苏教版 (2019)必修 第一册1.3 交集、并集导学案及答案

这是一份苏教版 (2019)必修 第一册1.3 交集、并集导学案及答案，共12页。学案主要包含了交集，并集，区间及其表示等内容，欢迎下载使用。

导语
通过上节课的学习，我们知道集合A在集合S的补集∁SA是由给定的两个集合A，S得到的一个新集合．这种用两个给定集合按照某种规则得到一个新集合的过程，称为集合的运算．本节课我们学习集合的另两种运算：集合的交集、补集．
一、交集
问题1 某超市进了两次货，第一次进的货是圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水共6种，第二次进的货是圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面共4种，我们用集合A表示第一次进货的品种，用集合B表示第二次进货的品种，通过观察，你能用集合C表示两次进货一样的品种吗？并讨论集合A，B与集合C的关系．
提示 A＝{圆珠笔，钢笔，橡皮，笔记本，方便面，汽水}，B＝{圆珠笔，铅笔，火腿肠，方便面}，则C＝{圆珠笔，方便面}，容易发现集合C是由所有既属于集合A又属于集合B的元素组成的．
知识梳理
1．交集的概念
2.交集的性质
(1)A∩B＝B∩A.
(2)A∩B⊆A，A∩B⊆B.
注意点：
(1)A∩B仍是一个集合．
(2)文字语言中“所有”的含义：A∩B中任一元素都是A与B的公共元素，A与B的公共元素都属于A∩B.
(3)如果两个集合没有公共元素，不能说两个集合没有交集，而是A∩B＝∅.
例1 (1)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B等于( )
A．{1} B．{4}
C．{1,3} D．{1,4}
答案 D
解析 因为集合B中，x∈A，
所以当x＝1时，y＝3－2＝1；
当x＝2时，y＝3×2－2＝4；
当x＝3时，y＝3×3－2＝7；
当x＝4时，y＝3×4－2＝10.
即B＝{1,4,7,10}．
又因为A＝{1,2,3,4}，所以A∩B＝{1,4}．
(2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于( )
A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2}
C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}
答案 A
解析 在数轴上表示出集合A与B，如图所示．
则由交集的定义，知A∩B＝{x|0≤x≤2}．
反思感悟 交集运算的注意点
若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心点表示．
跟踪训练1 (1) 若A＝{x|1≤x≤10，x∈N}，B＝{x|x2＋x－6＝0，x∈Z}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A．{2} B．{3}
C．{－3,2} D．{－2,3}
答案 A
解析 易知A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，B＝{－3,2}，图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{2}．
(2)若集合A＝{x|－23}，则A∩B等于( )
A．{x|－2C．{x|－1答案 A
解析 因为A＝{x|－23}，所以A∩B＝{x|－2二、并集
问题2 对于问题1中的集合A与集合B，你能用集合D表示两次一共进货的品种吗？并讨论集合A，B与集合D的关系．
提示 由A＝{圆珠笔，钢笔，橡皮，笔记本，方便面，汽水}，B＝{圆珠笔，铅笔，火腿肠，方便面}知，集合D＝{圆珠笔，钢笔，橡皮，笔记本，方便面，汽水，铅笔，火腿肠}，可见，集合D是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的．
知识梳理
1．并集的概念
2.并集的性质
(1)A∪B＝B∪A.
(2)A⊆A∪B，B⊆A∪B.
注意点：
(1)A∪B仍是一个集合．
(2)并集符号语言中的“或”包含三种情况：①x∈A且x∉B；②x∈A且x∈B；③x∉A且x∈B.
(3)对概念中“所有”的理解，要注意集合元素的互异性．
例2 (1)若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2A．{x|x>－2} B．{x|x>－1}
C．{x|－2答案 A
解析 在数轴上表示出集合A与B，如图所示，故A∪B＝{x|x>－2}．
(2)已知集合A＝{x|－3解 ∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴分B＝∅和B≠∅两种情况讨论．
①当B＝∅时，k＋1>2k－1，∴k<2.
②当B≠∅时，则根据题意画数轴如图所示，
根据数轴可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＋1≤2k－1，,－3综合①②可得k的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(k\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(k≤\f(5,2))))).
反思感悟 (1)并集的运算技巧
①若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性．
②若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意是否去掉端点值．
(2)利用集合交集、并集的性质解题的技巧
①在进行集合运算时，若条件中出现A∩B＝A或A∪B＝B，应转化为A⊆B，然后用集合间的关系解决问题，并注意A＝∅的情况．
②集合运算常用的性质：A∪B＝B⇔A⊆B；A∩B＝A⇔A⊆B；A∩B＝A∪B⇔A＝B.
