数学1.1.3 集合的基本运算优质第2课时2课时导学案

这是一份数学1.1.3 集合的基本运算优质第2课时2课时导学案，共8页。







知识点1 全集


在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，全集通常用U表示.


[微思考]


全集一定是实数集R吗？


提示 全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.


知识点2 补集


1.定义：如果集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，记作∁UA，读作“A在U中的补集”. 由全集U及其子集A得到∁UA，通常称为补集运算.


2.图形表示





3.补集的性质


(1)A∪(∁UA)＝U；


(2)A∩(∁UA)＝∅；


(3)∁U(∁UA)＝A.





[微体验]


1.思考辨析


(1)集合∁RA＝∁QA.( )


(2)一个集合的补集一定含有元素.( )


答案 (1)× (2)×


2.已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，则∁UA＝( )


A.{6,8} B.{5,7}


C.{1,3,5,7} D.{2,4,6,8}[来源:]


D [因为U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，


所以∁UA＝{2,4,6,8}.]


3.设全集U＝{x|x≥0}，集合P＝{1}，则∁UP等于( )


A.{x|0≤x＜1，或x＞1} B.{x|x＜1}


C.{x|x＜1或x＞1} D.{x|x＞1}


A [因为U＝{x|x≥0}，P＝{1}，所以∁UP＝{x|x≥0，且x≠1}＝{x|0≤x＜1或x＞1}.]


4.已知全集为R，集合A＝{x|x＜1，或x≥5}，则∁RA＝________.





{x|1≤x＜5} [如图所示，集合A＝{x|x＜1，或x≥5}的补集是∁RA＝{x|1≤x＜5}.]


[来源:ZXXK]


探究一 补集运算


已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∁UB＝{1,4,6}.求集合B.


解 方法一：因为A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，


所以U＝{1,2,3,4,5,6,7}.


又∁UB＝{1,4,6}，所以B＝{2,3,5,7}.


方法二：借助Venn图，如图所示：





由图可知B＝{2,3,5,7}.


[方法总结]


求集合补集的基本方法及处理技巧


(1)基本方法：定义法.


(2)两种处理技巧：


①当集合用列举法表示时，直接套用定义或借助Venn图求解.


②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解.


[跟踪训练1] 设U＝{x|－5≤x＜－2，或2＜x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}.求∁UA，∁UB.


解 方法一：在集合U中，


因为x∈Z，所以x的值为－5，－4，－3,3,4,5.


所以U＝{－5，－4，－3,3,4,5}.


又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}，


所以∁UA＝{－5，－4,3,4}，


∁UB＝{－5，－4,5}.


方法二：借助Venn图，如图所示：





则∁UA＝{－5，－4,3,4}，∁UB＝{－5，－4,5}.


探究二 集合的交、并、补综合运算


设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，求∁RB，∁R(A∪B)，(∁RA)∩B.


解 把集合A，B在数轴上表示如下：





由图知∁RB＝{x|x≤2，或x≥10}，


A∪B＝{x|2＜x＜10}，


所以∁R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}.


因为∁RA＝{x|x＜3，或x≥7}，


所以(∁RA)∩B＝{x|2＜x＜3，或7≤x＜10}.


[方法总结]


(1)求解与不等式有关集合问题的方法


解决与不等式有关的集合问题时，借助于数轴(这也是集合语言转化为图形语言的常用方法)可以使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到.


(2)求解集合混合运算问题的一般顺序


解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，然后再运算其他，如求(∁RA)∩B时，可先求出∁RA，再求交集.


[跟踪训练2] (1)(2019·全国卷Ⅰ)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，则B∩∁UA＝( )


A.{1,6} B.{1,7}


C.{6,7} D.{1,6,7}


C [因为U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，则∁UA＝{1,6,7}，又因为B＝{2,3,6,7}，则B∩∁UA＝{6,7}.]


(2)设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩(∁UN)＝{2,4}，则N＝( )


A.{1,2,3} B.{1,3,5}


C.{1,4,5} D.{2,3,4}


B [画出Venn图，阴影部分为M∩(∁UN)＝{2,4}，所以N＝{1,3,5}.


]


探究三 交、并、补运算的应用


设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2＜x＜4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围.


解 由已知A＝{x|x≥－m}，得∁UA＝{x|x＜－m}，


因为B＝{x|－2＜x＜4}，(∁UA)∩B＝∅，在数轴上表示如图





所以－m≤－2，即m≥2，所以m的取值范围是m≥2.


[变式探究] 将典例中条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UA)∩B≠∅”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？


解 由已知得A＝{x|x≥－m}，所以∁UA＝{x|x＜－m}，又(∁UA)∩B≠∅，所以－m＞－2，解得m＜2.


[方法总结]


由集合的补集求解参数的方法


(1)有限集：由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解.


(2)无限集：与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法求解.


[跟踪训练3] 已知集合A＝{x|1≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，C＝{x|x＜a}，全集为实数集R.


(1)求A∪B，(∁RA)∩B；


(2)如果A⊆∁RC，求a的取值范围.


解 (1)因为A＝{x|1≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，


所以A∪B＝{x|1≤x＜10}，(∁RA)∩B＝{x|x＜1，或x≥7}∩{x|2＜x＜10}＝{x|7≤x＜10}.


(2)由题意知∁RC＝{x|x≥a}，又A⊆(∁RC)，故a≤1.





1.全集与补集的互相依存关系


(1)全集并非是包罗万象，含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究方程的实数解，R就是全集.因此，全集因研究问题而异.


(2)补集是集合之间的一种运算.求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念.


(3)∁UA的数学意义包括两个方面：首先必须具备A⊆U；其次是定义∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}，补集是集合间的运算关系.


