2020-2021学年1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定学案设计

这是一份2020-2021学年1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定学案设计，共10页。学案主要包含了命题的否定，全称量词命题等内容，欢迎下载使用。

1.2.2　全称量词命题与存在量词命题的否定
学习目标　1.掌握命题的否定的概念，能够对一个命题进行否定.2.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
导语
“否定”是我们日常生活中经常使用的一个词.2009年11月23日《人民日报》的《创新，从敢于否定开始》一文中有这样一段话：“培养一流创新人才，敢于否定的精神非常重要．一旦下定决心进行研究，首先就要敢于否定别人的成果，并想一想：前人的成果有哪些是不对的，有什么方向可以改善，有什么地方可以加强．”
结合上述这段话，谈谈你对“否定”一词的认识，并由此猜想“命题的否定”是什么意思．
一、命题的否定
问题1　下列两个命题之间有什么关系？它们的真假性如何？
s：3的相反数是－3；
t：3的相反数不是－3.
提示　命题s是对命题t的否定，命题t也是对命题s的否定，两者真假相反，命题s是真命题，命题t是假命题．
知识梳理
1．定义：一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“綈p”，读作“非p”或“p的否定”．
2．命题p与其否定綈p的真假关系
如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就是一个假命题；反之亦然．
注意点：
常见词语的否定形式
原词语
否定词语
原词语
否定词语
是
不是
至少有一个
一个也没有
都是
不都是
至多有一个
至少有两个
大于
不大于
至少有n个
至多有(n－1)个
小于
不小于
至多有n个
至少有(n＋1)个
任意的
某个
能
不能
所有的
某些
等于
不等于
例1　写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：实数的绝对值都大于0；
(2)p：菱形的对角形垂直平分；
(3)p：若xy＝0，则x＝0或y＝0.
解　(1)綈p：实数的绝对值不都大于零，真命题．
(2)綈p：菱形的对角线不垂直或不平分，假命题．
(3)綈p：若xy＝0，则x≠0且y≠0，假命题．
反思感悟　綈p是对命题p的全盘否定，其命题的真假与原命题相反，对一些词语的正确否定是写綈p的关键．
跟踪训练1　写出下列命题的否定形式，并判断其真假．
(1)p：面积相等的三角形都是全等三角形；
(2)p：若m2＋n2＝0，则实数m，n全为零；
(3)p：实数a，b，c满足abc＝0，则a，b，c中至少有一个为0.
解　(1)綈p：面积相等的三角形不都是全等三角形．真命题．
(2)綈p：若m2＋n2＝0，则实数m，n不全为零．假命题．
(3)綈p：实数a，b，c满足abc＝0，则a，b，c中都不为0.假命题．
二、全称量词命题与存在量词命题的否定
问题2　写出下列命题的否定：
(1)所有的矩形都是平行四边形；
(2)每一个素数都是奇数；
(3)∀x∈R，x＋|x|≥0.
它们与原命题在形式上有什么变化？

提示　上面三个命题都是全称量词命题，即具有“∀x∈M，r(x)”的形式．其中命题(1)的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”，也就是说，存在一个矩形不是平行四边形；
命题(2)的否定是“并非每一个素数都是奇数”，也就是说，存在一个素数不是奇数；
命题(3)的否定是“并非所有的x∈R，x＋|x|≥0”，也就是说，∃x∈R，x＋|x|<0.
从命题形式看，这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题．
问题3　写出下列命题的否定：
(1)存在一个实数的绝对值是正数；
(2)有些平行四边形是菱形；
(3)∃x∈R，x2－2x＋3＝0.
它们与原命题在形式上有什么变化？
提示　这三个命题都是存在量词命题，即具有“∃x∈M，s(x)”的形式．其中命题(1)的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也就是说，所有实数的绝对值都不是正数；
命题(2)的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，每一个平行四边形都不是菱形；
命题(3)的否定是“不存在x∈R，x2－2x＋3＝0”，也就是说，∀x∈R，x2－2x＋3≠0.
从命题形式看，这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题．
知识梳理
含量词的命题的否定
p
綈p
结论
全称量词命题∀x∈M，q(x)
∃x∈M，綈q(x)
全称量词命题的否定是存在量词命题
存在量词命题∃x∈M，p(x)
∀x∈M，綈p(x)
存在量词命题的否定是全称量词命题