跟踪训练2 (1)已知集合A＝{x|－2A．{x|－2C．{x|1答案 D
解析 因为集合A＝{x|－2所以A∪B＝{x|－2(2)设集合M＝{x|0答案 2
解析 由M∩N＝M∪N，得N＝M.
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－t＝0，,2t＋1＝5，))
解得t＝2.
三、区间及其表示
知识梳理
1．区间概念(a，b为实数，且a2.其他区间的表示
注意点：
(1)区间只能表示连续的数集，开闭不能混淆．
(2)区间是实数集的一种表示形式，集合的运算仍然成立．
(3)用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别．
(4)∞是一个符号，而不是一个数．
例3 把下列数集用区间表示：
(1){x|x≥－1}；
(2){x|x<0}；
(3){x|－1(4){x|0解 (1){x|x≥－1}＝[－1，＋∞)．
(2){x|x<0}＝(－∞，0)．
(3){x|－1(4){x|0反思感悟 用区间表示数集的方法
(1)区间左端点值小于右端点值．
(2)区间两端点之间用“，”隔开．
(3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号．
(4)以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号．
跟踪训练3 (1)集合{x|－2答案 (－2,0)∪(0,2]
解析 {x|－2＝(－2,0)∪(0,2]．
(2)已知区间(a2＋a＋1,7]，则实数a的取值范围是________．
答案 (－3,2)
解析 由题意可知a2＋a＋1<7，
即a2＋a－6<0，
解得－3所以实数a的取值范围是(－3,2)．
1．知识清单：
(1)交集、并集的概念及运算．
(2)交集、并集运算的性质．
(3)求参数值或范围．
(4)区间及其表示．
2．方法归纳：数形结合、分类讨论．
3．常见误区：由交集、并集的关系求解参数时漏掉对集合为空集的讨论．
1．将集合A＝{x|1A．(1,3) B．(1,3]
C．[1,3) D．[1,3]
答案 B
解析 集合A为左开右闭区间，可表示为(1,3]．
2．(多选)满足{1}∪B＝{1,2}的集合B可能等于( )
A．{2} B．{1}
C．{1,2} D．{1,2,3}
答案 AC
解析 ∵{1}∪B＝{1,2}，
∴B可能为{2}或{1,2}．
3．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝________.
答案 {－1,0,1,2}
解析 M∪N表示所有属于M或属于N的元素构成的集合，故M∪N＝{－1,0,1,2}．
4．若集合A＝{x|－1答案 R {x|4≤x<5}
解析 借助数轴可知A∪B＝R，A∩B＝{x|4≤x<5}．
1. 已知集合M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是( )
A．{0,1} B．{0}
C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}
答案 D
解析 由Venn图，可知阴影部分所表示的集合是M∪P.
因为M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，
故M∪P＝{－1,0,1,2,3}．
2．已知集合A＝{x|x≤5，x∈R}，B＝{x|x>1，x∈R}，那么A∩B等于( )
A．{1,2,3,4,5} B．{2,3,4,5}
C．{2,3,4} D．{x|1答案 D
解析 ∵A＝{x|x≤5，x∈R}，B＝{x|x>1，x∈R}，
∴A∩B＝{x|13．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{2,3,5}，集合B＝{1,3,4,6}，则A∩∁UB等于( )
A．{3} B．{2,5}
C．{1,4,6} D．{2,3,5}
答案 B
解析 由题意知，∁UB＝{2,5}，
则A∩(∁UB)＝{2,3,5}∩{2,5}＝{2,5}．
4．(多选)若集合M⊆N，则下列结论正确的是( )
A．M∩N＝M B．M∪N＝N
C．M⊆M∩N D．(∁NM)∩N＝M
答案 ABC
解析 因为M⊆N，
所以M∩N＝M，M∪N＝N，M⊆M∩N，(∁NM)∩N＝∁NM，故选ABC.
5．已知集合A＝{x|1≤x<3}，B＝{y|y≤m}，且A∩B＝∅，则实数m应满足( )
A．m<1 B．m≤1 C．m≥3 D．m>3
答案 A
解析 ∵集合A＝{x|1≤x<3}，B＝{y|y≤m}，A∩B＝∅，∴m<1.
6．(多选)若集合A＝{－1,2,3,4}，B＝{1,2,3,5}，则( )
A．A∩B＝{2,3}
B．A∪B＝{－1,1,2,3,4,5}
C．A⊆B
D．A∩B＝A∪B
答案 AB
解析 因为A＝{－1,2,3,4}，B＝{1,2,3,5}，所以A∩B＝{2,3}，A∪B＝{－1,1,2,3,4,5}，故选A，B.
7．设全集U＝R，A＝(0，＋∞)，B＝(1，＋∞)，则A∩(∁UB)＝________.
