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人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系第1课时学案设计
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这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系第1课时学案设计，共10页。学案主要包含了空间中向量的坐标，空间向量的运算与坐标的关系，空间向量坐标运算的综合应用等内容，欢迎下载使用。
学习目标 1.了解空间中向量的坐标的定义.2.掌握空间向量运算的坐标表示.3.能够利用坐标运算来求空间向量的长度与夹角．
导语
一块巨石从山顶坠落，挡住了前面的路，抢修队员紧急赶到，从三个方向拉巨石，这三个力分别为F1，F2，F3，它们两两垂直，且|F1|＝3 000 N，|F2|＝2 000 N，|F3|＝2 000eq \r(3) N，若以F1，F2，F3的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，巨石受合力的坐标是什么？怎样求巨石受到的合力的大小？这就需要用到空间向量运算的坐标表示．
一、空间中向量的坐标
问题1 平面中{e1，e2}是向量p的单位正交基底，你能用{e1，e2}表示向量p吗？
提示 p＝xe1＋ye2；其中有序数组(x，y)是向量p的坐标．实际上，对于平面中任意不共线的向量{a，b}，若p＝xa＋yb，则有序数组(x，y)是基底{a，b}下的坐标．
知识梳理
空间中向量的坐标
一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底；在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p＝(x，y，z)，其中x，y，z都称为p的坐标分量．
注意点：(1)零向量的坐标为(0,0,0)．
(2)书写向量坐标等号莫漏掉．
(3)书写点的坐标等号不能要．
例1 已知{e1，e2，e3}是单位正交基底，a＝3e1＋2e2－e3，b＝－e1＋3e3，试写出a与b的坐标．
解 a＝(3,2，－1)；b＝(－1,0,3)．
反思感悟 在空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，且这三个向量两两垂直，若p＝xe1＋ye2＋ze3，则p＝(x，y，z)．
跟踪训练1 已知{e1，e2，e3}是单位正交基底，下列说法正确的是( )
A．若p＝2e1－e2＋3e3，则p＝(2,1,3)
B．若q＝－e1＋2e2，则q＝(－1,2)
C．若r＝e1＋3e2－e3，则r＝(1,3，－1)
D．若s＝－3e2，则s＝(0,0，－3)
答案 C
解析 A中，p＝(2，－1,3)；B中，q＝(－1,2,0)；C中，r＝(1,3，－1)；D中，s＝(0，－3,0)．
二、空间向量的运算与坐标的关系
问题2 在平面中，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你还记得这两个向量的加法、减法、数乘等一系列的运算吗？
提示 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)；a－b＝(x1－x2，y1－y2)；λa＝(λx1，λy1)；a·b＝x1x2＋y1y2；|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))等．
知识梳理
空间向量的坐标运算
若空间中两个向量a，b满足a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则：
例2 (1)向量a＝(2,0,5)，b＝(3,1，－2)，c＝(－1,4,0)，则a＋6b－8c＝________.
答案 (28，－26，－7)
解析 a＋6b－8c＝(2,0,5)＋6(3,1，－2)－8(－1,4,0)
＝(2,0,5)＋(18,6，－12)－(－8,32,0)
＝(28，－26，－7)．
(2)已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，则b·(a＋b)等于( )
A．36 B．26
C．46 D．30
答案 A
解析 依题意，得b＝a－(a－b)＝a－(－1,2，－1)＝a＋(1，－2,1)＝2(1，－2,1)＝(2，－4,2)，则a＋b＝(3，－6,3)，所以b·(a＋b)＝(2，－4,2)·(3，－6,3)＝6＋24＋6＝36.
反思感悟 空间向量坐标运算问题，一是直接计算，首先将空间向量用坐标表示，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算；二是通过解方程组求其坐标．
跟踪训练2 已知a＋b＝(－2,5,4)，a－b＝(4，－1，2)，则a＝________，b＝________.
