人教B版 (2019)必修 第一册1.1.3 集合的基本运算精品第1课时学案

这是一份人教B版 (2019)必修 第一册1.1.3 集合的基本运算精品第1课时学案，共9页。学案主要包含了A∩B＝B∩A；等内容，欢迎下载使用。

第一课时 交集、并集








知识点1 交集


1.交集的定义


(1)文字语言：一般地，给定两个集合A，B，由既属于A又属于B的所有元素(即A和B的公共元素)组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”.


(2)符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}.


(3)图形语言：，阴影部分为A∩B.


2.交集的性质


(1) A∩B＝B∩A；


(2)A∩A＝A；


(3) A∩∅＝∅∩A＝∅；


(4)如果A⊆B，则A∩B＝A，反之也成立.


[微体验]


1.若集合M＝{－1,1}，N＝{－2,1,0}，则M∩N＝( )


A.{0，－1} B.{0}


C.{1} D.{1,1}


C [M∩N＝{－1,1}∩{－2,1,0}＝{1}.]


2.集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|－1＜x≤3}，则A∩B＝( )


A.{x|x＞0} B.{x|x＞－1}


C.{x|－1＜x≤3} D.{x|0＜x≤3}


D [A∩B就是找出两个集合的公共元素，由数轴得A∩B＝{x|0＜x≤3}.]


3.集合M＝{(x，y)|y＝2x＋1}，N＝{y|y＝x－1}，则M∩N＝( )


A.{－2} B.{(－2，－3)}


C.∅ D.{－3}


C [集合M是点的集合，集合N是数的集合，两个集合没有公共元素，M∩N＝∅.]


知识点2 并集


1.并集的定义[来源:学§科§网]


(1)文字语言：一般地，给定两个集合A，B，由这两个集合的所有元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”.


(2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}.


(3)图形语言：、.阴影部分为A∪B.


2.并集的性质


(1) A∪B＝B∪A；


(2)A∪A＝A；


(3) A∪∅＝∅∪A＝A；


(4)如果A⊆B，则A∪B＝B，反之也成立.


[微体验]


1.集合A＝{1,2,3,4}，B＝{1,3,5,7}，则A∪B＝( )[来源:学|科|网Z|X|X|K]


A.{1,3} B.{1,2,3,4,5,7}


C.{5,7} D.{2,4,5,7}


B [集合A与B所有的元素是1,2,3,4,5,7，A∪B＝{1,2,3,4,5,7}.]


2.已知集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∪B＝( )


A.{x|－1＜x＜3} B.{x|－1＜x＜0}


C.{x|0＜x＜2} D.{x|2＜x＜3}


A [因为A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜3}，所以A∪B＝{x|－1＜x＜3}.]


3.满足{1}∪B＝{1,2}的集合B的个数是______.


2 [由{1}∪B＝{1,2}，故B＝{2}或{1,2}，共2个.]











探究一 交集运算


(1)(2019·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<2}，则A∩B＝( )


A.(－1，＋∞) B.(－∞，2)


C.(－1,2) D.∅


C [A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<2}，


所以A∩B＝(－1,2).]


(2)(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}.若A∩B＝{1}，则B＝( )


A.{1，－3} B.{1,0}


C.{1,3} D.{1,5}


C [因为A∩B＝{1}，所以1∈B.


所以1－4＋m＝0，即m＝3.


所以B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}.]


(3)集合A＝{(x，y)|x＞0}，B＝{(x，y)|y＞0}，求A∩B并说明其几何意义.


解 A∩B＝{(x，y)|x＞0且y＞0}，其几何意义为第一象限所有点的集合.


[方法总结]


求集合交集的思路[来源:学§科§网Z§X§X§K]


(1)识别集合：点集或数集.


(2)化简集合：明确集合中的元素.


(3)求交集：元素个数有限，利用定义或Venn图求解；连续数集，借助数轴求解.


[跟踪训练1] (1)设集合A＝[－1, 2]，B＝[0, 4]，则A∩B等于( )


A.[0,2] B.[1,2]


C.[0,4] D.[1,4]


A [A＝[－1, 2]，B＝[0, 4]，如图，





故A∩B＝[0,2].]


(2)设集合A＝{x|－1≤x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是( )


A.a＜2 B.a＞－2


C.a＞－1 D.－1＜a≤2


C [在数轴上表示出集合A，B，由图可知.若A∩B≠∅，则a＞－1.


]


(3)A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.


1 [因为A∩B＝{3}，所以a＋2＝3或a2＋4＝3，且a＋2≠a2＋4.解得a＝1或a2＝－1(舍).所以a＝1.]