注意点：
总结起来八个字“改变量词，否定结论”，从集合的角度来看，x的范围没有变，只是对结论进行了否定．
例2　写出下列命题的否定：
(1)任何一个平行四边形的对边都平行；
(2)可以被5整除的整数，末位是0.
(3)∃x∈R，x2＋1<0.
解　(1)其否定为：存在一个平行四边形，它的对边不都平行．
(2)其否定为：存在被5整除的整数，末位不是0.
(3)∀x∈R，x2＋1≥0.
反思感悟　(1)全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的命题可补上全称量词后进行否定．
(2)对存在量词命题进行否定时，首先把存在量词改为全称量词，然后对判断词进行否定，可以结合命题的实际意义进行表述．
跟踪训练2　写出下列命题的否定：
(1)p：每一个三角形的三个顶点共圆；
(2)q：对任意实数x，x2＋5≥0.
(3)s：∃x，y∈Z，使得x＋y＝3.
解　(1)綈p：存在一个三角形，它的三个顶点不共圆．
(2)綈q：存在实数x，使得x2＋5<0.
(3)綈s：∀x，y∈Z，x＋y≠3.
三、全称量词命题、存在量词命题的否定的综合应用
例3　已知命题p：∀x∈R，m＋x2－2x＋5>0，若綈p为假命题，求实数m的取值范围．
解　因为綈p为假命题，所以命题p：∀x∈R，m＋x2－2x＋5>0为真命题，即二次函数y＝x2－2x＋m＋5的图像恒在x轴上方，所以Δ＝(－2)2－4(m＋5)<0，即m>－4，故实数m的取值范围为{m|m>－4}．
延伸探究　如果把本例改成：已知命题p：∃x∈R，m－x2＋2x－5>0，若綈p为假命题，求实数m的取值范围．
解　因为綈p为假命题，所以命题p：∃x∈R，m－x2＋2x－5>0为真命题，即二次函数y＝－x2＋2x＋m－5的图像的最高点在x轴上方，即图像与x轴有两个交点，所以Δ＝22＋
4(m－5)>0，即m>4，故实数m的取值范围为{m|m>4}．
反思感悟　(1)注意p与綈p的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化．
(2)对于求参数范围的问题，往往分离参数，转化成求函数的最值问题．
跟踪训练3　(1)已知命题p：∃x∈R，x2＋2(a－1)x＋a2≤0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是________．
答案　
解析　方法一　若命题p：∃x∈R，x2＋2(a－1)x＋a2≤0是真命题，得Δ＝4(a－1)2－4a2≥0，
即－2a＋1≥0，∴a≤.若命题p是假命题，则a>.
方法二　依题意，命题綈p：∀x∈R，x2＋2(a－1)x＋a2>0是真命题，得Δ＝4(a－1)2－4a2<0，即a>.
(2)命题p：“∃1≤x≤2，使x2－a<0”是假命题，则a的取值范围是________．
答案　{a|a≤1}
解析　命题綈p：“∀1≤x≤2，使x2－a≥0”，即a≤x2在1≤x≤2上恒成立，
y＝x2在1≤x≤2上的最小值为1，
∴a≤1.