答案 (0,1]
解析 ∵U＝R，B＝(1，＋∞)，
∴∁UB＝(－∞，1]．
又∵A＝(0，＋∞)，
∴A∩(∁UB)＝(0，＋∞)∩(－∞，1]＝(0,1]．
8．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．(用区间表示)
答案 (－∞，1]
解析 因为A∪B＝R，画出数轴(图略)可知表示实数a的点必须与表示1的点重合或在表示1的点的左边，所以a≤1.
9．已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2(1)A∪B；(2)C∩B.
解 (1)由集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2得到A∪B＝{x|2(2)由集合B＝{x|2则C∩B＝{x|210．已知集合A＝{x|1(1)当m＝－1时，求A∪B；
(2)若A∩B＝A，求实数m的取值范围．
解 (1)当m＝－1时，B＝{x|－1∴A∪B＝{x|－1(2)∵A∩B＝A，∴A⊆B，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m≥3，,m≤1，))且m<1－m，解得m≤－2.
11．设集合S＝{x|x<－1，或x>5}，T＝{x|aA．－3C．a≤－3或a≥－1 D．a<－3或a>－1
答案 A
解析 ∵S∪T＝R，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋8>5，,a<－1.))
∴－312．已知全集U，集合M，N是U的子集，且MN，则下列结论中一定正确的是( )
A．(∁UM)∪(∁UN)＝U
B．M∩(∁UN)＝∅
C．M∪(∁UN)＝U
D．(∁UM)∩N＝∅
答案 B
解析 集合M，N是U的子集，且MN，
对于A，(∁UM)∪(∁UN)＝∁UM，故A不正确；
对于B，M∩(∁UN)＝∅，故B正确；
对于C，M∪(∁UN)≠U，不包括属于N且不属于M的部分，故C不正确；
对于D，(∁UM)∩N≠∅，其交集为属于N且不属于M的部分，故D不正确．
13．已知集合A＝{x|x<1，或x>5}，B＝{x|a≤x≤b}，且A∪B＝R，A∩B＝{x|5A．－1 B．7
C．－4 D．－5
答案 C
解析 如图所示，
可知a＝1，b＝6,2a－b＝－4.
14．已知集合A＝{－2,3,4,6}，集合B＝{3，a，a2}，若B⊆A，则实数a＝________；若A∩B＝{3,4}，则实数a＝________.
答案 －2 2或4
解析 ∵集合A＝{－2,3,4,6}，
集合B＝{3，a，a2}，B⊆A，∴a＝－2.
∵A∩B＝{3,4}，∴a＝4或a2＝4，
∴a＝±2或4.
当a＝－2时，B＝{3，－2,4}，不符合题意；
当a＝2或4时，B＝{3,2,4}或{3,4,16}，符合题意，
∴实数a＝2或4.
15．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．
答案 12
解析 设所求人数为x，则只喜爱乒乓球运动的人数为10－(15－x)＝x－5，故15＋(x－5)＝30－8，解得x＝12.
16．在①B⊆(∁RA)，②(∁RA)∪B＝R，③A∩B＝B这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的实数a存在，求a的取值范围；若问题中的实数a不存在，请说明理由．
已知集合A＝{x|1≤x≤4}，B＝{x|a＋1解 集合A＝{x|1≤x≤4}．
若选①：∁RA＝{x|x<1，或x>4}，
由B⊆(∁RA)得，
当B＝∅时，a＋1≥2a－1，解得a≤2；
当B≠∅时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋1<2a－1，,2a－1≤1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋1<2a－1，,a＋1≥4，))
解得a∈∅或a≥3，
所以实数a的取值范围是[3，＋∞)．
综上，存在实数a，使得B⊆(∁RA)，
且a的取值范围为(－∞，2]∪[3，＋∞)．
若选②：
∁RA＝{x|x<1，或x>4}，
由(∁RA)∪B＝R，得B≠∅，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a－1>4，,a＋1<1，))解得a∈∅，
所以不存在实数a，使得(∁RA)∪B＝R.
若选③：
由A∩B＝B，可知B⊆A，
当B＝∅时，a＋1≥2a－1，解得a≤2；
当B≠∅时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋1<2a－1，,a＋1≥1，,2a－1≤4，))解得2综上，存在实数a，使得A∩B＝B，
且a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(5,2))).自然语言
一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)
符号语言
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
图形语言
自然语言
一般地，由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)
符号语言
A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
图形语言
定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a开区间
(a，b)
{x|a≤x左闭右开区间
[a，b)
{x|a左开右闭区间
(a，b]
定义
R
{x|x≥a}
{x|x>a}
{x|x≤a}
{x|x区间
(－∞，＋∞)
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，a]
(－∞，a)