探究二 并集运算


(1)设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝( )


A.{0} B.{0,2}


C.{－2,0} D.{－2,0,2}


(2)已知集合M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＜－5或x＞5}，则M∪N＝( )


A.{x|x＜－5或x＞－3} B.{x|－5＜x＜5}


C.{x|－3＜x＜5} D.{x|x＜－3或x＞5}


(1)D [M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}＝{0，－2}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}＝{0,2}，故M∪N＝{－2,0,2}.]


(2)A [在数轴上表示集合M，N，如图所示，则M∪N＝{x|x＜－5或x＞－3}.


]


[方法总结]


求集合并集的方法


(1)两集合用列举法给出：①依定义，直接观察求并集；②借助Venn图写并集.


(2)两集合用描述法给出：①直接观察，写出并集；②借助数轴，求出并集.


(3)一个集合用描述法，另一个用列举法：①直接观察，找出并集；②借助图形，观察写出并集.


提醒：若两个集合中有相同元素，在求其并集时只能算作一个.


[跟踪训练2] (1)(2019·北京卷)已知集合A＝{x|－ 11}，则A∪B＝( )[来源:学§科§网]


A.(－1,1) B.(1,2)


C.(－1，＋∞) D.(1，＋∞)





C [将集合A，B在数轴上表示出来，如图所示.


由图可得A∪B＝{x|x>－1}.]


(2)设S＝{x|x<－1或x>5}，T＝{x|a

A.－3

C.a≤－3或a>－1 D.a<－3或a>－1


A [在数轴上表示集合S，T如图所示.因为S∪T＝R，由数轴可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＜－1,a＋8＞5))，解得－3＜a＜－1.


]


(3)A＝{(x，y)|x＝2}，B＝{(x，y)|y＝2}.求A∪B，并说明其几何意义.


解 A∪B＝{(x，y)|x＝2或y＝2}，其几何意义是直线x＝2和直线y＝2上所有的点组成的集合.


探究三 并集、交集性质的应用


设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}.若A∩B＝B，求a的值.


解 因为A∩B＝B，所以B⊆A.


因为A＝{－2}≠∅，所以B＝∅或B≠∅.


当B＝∅时，方程ax＋1＝0无解，此时a＝0.


当B≠∅时，此时a≠0，则B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,a)))，


所以－eq \f(1,a)∈A，即有－eq \f(1,a)＝－2，解得a＝eq \f(1,2).


综上，得a＝0或a＝eq \f(1,2).


[方法总结]


利用集合交集、并集的性质解题的依据及关注点


(1)依据：A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.


(2)关注点：当集合A⊆B时，若集合A不确定，运算时要考虑A＝∅的情况，否则易漏解.


[跟踪训练3] 若集合A＝{x|－3≤x≤5}，B＝{x|2m－1≤x≤2m＋9}，A∪B＝B，求m的取值范围.


解 因为A∪B＝B，所以A⊆B.如图所示，





所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m－1≤－3，,2m＋9≥5.))解得－2≤m≤－1.








1.交集与并集的联系与区别


联系：交集和并集都是由两个集合的元素组成的一个新的集合.


区别：交集是由两个集合的所有公共元素组成的集合，而并集则是把两个集合的元素合并在一起，由合并后的所有元素所组成的集合.


2.集合的交、并运算中的注意事项


(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性.


(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否.








课时作业(三) 交集、并集





1.(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝( )


A.{0} B.{1}


C.{1,2} D.{0,1,2}


C [因为A＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，所以A∩B＝{1,2}.]


2.设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则S∩T＝( )


A.{x|x≥－4} B.{x|－2＜x}


C.{x|－4≤x≤1} D.{x|－2＜x≤1}


D [已知S＝{x|x＞－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，在数轴上表示集合S，T，可知S∩T＝{x|－2＜x≤1}.]


3.(2019·天津卷)设集合A＝{－1,1,2,3,5}，B＝{2,3,4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，则(A∩C)∪B＝( )


A.{2} B.{2,3}


C.{－1,2,3} D.{1,2,3,4}


D [因为A∩C＝{1, 2}，所以(A∩C)∪B＝{1,2,3,4}. ]


4.若集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1或x>4}，则集合A∩B等于( )


A.{x|x≤3或x>4} B.{x|－1

C.{x|3≤x<4} D.{x|－2≤x<－1}


D [直接在数轴上标出A，B的区间，如图所示，取其公共部分即得A∩B＝{x|－2≤x<－1}.