答案 (1,2,3) (－3,3,1)
解析 a＝eq \f(a＋b＋a－b,2)
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，5，4＋4，－1，2))
＝eq \f(1,2)(2,4,6)＝(1,2,3)．
b＝eq \f(a＋b－a－b,2)
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，5，4－4，－1，2))
＝eq \f(1,2)(－6,6,2)＝(－3,3,1)．
三、空间向量坐标运算的综合应用
例3 已知向量a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,2,2)．
求：(1)|a＋b－2c|；
(2)cs〈a－b，b－c〉．
解 (1)a＋b－2c＝(2，－3,1)＋(2,0,3)－2(0,2,2)
＝(2，－3,1)＋(2,0,3)－(0,4,4)
＝(4，－7,0)．
∴|a＋b－2c|＝eq \r(42＋－72＋02)＝eq \r(65).
(2)a－b＝(0，－3，－2)，b－c＝(2，－2,1)，
∴|a－b|＝eq \r(13)，|b－c|＝eq \r(9)＝3，
(a－b)·(b－c)＝0＋(－3)×(－2)＋(－2)×1＝4.
∴cs〈a－b，b－c〉＝eq \f(a－b·b－c,|a－b||b－c|)
＝eq \f(4,\r(13)×3)＝eq \f(4\r(13),39).
反思感悟 空间向量的数量积、模、夹角公式的坐标表示a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)．
(1)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.
(2)|a|＝eq \r(a2)＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)＋z\\al(2,1)).
(3)cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)
＝eq \f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)＋z\\al(2,1))·\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)＋z\\al(2,2))).
跟踪训练3 (1)若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，且满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________.
答案 2
解析 由题意，得c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)，
由(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，解得x＝2.
(2)已知a＝(2，－3,0)，b＝(k,0,3)，〈a，b〉＝120°，则k＝________.
答案 －eq \r(39)
解析 ∵a·b＝2k，|a|＝eq \r(13)，|b|＝eq \r(k2＋9)，
∴cs〈a，b〉＝eq \f(2k,\r(13)·\r(k2＋9))＝－eq \f(1,2)，
∴k<0，且eq \f(4k2,13·k2＋9)＝eq \f(1,4)，
解得k2＝39，∴k＝－eq \r(39)(正值舍去)．
1.知识清单：
(1)空间中向量的坐标．
(2)空间向量的坐标运算．
2．方法归纳：公式法．
3．常见误区：
(1)正确的用坐标表示空间的向量以及向量的运算．
(2)向量坐标与点的坐标书写规范．
1．已知向量a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，则4a＋2b等于( )
A．(16,0,4) B．(8，－16,4)
C．(8,16,4) D．(8,0,4)
答案 D
解析 4a＋2b＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0)
＝(12，－8,4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4)．
2．已知向量a＝(0,2,1)，b＝(－1,1，－2)，则a与b的夹角为( )
A．0 B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,2) D．π
答案 C
解析 ∵cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(2－2,\r(5)×\r(6))＝0，
〈a，b〉∈[0，π]．∴〈a，b〉＝eq \f(π,2).
3．已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝eq \r(29)，且λ>0，则λ等于( )
A．5 B．4 C．3 D．2
答案 C
解析 λa＋b＝λ(0，－1,1)＋(4,1,0)＝(4,1－λ，λ)，由已知得|λa＋b|＝eq \r(42＋1－λ2＋λ2)＝eq \r(29)，且λ>0，解得λ＝3.
4．设eq \(AB,\s\up6(→))＝(cs α＋sin α，0，－sin α)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(0，cs α，0)，则|eq \(AC,\s\up6(→))|的最大值为________．
答案 eq \r(3)
解析 ∵eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝(cs α＋sin α，cs α，－sin α)，
∴|eq \(AC,\s\up6(→))|2＝(cs α＋sin α)2＋cs2α＋(－sin α)2
＝2＋sin 2α≤3，
∴|eq \(AC,\s\up6(→))|的最大值为eq \r(3).