1．知识清单：
(1)命题的否定．
(2)全称量词命题、存在量词命题的否定．
(3)全称量词命题、存在量词命题的否定的综合应用．
2．方法归纳：转化法、分离参数法．
3．常见误区：否定不唯一，命题与其否定的真假性相反．

1．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是(　　)
A．∀x∈R，|x|＋x2<0 B．∀x∈R，|x|＋x2≤0
C．∃x∈R，|x|＋x2<0 D．∃x∈R，|x|＋x2≥0
答案　C
解析　量词∀x∈R改为∃x∈R，结论“|x|＋x2≥0”的否定是“|x|＋x2<0”．
2．命题“存在实数x，使x>1”的否定是(　　)
A．对任意实数x，都有x>1
B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x，都有x≤1
D．存在实数x，使x≤1
答案　C
解析　存在量词命题的否定是全称量词命题，“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．
3．对下列命题的否定说法错误的是(　　)
A．p：能被2整除的数是偶数；綈p：存在一个能被2整除的数不是偶数
B．p：有些矩形是正方形；綈p：所有的矩形都不是正方形
C．p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形
D．p：∃n∈N，2n≤100；綈p：∀n∈N，2n>100
答案　C
解析　“有的三角形为正三角形”为存在量词命题，其否定为全称量词命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误．
4．命题“存在x∈R，3x≥0”的否定是____________．
答案　对任意的x∈R，3x<0
解析　存在量词命题的否定是全称量词命题，故“存在x∈R，3x≥0”的否定是“对任意的x∈R,3x<0”．
5．命题“对任意的x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________________________________．
答案　存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3
解析　由定义知命题的否定为“存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3”．


1．设命题p：∀x∈R，x2＋1>0，则綈p为(　　)
A．∃x∈R，x2＋1>0 B．∃x∈R，x2＋1≤0
C．∃x∈R，x2＋1<0 D．∀x∈R，x2＋1≤0
答案　B
解析　命题p：∀x∈R，x2＋1>0，是一个全称量词命题，
∴綈p：∃x∈R，x2＋1≤0.
2．(多选)对下列命题的否定，其中说法正确的是(　　)
A．p：∀x≥3，x2－2x－3≥0；p的否定：∃x≥3，x2－2x－3<0
B．p：存在一个四边形的四个顶点不共圆；p的否定：每一个四边形的四个顶点共圆
C．p：有的三角形为直角三角形；p的否定：有的三角形不是直角三角形
D．p：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；p的否定：∀x∈R，x2＋2x＋2>0
答案　ABD
解析　若p：有的三角形为直角三角形，则p的否定：所有的三角形都不是直角三角形．
3．命题p：∃x∈N，x3>x2的否定形式綈p为(　　)
A．∀x∈N，x3≤x2 B．∀x∈N，x3>x2
C．∃x∈N，x3 答案　A
解析　命题p：∃x∈N，x3>x2的否定形式是全称量词命题，
∴綈p：∀x∈N，x3≤x2.
4．(多选)下列四个命题的否定为真命题的是(　　)
A．所有四边形的内角和都是360°
B．∃x∈R，x2＋2x＋2≤0
C．∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数
D．对所有实数a，都有|a|>0
答案　BD
解析　A项，该命题为真命题，则它的否定为假命题；B项，因为x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0，所以命题：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0为假命题，则其否定为真命题；C项，若x＝，则x2＝为无理数，故∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数为真命题，则其否定为假命题；D项，当a＝0时，|a|＝0，故“对所有实数a，都有|a|>0”为假命题，故其否定为真命题．
5．命题“存在x∈R，使x2＋2x＋m≤0”是假命题，求得m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a的值是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　B
解析　由题意知原命题的否定是真命题，
即∀x∈R，有x2＋2x＋m>0是真命题．
由Δ＝4－4m<0，得m>1，∴a＝1.
6．“至少有2个人” 的否定为________________，“至多有2个人”的否定为________________．
答案　至多有1个人　至少有3个人
解析　“至少有2个人”意思是多于或等于两个人，所以它的反面是有一个或者零个，也就是至多1个人．“至多有两个人”含义是有0人或1人或2人，故“至多有2个人”的否定为“至少有3个人”．
7．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________________________．
答案　对任意x∈R，x2＋2x＋5≠0
解析　存在量词命题的否定是全称量词命题，将“存在”改为“任意”，“＝”改为“≠”．
8．若命题“∃x<2 022，x>a”是假命题，则实数a的取值范围是________．
答案　[2 022，＋∞)
解析　由于命题“∃x<2 022，x>a”是假命题，因此其否定“∀x<2 022，x≤a”是真命题，所以a≥2 022.
9．写出下列命题的否定，并判断否定的真假．
(1)∀x∈R，x2>0；
(2)∃x∈R，x2＝1；
(3)∃x∈R，x是方程x2－3x＋2＝0的根；
(4)等腰梯形的对角线垂直．
解　(1)命题的否定：∃x∈R，x2≤0，
因为x＝0时，02＝0，所以命题的否定为真．
(2)命题的否定：∀x∈R，x2≠1，
因为x＝1时，x2＝1，
所以命题的否定为假．
(3)命题的否定：∀x∈R，x不是方程x2－3x＋2＝0的根，因为x＝1时，12－3×1＋2＝0，即x＝1为方程的根，所以命题的否定为假．
(4)命题的否定：存在一个等腰梯形的对角线不垂直，是真命题．
10．已知命题p：∀x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，且綈p是假命题，求实数a的取值范围．
解　因为綈p是假命题，所以p是真命题，
又∀x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，
所以{x|－3≤x≤2}⊆{x|a－4≤x≤a＋5}，
则解得－3≤a≤1，
即实数a的取值范围是－3≤a≤1.