]


5.设集合A＝{1,2}，则满足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数是( )


A.1 B.3


C.4 D.8


C [因为A＝{1,2}，且A∪B＝{1,2,3}，所以B＝{3}或{1,3}或{2,3}或{1,2,3}.]


6.设集合A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为( )





A.{2} B.{3}


C.{－3,2} D.{－2,3}


A [因为A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，B＝{－3,2}，


所以图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{2}.]


7.已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为________.


5 [并集中重复的元素只能取一个，集合A与B重复的元素是2，其他不重复，所以A∪B＝{1,2,3,4,5}，共有5个元素.]


8.(多空题)已知集合M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|－5＜x＜－2，或x＞5}，则M∪N＝________，M∩N＝__________.


{x|x＞－5} {x|－3＜x＜－2} [如图，借助数轴可知，M∪N＝{x|x＞－5}，M∩N＝{x|－3＜x＜－2}.


]


9.若集合A，B，C满足A∩B＝A，B∪C＝C，则A与C之间的关系是________.


A⊆C [因为A∩B＝A，所以A⊆B.


因为B∪C＝C，所以B⊆C，所以A⊆C.]


10.已知集合A＝{x|x＋3≤0}，B＝{x|x－a＜0}.


(1)若A∪B＝B，求a的取值范围；


(2)若A∩B＝B，求a的取值范围.


解 (1)因为A∪B＝B，所以A⊆B，所以a＞－3.


(2)因为A∩B＝B，所以B⊆A，所以a≤－3.


11.已知集合U＝R，A＝{x|x≥3}，B＝{x|1≤x≤7}，C＝{x|x≥a－1}.


(1)求A∩B，A∪B；


(2)若C∪A＝A，求实数a的取值范围.


解 (1)A∩B＝{x|x≥3}∩{x|1≤x≤7}


＝{x|3≤x≤7}，


A∪B＝{x|x≥3}∪{x|1≤x≤7}＝{x|x≥1}.


(2)因为C∪A＝A，所以C⊆A，


所以a－1≥3，即a≥4.





1.(2018·北京卷)已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{－2,0,1,2}，则A∩B＝( )


A.{0,1} B.{－1,0,1}


C.{－2,0,1,2} D.{－1,0,1,2}


A [因为A＝{x||x|＜2}＝{x|－2＜x＜2}，


所以A∩B＝{0,1}.]


2.(2018·天津卷)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x＜2}，则(A∪B)∩C＝( )


A.{－1,1} B.{0,1}


C.{－1,0,1} D.{2,3,4}


C [因为A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，


所以A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}.


又C＝{x∈R|－1≤x＜2}，


所以(A∪B)∩C＝{－1,0,1}.]


3.设A，B是非空集合，定义A*B＝{x|x∈A∪B，且x∉A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤3}，B＝{x|x≥1}，则A*B等于( )


A.{x|1≤x＜3} B.{x|1≤x≤3}


C.{x|0≤x＜1或x＞3} D.{x|0≤x≤1或x≥3}


C [由题意知，A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|1≤x≤3}，则A*B＝{x|0≤x＜1或x＞3}.]


4.已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B＝________.


{(0,1)，(－1,2)} [A，B都表示点集，A∩B即是由A中在直线x＋y－1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可.]


5.已知集合A＝{1,3，eq \r(m)}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝________.


0或3 [由A∪B＝A得B⊆A.所以有m＝3或m＝eq \r(m).由m＝eq \r(m)得m＝0或1.经检验，m＝1时，B＝{1,1}矛盾，m＝0或3时符合题意.]


6.已知集合M＝{x|2x－4＝0}，N＝{x|x2－3x＋m＝0}.


(1)当m＝2时，求M∩N，M∪N；


(2)当M∩N＝M时，求实数m的值.


解 由已知得M＝{2}.


(1)当m＝2时，N＝{1,2}.


所以M∩N＝{2}，M∪N＝{1,2}.


(2)若M∩N＝M，则M⊆N，


所以2∈N，所以4－6＋m＝0.


所以m＝2.


7.(拓广探索)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有多少人？


解 设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图.





由全班共36名同学参加课外探究小组可得(26－6－x)＋6＋(15－10)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，解得x＝8，即同时参加数学和化学小组的有8人.


课程标准
学科素养
1.理解两个集合的交集与并集的含义，能求两个集合的交集与并集.
通过对交集、并集的学习，提升“直观想象”“逻辑推理”“数学运算”的核心素养.
2.能使用Venn图表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用.