1．已知{i，j，k}是单位正交基底，且eq \(AB,\s\up6(→))＝－i＋j－k，则eq \(AB,\s\up6(→))的坐标为( )
A．(－1,1，－1) B．(－i，j，－k)
C．(1，－1，－1) D．(1，－1,1)
答案 A
解析 根据空间向量坐标的定义，知eq \(AB,\s\up6(→))＝(－1,1，－1)．
2．已知向量a＝(2,3,1)，b＝(1,2,0)，则|a＋b|等于( )
A.eq \r(3) B．3 C.eq \r(35) D．9
答案 C
解析 a＋b＝(3,5,1)，
故|a＋b|＝eq \r(32＋52＋12)＝eq \r(35).
3．已知a＝(－3,2,5)，b＝(1，x，－1)，且a·b＝2，则实数x的值是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 C
解析 因为a＝(－3,2,5)，b＝(1，x，－1)，所以a·b＝－3＋2x－5＝2，解得x＝5.
4．已知a＝(x,3,1)，b＝(2，y，4)，若a＝zb且c＝(x，y，z)，则c等于( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，12，\f(1,4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－12，\f(1,4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，12，\f(1,4))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，12，－\f(1,4)))
答案 C
解析 由题意可得(x,3,1)＝z(2，y,4)，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2z，,3＝yz，,1＝4z，))解得x＝eq \f(1,2)，y＝12，z＝eq \f(1,4)，
所以c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，12，\f(1,4))).
5．已知向量a＝(3,5，－1)，b＝(2,2,3)，c＝(1，－1,2)，则向量a－b＋4c的坐标为( )
A．(5，－1,4) B．(5,1，－4)
C．(－5,1,4) D．(－5，－1,4)
答案 A
解析 向量a＝(3,5，－1)，b＝(2,2,3)，c＝(1，－1,2)，则向量a－b＋4c＝(3,5，－1)－(2,2,3)＋4(1，－1,2)＝(5，－1,4)．
6．(多选)已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三个向量能构成空间的一组基底，则实数λ的值可为( )
A．0 B.eq \f(35,7) C．9 D.eq \f(65,7)
答案 ABC
解析 ∵a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，
假设a，b，c三个向量不能构成空间的一组基底，
则a，b，c三个向量共面，
又∵a与b不平行，
∴存在实数x，y，使得c＝xa＋yb，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y＝7，,－x＋4y＝5，,3x－2y＝λ，))得λ＝eq \f(65,7)，
∴当λ＝eq \f(65,7)时，a，b，c三向量共面，当λ≠eq \f(65,7)时，a，b，c三向量不共面．即能作为一组基底．
7．已知空间向量a＝(1,0,1)，b＝(1,1，n)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为________．
答案 eq \f(π,6)
解析 ∵a·b＝1＋0＋n＝3，解得n＝2，又|a|＝eq \r(1＋0＋1)＝eq \r(2)，b＝(1,1,2)，∴cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(3,\r(2)×\r(1＋1＋4))＝eq \f(\r(3),2)，且〈a，b〉∈[0，π]，∴a与b的夹角为eq \f(π,6).
8．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，c＝(x，－1,2)，若a，b，c是共面向量，则x＝________.
答案 －2
解析 由于a，b不共线，且和c共面，根据共面向量定理，有c＝ma＋nb，即(x，－1,2)＝(m－n，m,2n)，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝m－n，,－1＝m，,2＝2n，))解得m＝－1，n＝1，x＝－1－1＝－2.
9．已知a＝4e1＋3e2－e3，b＝5e1－4e2＋2e3，其中{e1，e2，e3}是一组单位正交基底，试求a·b及a，b之间夹角的余弦值．
解 由题意知a＝(4,3，－1)，b＝(5，－4,2)，
所以a·b＝(4,3，－1)·(5，－4,2)＝4×5＋3×(－4)＋(－1)×2＝6.
又因为|a|＝eq \r(42＋32＋－12)＝eq \r(26)，
|b|＝eq \r(52＋－42＋22)＝eq \r(45)＝3eq \r(5)，
所以cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(6,\r(26)×3\r(5))＝eq \f(\r(130),65)，
所以a·b＝6，a与b夹角的余弦值为eq \f(\r(130),65).