11．(多选)下列命题的否定是真命题的为(　　)
A．p1：每一个合数都是偶数
B．p2：两条平行线被第三条直线所截内错角相等
C．p3：所有实数的平方都是正数
D．p4：所有平行四边形都是菱形
答案　ACD
解析　因为p1为全称量词命题，且是假命题，
则綈p1是真命题．
命题p2为真命题，
所以綈p2是假命题，p3，p4是全称量词命题，是假命题，綈p3，綈p4为真命题．
12．已知命题“∃x∈R，使4x2＋(a－2)x＋＝0”是假命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0) B．[0,4]
C．[4，＋∞) D．(0,4)
答案　D
解析　∵命题“∃x∈R，使4x2＋(a－2)x＋＝0”是假命题，∴命题“∀x∈R，使4x2＋
(a－2)x＋≠0”是真命题，
即判别式Δ＝(a－2)2－4×4×<0，
即Δ＝a2－4a<0，则0 即0 13．命题“至少有一个正实数x满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0”的否定是_________.
答案　所有正实数x都不满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0
解析　把量词“至少有一个”改为“所有”，“满足”改为“都不满足”得命题的否定．
14．已知命题p：任意x∈R，x2＋2ax＋a2＋a＋1>0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是____________．
答案　(－∞，－1]
解析　 若命题p为假命题，
则綈p：∃x∈R，x2＋2ax＋a2＋a＋1≤0为真命题，
则Δ＝4a2－4(a2＋a＋1)≥0，解得a≤－1，
∴a的取值范围是(－∞，－1]．

15．某中学开展小组合作学习模式，高二某班某组小王同学给组内小李同学出题如下：若命题“∃x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图像在x轴的下方”是假命题，求m的取值范围．小李略加思索，反手给了小王一道题：若命题“∀x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图像在x轴的上方或x轴上”是真命题，求m的取值范围．你认为，两位同学所出的题中m的取值范围是否一致？________.(填“是”或“否”中的一种)
答案　是
解析　∵命题“∃x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图像在x轴的下方”的否定是“∀x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图像在x轴的上方或x轴上”．
而命题“∃x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图像在x轴的下方”是假命题，则其否定“∀x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图像在x轴的上方或x轴上”为真命题．
∴两位同学所出的题中m的取值范围是一致的．
16．已知命题p：∀x∈[1,3]，都有m≥x，命题q：∃x∈[1,3]，使m≥x，若命题p为真命题，綈q为假命题，求实数m的取值范围．
解　由题意知命题p，q都是真命题．
由∀x∈[1,3]，都有m≥x成立，只需m大于或等于x的最大值，即m≥3.由∃x∈[1,3]，使m≥x成立，只需m大于或等于x的最小值，即m≥1.因为两者同时成立，故实数m的取值范围为{m|m≥3}∩{m|m≥1}＝{m|m≥3}．