2.补集思想


做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求∁UA，再由∁U(∁UA)＝A，求A.[来源:Z。xx。k.Cm]








课时作业(四) 补集及集合运算综合





1.已知全集U＝{0,1,2}，且∁UA＝{2}，则A等于( )


A.{0} B.{1}


C.∅ D.{0,1}


D [因为∁UA＝{2}，所以A＝{0,1}.]


2.已知U＝R，集合A＝{x|x＜－2，或x＞2}，则∁UA＝( )


A.{x|－2＜x＜2} B.{x|x＜－2或x＞2}


C.{x|－2≤x≤2} D.{x|x≤－2或x≥2}


C [根据补集的定义并结合数轴可得∁UA＝{x|－2≤x≤2}.


]


3.已知全集U＝{1,2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，∁UA＝{3}，则实数a等于( )


A.0或2 B.0


C.1或2 D.2


D [由题意，知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,a2－2a＋3＝3，))则a＝2.]


4.图中的阴影部分表示的集合是( )





A.A∩(∁UB) B.B∩(∁UA)


C.∁U(A∩B) D.∁U(A∪B)


B [阴影部分表示集合B与集合A的补集的交集.因此，阴影部分所表示的集合为B∩(∁UA).]


5.(多选题)设全集U＝{x|x2－8x＋15＝0，x∈R}.∁UA＝{x|ax－1＝0}，则实数a的值为( )


A.0 B.eq \f(1,3)


C.eq \f(1,5) D.2


ABC [U＝{3,5}，若a＝0，则∁UA＝∅，此时A＝U；若a≠0，则∁UA＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,a))).


此时eq \f(1,a)＝3或eq \f(1,a)＝5，


所以a＝eq \f(1,3)或a＝eq \f(1,5).


综上a的值为0或eq \f(1,3)或eq \f(1,5).]


6.已知全集S＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|x2＋y2≠0}，用列举法表示集合∁SA是________.


{(0,0)} [∁SA＝{(x，y)|x2＋y2＝0}＝{(0,0)}.]


7.已知集合U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，B＝{2,6,8}，则(∁UA)∩B＝________.


{6,8} [(∁UA)∩B＝{6,8}∩{2,6,8}＝{6,8}.]


8.已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁UA)∪(∁UB)中有n个元素.若A∩B非空，则A∩B的元素个数为________.


m－n [因为(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)，所以A∩B中的元素个数是(m－n)个.]


9.设全集I＝{2,3，x2＋2x－3}，A＝{5}，∁IA＝{2，y}，求实数x，y的值.


解 因为A＝{5}，∁IA＝{2，y}.


所以I＝{2,5，y}，又I＝{2,3，x2＋2x－3}，[来源]


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x－3＝5，,y＝3，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－4，,y＝3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝3.))


故x＝2，y＝3或x＝－4，y＝3.


10.已知集合A＝{4，a2＋4a＋2}，B＝{－2,7,2－a}.


(1)若A∩B＝{7}，求A∪B；


(2)若A⊆B，求A∩B.


解 (1)因为A∩B＝{7}，所以7∈A，


所以a2＋4a＋2＝7，解得a＝－5或1.


①若a＝－5，则2－a＝7，B中元素不满足互异性；


②若a＝1，则A＝{4,7}，B＝{－2,7,1}，满足题意.


所以A∪B＝{－2,1,4,7}.


(2)因为A⊆B，所以2－a＝4，解得a＝－2，


所以A＝{4，－2}，B＝{－2,7,4}，


所以A∩B＝{－2,4}.





1.设集合M＝{x|x＝3k，k∈Z}，P＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，Q＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，则∁Z(P∪Q)＝( )


A.M B.P


C.Q D.∅


A [x＝3k，k∈Z表示被3整除的整数；x＝3k＋1，k∈Z表示被3整除余1的整数；x＝3k－1表示被3整除余2的整数，所以∁Z(P∪Q)＝M.]


2.已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∪(∁RB)＝R，则实数a的取值范围是( )


A.a≤1 B.a＜1


C.a≥2 D.a＞2


C [如图所示，





若能保证并集为R，则只需实数a在数2的右边，注意等号的选取.]


3.全集U＝R，A＝{x|x＜－3或x≥2}，B＝{x|－1＜x＜5}，则集合C＝{x|－1＜x＜2}＝________(用A，B或其补集表示).


B∩(∁UA) [如图所示：





由图可知C⊆∁UA，且C⊆B，所以C＝B∩(∁UA).]


4.设全集U＝R，集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＞a}，且(∁UA)∪B＝R，则实数a的取值范围是__________.


a≤1 [因为A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＞a}，


所以∁UA＝{x|x≤1}，由(∁UA)∪B＝R，可知a≤1.]


5.已知集合A＝{x|2a－2＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A(∁RB)，求a的取值范围.


解 ∁RB＝{x|x≤1，或x≥2}≠∅，


因为A(∁RB)，


所以分A＝∅和A≠∅两种情况讨论.


①若A＝∅，此时有2a－2≥a，所以a≥2.


②若A≠∅，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a－2＜a,a≤1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a－2＜a，,2a－2≥2))


所以a≤1.


综上所述，a≤1，或a≥2.


6.(拓广探索)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，求该网店：


(1)第一天售出但第二天未售出的商品有多少种？


(2)这三天售出的商品最少有多少种？


解 (1)由Venn图知，第一天售出但第二天未售出的商品为19－3＝16(种).





(2)而这三天售出的商品最少时有2＋18＋9＝29(种).





课程标准
学科素养
1.在具体情境中，了解全集的含义.



通过对补集概念的学习，提升“直观想象”“逻辑推理”“数学运算”的核心素养.
2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集.
3.体会图形对理解抽象概念的作用.