10．已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，求：
(1)a＋b；(2)a－b；(3)a·b；
(4)2a·(－b)；(5)(a＋b)·(a－b)．
解 (1)a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)＝(2，－2,2)．
(2)a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)＝(2,0，－6)．
(3)a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7.
(4)因为2a＝(4，－2，－4)，所以2a·(－b)＝(4，－2，－4)·(0,1，－4)＝4×0＋(－2)×1＋(－4)×(－4)＝14.
(5)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝4＋1＋4－(0＋1＋16)＝－8.
11．已知向量a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为( )
A.eq \f(\r(65),2) B.eq \r(65) C．4 D．8
答案 B
解析 ∵|a|＝eq \r(22＋－12＋22)＝3，
|b|＝eq \r(22＋22＋12)＝3，
∴cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(4－2＋2,3×3)＝eq \f(4,9)，
∴sin〈a，b〉＝eq \f(\r(65),9)，
∴S＝|a|·|b|·sin〈a，b〉＝eq \r(65).
12．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值为( )
A.eq \r(2) B.eq \f(3\r(5),5)
C.eq \f(3,2) D．1
答案 B
解析 由已知，得b－a＝(2，t，t)－(1－t,1－t，t)＝(1＋t,2t－1,0)．
所以|b－a|＝eq \r(1＋t2＋2t－12＋02)＝eq \r(5t2－2t＋2)
＝eq \r(5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,5)))2＋\f(9,5)).
所以当t＝eq \f(1,5)时，|b－a|的最小值为eq \f(3\r(5),5).
13．设{i，j，k}是单位正交基底，已知向量p＝8a＋6b＋4c，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则向量p在基底{i，j，k}下的坐标是( )
A．(12,14,10) B．(10,12,14)
C．(14,12,10) D．(4,3,2)
答案 A
解析 依题意，知p＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k，故向量p在基底{i，j，k}下的坐标是(12,14,10)．
14．已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝eq \r(14)，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为________________________________________________________________________．
答案 120°
解析 a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，
故(a＋b)·c＝－a·c＝7，得a·c＝－7，
而|a|＝eq \r(12＋22＋32)＝eq \r(14)，
所以cs〈a，c〉＝eq \f(a·c,|a||c|)＝－eq \f(1,2)，所以〈a，c〉＝120°.
15．已知向量a，b，c是空间的一组单位正交基底，向量a＋b，a－b，c是空间的另一组基底，若向量p在基底{a，b，c}下的坐标是(1,3,4)，则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为( )
A．(2,1,4) B．(2，－1,4)
C．(－2，－1,4) D．(－2,1,4)
答案 B
解析 不妨设a＝(1,0,0)，b＝(0,1,0)，c＝(0,0,1)．
p＝a＋3b＋4c.
设p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc.
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝1，,x－y＝3，,z＝4，))解得x＝2，y＝－1，z＝4.
所以向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(2，－1,4)．
16．已知a＝(3，－2，－3)，b＝(－1，x－1,1)，且a与b的夹角为钝角，求x的取值范围．
解 ∵〈a，b〉为钝角，
∴cs〈a，b〉<0且〈a，b〉≠π.
若cs〈a，b〉<0，则a·b<0，
即3×(－1)＋(－2)×(x－1)＋(－3)×1<0，
解得x>－2.
若〈a，b〉＝π，则a与b反向，
则a＝λb(λ<0)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3＝－λ，,－2＝λx－1，,－3＝λ，))解得λ＝－3，x＝eq \f(5,3).
