高中数学人教B版 (2019)必修 第一册1.2.1 命题与量词导学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册1.2.1 命题与量词导学案，共11页。学案主要包含了命题及命题真假判断，全称量词命题与存在量词命题等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.掌握命题的概念，能对命题进行真假判断.2.理解全称(存在)量词、全称(存在)量词命题的定义.3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．
导语
在我们日常生活中，经常涉及到逻辑上的问题．无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要用逻辑用语表达自己的思想，需要用逻辑关系进行判断和推理．因此，正确使用逻辑用语和逻辑关系是现代社会公民应该具备的基本素质．
一、命题及命题真假判断
问题1 下列语句的表述形式有什么特点？你能判断它们的真假吗？
(1)若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点；
(2)2＋4＝6；
(3)若x2＝1，则x＝1；
(4)2是质数；
提示 都是陈述句，其中(1)(2)(4)为真，(3)为假．
知识梳理
注意点：
(1)能判断真假的陈述语句才是命题，一般来说，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题．
(2)一个命题不能同时既是真命题又是假命题，也不能模棱两可、无法判断是真命题还是假命题．
(3)命题可用小写英文表示，如p，q…….
例1 (多选)(1)下列语句中不是命题的有( )
A．无理数的平方是有理数吗
B．王明同学的素描多么精彩啊
C．若x，y都是奇数，则x＋y是偶数
D．请说普通话
答案 ABD
解析 A不是命题，因为是疑问句不是陈述句；
B，D分别是感叹句和祈使句，所以都不是命题；
C是命题，因为能判断真假．
(2)下列命题是真命题的为( )
A．{x∈N|x3＋1＝0}不是空集
B．若eq \f(1,x)＝eq \f(1,y)，则x＝y
C．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0
D．若整数m是偶数，则m是合数
答案 B
解析 A选项，x∈N，x3≥0，{x∈N|x3＋1＝0}是空集，故为假命题；
B选项，由eq \f(1,x)＝eq \f(1,y)可推出x＝y；
C选项，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故是假命题；
D选项，2是偶数，但2是质数，故是假命题．
反思感悟 (1)一般地，判定一个语句是不是命题，要先判断这个语句是不是陈述句，再看能不能判断真假．
(2)判断命题真假性的两个技巧
①真命题：判断一个命题为真命题时，会涉及学习过的概念、定理、公理、法则、公式等，借助于题目中的已知条件，经过严格科学的推理论证得出要证的结论．
②假命题：判断一个命题为假命题时，只要举一反例即可．
跟踪训练1 (1)(多选)下列语句中，是命题的为( )
A．红豆生南国
B．作射线AB
C．中国领土不可侵犯
D．当x≤1时，x2－3x＋2≤0
答案 AD
解析 B和C都不是陈述句，根据命题定义可知AD是命题．
(2)(多选)下列四个命题为真命题的有( )
A．若x>1，则x2>1
B．梯形不是平行四边形
C．全等三角形的面积相等
D．x2＋xy－y2≥0
答案 ABC
二、全称量词命题与存在量词命题
问题2 下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？
(1)x>3；
(2)2x＋1是整数；
(3)对所有的x∈R，x>3；
(4)对任意一个x∈Z，2x＋1是整数．
提示 语句(1)(2)中含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，所以它们不是命题．语句(3)在(1)的基础上，用短语“所有的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“任意一个”对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题．
知识梳理
注意点：
(1)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来．
(2)要判定全称量词命题“∀x∈M，r(x)”是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x，验证r(x)成立；要判定其是假命题，只需举出一个反例即可．
(3)要判断存在量词命题“∃x∈M，s(x)”是真命题，只需要在限定集合M中找到一个元素x0，使s(x0)成立即可；要判断一个存在量词命题是假命题，需对集合M中的任意一个元素x，证明s(x)都不成立．
例2 指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假．
(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点；
(2)存在一个实数，它的绝对值不是正数；
(3)对任意实数a，b，若a(4)存在一个实数x，使得x2＋2x＋3＝0.
解 (1)(3)是全称量词命题，(2)(4)是存在量词命题．
(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题．
(2)存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题．
(3)存在a＝－5，b＝－3，a(－3)2，所以该命题是假命题．
(4)由于x∈R，则x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使得x2＋2x＋3＝0的实数x不存在，所以该命题是假命题．
反思感悟 (1)判断全称量词命题真假的思维过程
(2)判断存在量词命题真假的思维过程
跟踪训练2 判断下列命题的真假．
(1)∀x∈R，x2＋1>0；
(2)存在一个四边形不是平行四边形；
(3)∀x∈N，x2>0.
解 (1)因为x2＋1≥1>0，所以命题是真命题．
(2)真命题，如梯形．
(3)因为0∈N，02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题．
三、依据含量词命题的真假求参数的范围
例3 已知命题“∀x∈[1,2]，2x－1－m≥0”为真命题，求实数m的取值范围．
解 ∵“∀x∈[1,2]，2x－1－m≥0”成立，
∴2x－1－m≥0在x∈[1,2]上恒成立．
又y＝2x－1－m在[1,2]上的最小值为1－m.
∴1－m≥0，解得m≤1.
