错误，集合{0,1}含有两个元素0,1，{(0,1)}含有一个元素点(0,1)，所以这两个集合不相等；D错误，集合
{(a，b)}含有一个元素点(a，b)，集合{(b，a)}含有一个元素点(b，a)，这两个元素不同，所以集合不相等．
2．已知集合N＝{1,3,5}，则集合N的真子集个数为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
答案 C
解析 集合N的真子集有∅，{1}，{3}，{5}，{1,3}，{1,5}，{3,5}，共7个．
3．设A＝{a，b}，B＝{x|x∈A}，则( )
A．B∈A B．BA C．A∈B D．A＝B
答案 D
解析 因为集合B中的元素x∈A，所以x＝a或x＝b，所以B＝{a，b}，因此A＝B.
4．(多选)集合U，S，T，F的关系如图所示，下列关系正确的是( )
A．S∈U B．F⊆T
C．S⊆T D．F⊆U
答案 CD
解析 元素与集合之间的关系才用“∈”，故A错；子集的区域要被全部涵盖，故B错，由题图知，C，D正确．
5．已知集合M＝{x|x2＝1}，N＝{x|ax＝1}，若N⊆M，则实数a的取值集合为( )
A．{1} B．{－1,1} C．{1,0} D．{1，－1,0}
答案 D
解析 ∵集合M＝{x|x2＝1}＝{－1,1}，N＝{x|ax＝1}，N⊆M，
∴当a＝0时，N＝∅，成立；
当a≠0时，N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))，
∴eq \f(1,a)＝－1或eq \f(1,a)＝1.
解得a＝－1或a＝1.
综上，实数a的取值集合为{1，－1,0}．
6．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0答案 4
解析 因为集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，
所以当满足A⊆C⊆B时，集合C可以为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，
故满足条件A⊆C⊆B的集合C有4个．
7．设集合A＝{1,3，a}，B＝{1,1－2a}，且B⊆A，则a的值为________．
答案 －1或eq \f(1,3)
解析 由题意，得1－2a＝3或1－2a＝a，解得a＝－1或a＝eq \f(1,3).当a＝－1时，A＝{1,3，
－1}，B＝{1,3}，符合题意；当a＝eq \f(1,3)时，A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，3，\f(1,3)))，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,3)))，符合题意．所以a的值为－1或eq \f(1,3).
8．已知集合A＝(－∞，3)，集合B＝(－∞，m)，且A⊆B，则实数m满足的条件是________，若B⊆A，则m满足的条件是________．
答案 [3，＋∞) (－∞，3]
解析 将数集A在数轴上表示出来，如图所示，
要满足A⊆B，表示数m的点必须在表示3的点处或在其右边，故m≥3.若B⊆A，则表示数m的点必须在表示3的点处或在其左边，故m≤3.
9．已知集合A＝{a，a－1}，B＝{2，y}，C＝{x|2(1)若A＝B，求y的值；
(2)若A⊆C，求a的取值范围．
解 (1)若a＝2，则A＝{1,2}，所以y＝1；
若a－1＝2，则a＝3，A＝{2,3}，所以y＝3，
综上所述，y的值为1或3.
(2)因为C＝{x|2所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(210．设集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m－1(1)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；
(2)若A⊇B，求m的取值范围．
解 (1)∵x∈Z，
∴A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，
即A中含有8个元素，
∴A的非空真子集数为28－2＝254(个)．
(2)①当m－1≥2m＋1，即m≤－2时，B＝∅⊆A；
②当m>－2时，B＝{x|m－1因此，要B⊆A，
则只要eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－1≥－2，,2m＋1≤5))⇒－1≤m≤2.
综上所述，m的取值范围是{m|－1≤m≤2或m≤－2}．
11．已知集合A＝{(x，y)|y＝x}和B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x，y\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y＝1,x＋4y＝5))))))，则下列结论正确的是( )
A．1∈A B．B⊆A
C．(1,1)⊆B D．∅∈A
答案 B
解析 A项，集合A是一个点集，故1∉A；B项，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x，y\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y＝1,x＋4y＝5))))))＝{(1,1)}，故B⊆A；C项应为(1,1)∈B；D项应为∅⊆A.
12．已知非空集合M满足：对任意x∈M，总有x2∉M，且eq \r(x)∉M，若M⊆{0,1,2,3,4,5}，则满足条件的M的个数是( )
A．11 B．12 C．15 D．16
答案 A
解析 由题意得M是集合{2,3,4,5}的非空子集，且2,4不同时出现，故满足题意的集合M有11个．
13．设集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么M与P的关系为________．
答案 M＝P
解析 因为xy>0，所以x，y同号，
又x＋y<0，所以x<0，y<0，
即集合M表示第三象限内的点，
而集合P也表示第三象限内的点，故M＝P.
14．设a，b∈R，若集合{1，a＋b，a}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，\f(b,a)，b))，则a－b＝________.
答案 －2
解析 因为{1，a＋b，a}中含有元素0，a≠0，
所以a＋b＝0，所以eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，\f(b,a)，b))＝{0，－1，b}．
由已知{1，a＋b，a}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，\f(b,a)，b))，
得{1,0，a}＝{0，－1，b}，
所以a＝－1，b＝1，所以a－b＝－2.
15．已知集合A＝{2,4,6,8,9}，B＝{1,2,3,5,8}，若非空集合C是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A的一个子集，若各元素都减2后，则变为B的一个子集，则集合C＝________.
答案 {4}或{7}或{4,7}
解析 由题意知C⊆{0,2,4,6,7}，C⊆{3,4,5,7,10}，所以C⊆{4,7}．
又因为C≠∅，
所以C＝{4}或{7}或{4,7}．
16．已知三个集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，C＝{x|x2－bx＋2＝0}，同时满足BA，C⊆A的实数a，b是否存在？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，请说明理由．
解 A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，
∵B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}
＝{x|(x－1)[x－(a－1)]＝0}，
∴1∈B.
又BA，∴a－1＝1，即a＝2.
∵C＝{x|x2－bx＋2＝0}，且C⊆A，
∴C＝∅或{1}或{2}或{1,2}．
当C＝{1,2}时，b＝3；
当C＝{1}或{2}时，Δ＝b2－8＝0，即b＝±2eq \r(2)，
此时x＝±eq \r(2)，与C＝{1}或{2}矛盾，故舍去；
当C＝∅时，Δ＝b2－8<0，即－2eq \r(2)综上可知，存在a＝2，b＝3或－2eq \r(2)定义
符号表示
图形表示
子集
如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集
A⊆B(或B⊇A)读作：A包含于B(或B包含A)
或
真子集
如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集
AB(或BA)读作：A真包含于B(或B真包含A)
相等
如果集合A和集合B的元素完全相同
A＝B