∵〈a，b〉≠π，∴x≠eq \f(5,3)，
即x>－2且x≠eq \f(5,3)，
故x的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(5,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，＋∞)).向量运算
向量表示
坐标表示
相等
a＝b
x1＝x2，y1＝y2，z1＝z2
加法
a＋b
(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)
线性运算
μa＋vb
(μx1＋vx2，μy1＋vy2，μz1＋vz2)
数量积
a·b
x1x2＋y1y2＋z1z2
模
|a|＝eq \r(a2)
eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)＋z\\al(2,1))
夹角
cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)
eq \f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)＋z\\al(2,1))·\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)＋z\\al(2,2)))
学习目标 1.了解空间中向量的坐标的定义.2.掌握空间向量运算的坐标表示.3.能够利用坐标运算来求空间向量的长度与夹角．
导语
一块巨石从山顶坠落，挡住了前面的路，抢修队员紧急赶到，从三个方向拉巨石，这三个力分别为F1，F2，F3，它们两两垂直，且|F1|＝3 000 N，|F2|＝2 000 N，|F3|＝2 000eq \r(3) N，若以F1，F2，F3的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，巨石受合力的坐标是什么？怎样求巨石受到的合力的大小？这就需要用到空间向量运算的坐标表示．
一、空间中向量的坐标
问题1 平面中{e1，e2}是向量p的单位正交基底，你能用{e1，e2}表示向量p吗？
提示 p＝xe1＋ye2；其中有序数组(x，y)是向量p的坐标．实际上，对于平面中任意不共线的向量{a，b}，若p＝xa＋yb，则有序数组(x，y)是基底{a，b}下的坐标．
知识梳理
空间中向量的坐标
一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底；在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p＝(x，y，z)，其中x，y，z都称为p的坐标分量．
注意点：(1)零向量的坐标为(0,0,0)．
(2)书写向量坐标等号莫漏掉．
(3)书写点的坐标等号不能要．
例1 已知{e1，e2，e3}是单位正交基底，a＝3e1＋2e2－e3，b＝－e1＋3e3，试写出a与b的坐标．
解 a＝(3,2，－1)；b＝(－1,0,3)．
反思感悟 在空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，且这三个向量两两垂直，若p＝xe1＋ye2＋ze3，则p＝(x，y，z)．
跟踪训练1 已知{e1，e2，e3}是单位正交基底，下列说法正确的是( )
A．若p＝2e1－e2＋3e3，则p＝(2,1,3)
B．若q＝－e1＋2e2，则q＝(－1,2)
C．若r＝e1＋3e2－e3，则r＝(1,3，－1)
D．若s＝－3e2，则s＝(0,0，－3)
答案 C
解析 A中，p＝(2，－1,3)；B中，q＝(－1,2,0)；C中，r＝(1,3，－1)；D中，s＝(0，－3,0)．
二、空间向量的运算与坐标的关系
问题2 在平面中，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你还记得这两个向量的加法、减法、数乘等一系列的运算吗？
提示 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)；a－b＝(x1－x2，y1－y2)；λa＝(λx1，λy1)；a·b＝x1x2＋y1y2；|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))等．
知识梳理
空间向量的坐标运算
若空间中两个向量a，b满足a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则：
例2 (1)向量a＝(2,0,5)，b＝(3,1，－2)，c＝(－1,4,0)，则a＋6b－8c＝________.
答案 (28，－26，－7)
解析 a＋6b－8c＝(2,0,5)＋6(3,1，－2)－8(－1,4,0)
＝(2,0,5)＋(18,6，－12)－(－8,32,0)
＝(28，－26，－7)．
(2)已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，则b·(a＋b)等于( )
A．36 B．26
C．46 D．30
答案 A
解析 依题意，得b＝a－(a－b)＝a－(－1,2，－1)＝a＋(1，－2,1)＝2(1，－2,1)＝(2，－4,2)，则a＋b＝(3，－6,3)，所以b·(a＋b)＝(2，－4,2)·(3，－6,3)＝6＋24＋6＝36.
反思感悟 空间向量坐标运算问题，一是直接计算，首先将空间向量用坐标表示，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算；二是通过解方程组求其坐标．
跟踪训练2 已知a＋b＝(－2,5,4)，a－b＝(4，－1，2)，则a＝________，b＝________.
答案 (1,2,3) (－3,3,1)
解析 a＝eq \f(a＋b＋a－b,2)
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，5，4＋4，－1，2))
＝eq \f(1,2)(2,4,6)＝(1,2,3)．
b＝eq \f(a＋b－a－b,2)
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，5，4－4，－1，2))
＝eq \f(1,2)(－6,6,2)＝(－3,3,1)．
三、空间向量坐标运算的综合应用
例3 已知向量a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,2,2)．
求：(1)|a＋b－2c|；
(2)cs〈a－b，b－c〉．
解 (1)a＋b－2c＝(2，－3,1)＋(2,0,3)－2(0,2,2)
＝(2，－3,1)＋(2,0,3)－(0,4,4)
＝(4，－7,0)．
∴|a＋b－2c|＝eq \r(42＋－72＋02)＝eq \r(65).
(2)a－b＝(0，－3，－2)，b－c＝(2，－2,1)，
∴|a－b|＝eq \r(13)，|b－c|＝eq \r(9)＝3，
(a－b)·(b－c)＝0＋(－3)×(－2)＋(－2)×1＝4.
∴cs〈a－b，b－c〉＝eq \f(a－b·b－c,|a－b||b－c|)
＝eq \f(4,\r(13)×3)＝eq \f(4\r(13),39).
反思感悟 空间向量的数量积、模、夹角公式的坐标表示a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)．
(1)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.
(2)|a|＝eq \r(a2)＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)＋z\\al(2,1)).
(3)cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)
＝eq \f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)＋z\\al(2,1))·\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)＋z\\al(2,2))).
跟踪训练3 (1)若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，且满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________.
答案 2
解析 由题意，得c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)，
由(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，解得x＝2.
(2)已知a＝(2，－3,0)，b＝(k,0,3)，〈a，b〉＝120°，则k＝________.
答案 －eq \r(39)
解析 ∵a·b＝2k，|a|＝eq \r(13)，|b|＝eq \r(k2＋9)，
∴cs〈a，b〉＝eq \f(2k,\r(13)·\r(k2＋9))＝－eq \f(1,2)，
∴k<0，且eq \f(4k2,13·k2＋9)＝eq \f(1,4)，
解得k2＝39，∴k＝－eq \r(39)(正值舍去)．
1.知识清单：
(1)空间中向量的坐标．
(2)空间向量的坐标运算．
2．方法归纳：公式法．
3．常见误区：
(1)正确的用坐标表示空间的向量以及向量的运算．
(2)向量坐标与点的坐标书写规范．
1．已知向量a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，则4a＋2b等于( )
A．(16,0,4) B．(8，－16,4)
C．(8,16,4) D．(8,0,4)
答案 D
解析 4a＋2b＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0)
＝(12，－8,4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4)．
2．已知向量a＝(0,2,1)，b＝(－1,1，－2)，则a与b的夹角为( )
A．0 B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,2) D．π
答案 C
解析 ∵cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(2－2,\r(5)×\r(6))＝0，
〈a，b〉∈[0，π]．∴〈a，b〉＝eq \f(π,2).
3．已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝eq \r(29)，且λ>0，则λ等于( )
A．5 B．4 C．3 D．2
答案 C
解析 λa＋b＝λ(0，－1,1)＋(4,1,0)＝(4,1－λ，λ)，由已知得|λa＋b|＝eq \r(42＋1－λ2＋λ2)＝eq \r(29)，且λ>0，解得λ＝3.
4．设eq \(AB,\s\up6(→))＝(cs α＋sin α，0，－sin α)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(0，cs α，0)，则|eq \(AC,\s\up6(→))|的最大值为________．
答案 eq \r(3)
解析 ∵eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝(cs α＋sin α，cs α，－sin α)，
∴|eq \(AC,\s\up6(→))|2＝(cs α＋sin α)2＋cs2α＋(－sin α)2
＝2＋sin 2α≤3，
∴|eq \(AC,\s\up6(→))|的最大值为eq \r(3).
1．已知{i，j，k}是单位正交基底，且eq \(AB,\s\up6(→))＝－i＋j－k，则eq \(AB,\s\up6(→))的坐标为( )
A．(－1,1，－1) B．(－i，j，－k)
C．(1，－1，－1) D．(1，－1,1)
答案 A
解析 根据空间向量坐标的定义，知eq \(AB,\s\up6(→))＝(－1,1，－1)．
2．已知向量a＝(2,3,1)，b＝(1,2,0)，则|a＋b|等于( )
A.eq \r(3) B．3 C.eq \r(35) D．9
答案 C
解析 a＋b＝(3,5,1)，
故|a＋b|＝eq \r(32＋52＋12)＝eq \r(35).
3．已知a＝(－3,2,5)，b＝(1，x，－1)，且a·b＝2，则实数x的值是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 C
解析 因为a＝(－3,2,5)，b＝(1，x，－1)，所以a·b＝－3＋2x－5＝2，解得x＝5.
4．已知a＝(x,3,1)，b＝(2，y，4)，若a＝zb且c＝(x，y，z)，则c等于( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，12，\f(1,4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－12，\f(1,4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，12，\f(1,4))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，12，－\f(1,4)))
答案 C
解析 由题意可得(x,3,1)＝z(2，y,4)，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2z，,3＝yz，,1＝4z，))解得x＝eq \f(1,2)，y＝12，z＝eq \f(1,4)，
所以c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，12，\f(1,4))).
5．已知向量a＝(3,5，－1)，b＝(2,2,3)，c＝(1，－1,2)，则向量a－b＋4c的坐标为( )
A．(5，－1,4) B．(5,1，－4)
C．(－5,1,4) D．(－5，－1,4)
答案 A
解析 向量a＝(3,5，－1)，b＝(2,2,3)，c＝(1，－1,2)，则向量a－b＋4c＝(3,5，－1)－(2,2,3)＋4(1，－1,2)＝(5，－1,4)．
6．(多选)已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三个向量能构成空间的一组基底，则实数λ的值可为( )
A．0 B.eq \f(35,7) C．9 D.eq \f(65,7)
答案 ABC
解析 ∵a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，
假设a，b，c三个向量不能构成空间的一组基底，
则a，b，c三个向量共面，
又∵a与b不平行，
∴存在实数x，y，使得c＝xa＋yb，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y＝7，,－x＋4y＝5，,3x－2y＝λ，))得λ＝eq \f(65,7)，
∴当λ＝eq \f(65,7)时，a，b，c三向量共面，当λ≠eq \f(65,7)时，a，b，c三向量不共面．即能作为一组基底．
7．已知空间向量a＝(1,0,1)，b＝(1,1，n)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为________．
答案 eq \f(π,6)
解析 ∵a·b＝1＋0＋n＝3，解得n＝2，又|a|＝eq \r(1＋0＋1)＝eq \r(2)，b＝(1,1,2)，∴cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(3,\r(2)×\r(1＋1＋4))＝eq \f(\r(3),2)，且〈a，b〉∈[0，π]，∴a与b的夹角为eq \f(π,6).
8．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，c＝(x，－1,2)，若a，b，c是共面向量，则x＝________.
答案 －2
解析 由于a，b不共线，且和c共面，根据共面向量定理，有c＝ma＋nb，即(x，－1,2)＝(m－n，m,2n)，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝m－n，,－1＝m，,2＝2n，))解得m＝－1，n＝1，x＝－1－1＝－2.
9．已知a＝4e1＋3e2－e3，b＝5e1－4e2＋2e3，其中{e1，e2，e3}是一组单位正交基底，试求a·b及a，b之间夹角的余弦值．
解 由题意知a＝(4,3，－1)，b＝(5，－4,2)，
所以a·b＝(4,3，－1)·(5，－4,2)＝4×5＋3×(－4)＋(－1)×2＝6.
又因为|a|＝eq \r(42＋32＋－12)＝eq \r(26)，
|b|＝eq \r(52＋－42＋22)＝eq \r(45)＝3eq \r(5)，
所以cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(6,\r(26)×3\r(5))＝eq \f(\r(130),65)，
所以a·b＝6，a与b夹角的余弦值为eq \f(\r(130),65).
10．已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，求：
(1)a＋b；(2)a－b；(3)a·b；
(4)2a·(－b)；(5)(a＋b)·(a－b)．
解 (1)a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)＝(2，－2,2)．
(2)a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)＝(2,0，－6)．
(3)a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7.
(4)因为2a＝(4，－2，－4)，所以2a·(－b)＝(4，－2，－4)·(0,1，－4)＝4×0＋(－2)×1＋(－4)×(－4)＝14.
(5)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝4＋1＋4－(0＋1＋16)＝－8.
11．已知向量a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为( )
A.eq \f(\r(65),2) B.eq \r(65) C．4 D．8
答案 B
解析 ∵|a|＝eq \r(22＋－12＋22)＝3，
|b|＝eq \r(22＋22＋12)＝3，
∴cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(4－2＋2,3×3)＝eq \f(4,9)，
∴sin〈a，b〉＝eq \f(\r(65),9)，
∴S＝|a|·|b|·sin〈a，b〉＝eq \r(65).
12．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值为( )
A.eq \r(2) B.eq \f(3\r(5),5)
C.eq \f(3,2) D．1
答案 B
解析 由已知，得b－a＝(2，t，t)－(1－t,1－t，t)＝(1＋t,2t－1,0)．
所以|b－a|＝eq \r(1＋t2＋2t－12＋02)＝eq \r(5t2－2t＋2)
＝eq \r(5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,5)))2＋\f(9,5)).
所以当t＝eq \f(1,5)时，|b－a|的最小值为eq \f(3\r(5),5).
13．设{i，j，k}是单位正交基底，已知向量p＝8a＋6b＋4c，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则向量p在基底{i，j，k}下的坐标是( )
A．(12,14,10) B．(10,12,14)
C．(14,12,10) D．(4,3,2)
答案 A
解析 依题意，知p＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k，故向量p在基底{i，j，k}下的坐标是(12,14,10)．
14．已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝eq \r(14)，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为________________________________________________________________________．
答案 120°
解析 a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，
故(a＋b)·c＝－a·c＝7，得a·c＝－7，
而|a|＝eq \r(12＋22＋32)＝eq \r(14)，
所以cs〈a，c〉＝eq \f(a·c,|a||c|)＝－eq \f(1,2)，所以〈a，c〉＝120°.
15．已知向量a，b，c是空间的一组单位正交基底，向量a＋b，a－b，c是空间的另一组基底，若向量p在基底{a，b，c}下的坐标是(1,3,4)，则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为( )
A．(2,1,4) B．(2，－1,4)
C．(－2，－1,4) D．(－2,1,4)
答案 B
解析 不妨设a＝(1,0,0)，b＝(0,1,0)，c＝(0,0,1)．
p＝a＋3b＋4c.
设p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc.
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝1，,x－y＝3，,z＝4，))解得x＝2，y＝－1，z＝4.
所以向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(2，－1,4)．
16．已知a＝(3，－2，－3)，b＝(－1，x－1,1)，且a与b的夹角为钝角，求x的取值范围．
解 ∵〈a，b〉为钝角，
∴cs〈a，b〉<0且〈a，b〉≠π.
若cs〈a，b〉<0，则a·b<0，
即3×(－1)＋(－2)×(x－1)＋(－3)×1<0，
解得x>－2.
若〈a，b〉＝π，则a与b反向，
则a＝λb(λ<0)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3＝－λ，,－2＝λx－1，,－3＝λ，))解得λ＝－3，x＝eq \f(5,3).
∵〈a，b〉≠π，∴x≠eq \f(5,3)，
即x>－2且x≠eq \f(5,3)，
故x的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(5,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，＋∞)).向量运算
向量表示
坐标表示
相等
a＝b
x1＝x2，y1＝y2，z1＝z2
加法
a＋b
(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)
线性运算
μa＋vb
(μx1＋vx2，μy1＋vy2，μz1＋vz2)
数量积
a·b
x1x2＋y1y2＋z1z2
模
|a|＝eq \r(a2)
eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)＋z\\al(2,1))
夹角
cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)
eq \f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)＋z\\al(2,1))·\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)＋z\\al(2,2)))
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