∴实数m的取值范围是(－∞，1]．
延伸探究 若把本例中的“∀”改为“∃”，其他条件不变，求实数m的取值范围．
解 ∵“∃x∈[1,2]，2x－1－m≥0”成立，
∴2x－1－m≥0在x∈[1,2]上有解．
函数y＝2x－1－m在[1,2]上的最大值是2×2－1－m＝3－m.
∴3－m≥0，解得m≤3.
∴实数m的取值范围是(－∞，3]．
反思感悟 应用全称量词命题与存在量词命题求参数范围的两类题型
(1)全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题．
(2)存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．
跟踪训练3 (1)若存在一个实数m，使不等式m＋x2－2x＋5>0对于任意x∈R恒成立，则实数m的取值范围为________．
(2)若存在一个实数x，使不等式m－(x2－2x＋5)>0成立，则实数m的取值范围为________．
答案 (1)(－4，＋∞) (2)(4，＋∞)
解析 (1)不等式m＋x2－2x＋5>0可化为
m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.
要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．
故若存在一个实数m使不等式m＋x2－2x＋5>0对于任意x∈R恒成立，则m>－4.
(2)不等式m－(x2－2x＋5)>0可化为m>x2－2x＋5.
令t＝x2－2x＋5，若存在一个实数x使不等式m>x2－2x＋5成立，只需m>tmin.
又t＝(x－1)2＋4，
∴tmin＝4，
∴m>4.
∴所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．
1．知识清单：
(1)命题及其真假判断．
(2)全称量词命题、存在量词命题．
(3)依据含量词命题的真假求参数的范围．
2．方法归纳：转化与化归、分离参数法．
3．常见误区：有些命题省略了量词，全称量词命题强调“整体、全部”，存在量词命题强调“个别、部分”．
1．下列命题不是全称量词命题的是( )
A．任何一个实数乘以零都等于零
B．自然数都是正整数
C．我班绝大多数同学是团员
D．每一个方程都有实数解
答案 C
解析 “我班绝大多数同学是团员”即“我班有的同学不是团员”，是存在量词命题．
2．(多选)给出下列命题，其中是存在量词命题的为( )
A．存在实数x>1，使x2>1
B．全等的三角形必相似
C．有些相似三角形全等
D．至少有一个实数a，使ax2－ax＋1＝0的根为负数
答案 ACD
解析 ACD为存在量词命题，B为全称量词命题．
3．下列是存在量词命题且是真命题的是( )
A．∀x∈R，x3>0
B．∃x∈Z，x2>2
C．∀x∈N，x2∈N
D．∃x，y∈R，x2＋y2<0
答案 B
解析 对于A，∀x∈R，x3>0是全称量词命题，不合题意；
对于B，∃x∈Z，x2>2是存在量词命题，且是真命题，满足题意；
对于C，∀x∈N，x2∈N是全称量词命题，不合题意；
对于D，∃x，y∈R，x2＋y2<0是存在量词命题，是假命题，不合题意．
4．命题p：∃x∈R，x2＋2x＋5＝0是________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是________命题．(填“真”或“假”)
答案 存在量词命题 假
解析 命题中含有量词符号“∃”，故为存在量词命题．又Δ＝22－4×5＝－16<0，故方程x2＋2x＋5＝0无实根，即命题为假命题．
5．若命题“∃x∈R，x2－x＋a＝0”为假命题，则实数a的取值范围为________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，＋∞))
解析 若命题“∃x∈R，x2－x＋a＝0”为假命题，则一元二次方程x2－x＋a＝0无实数解，则Δ＝1－4a<0⇒a>eq \f(1,4).故a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，＋∞)).
1．(多选)对语句：“如果x>1，那么x>2”，下列判断正确的是( )
A．不是命题 B．是命题
C．是假命题 D．是真命题
答案 BC
解析 能够判断真假，所以是命题，而且x>1不一定有 x>2，所以是假命题．
2．下列命题中的假命题是( )
A．∃x∈R，|x|＝0 B．∃x∈R,2x－10＝1
C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R，x2＋1>0
答案 C
解析 当x＝0时，x3＝0，故选项C为假命题．
3．存在量词命题“存在实数x，使x2＋1<0”可写成( )
A．若x∈R，则x2＋1>0
B．∀x∈R，x2＋1<0
C．∃x∈R，x2＋1<0
D．以上都不正确
答案 C
解析 存在量词命题中“存在”可用符号“∃”表示．
4．(多选)下列命题中是存在量词命题的是( )
A．有些自然数是偶数
B．正方形是菱形
C．能被6整除的数也能被3整除
D．存在一个x∈R，满足|x|≥0
答案 AD
解析 命题A含有存在量词；命题B可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题；命题C可以叙述为“一切能被6整除的数也能被3整除”，是全称量词命题；命题D是存在量词命题．
5．下列命题中，是真命题且是全称量词命题的是( )
A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2>0
B．菱形的两条对角线相等
C．∃x∈R，x2＝x
D．当k>0时，一次函数y＝kx＋b在R上y随x的增大而增大
答案 D
解析 A中含有全称量词“任意的”，因为当a＝0，b＝0时，a2＋b2＝0，所以是假命题；B，D中在叙述上没有全称量词，但实际上是指“任意的”，菱形的对角线不一定相等，所以B是假命题，D是真命题；C是存在量词命题．
6．有下列命题：①有的质数是偶数；②与同一条直线平行的两条直线平行；③有的三角形有一个内角为60°；④与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．其中是全称量词命题的为________，是存在量词命题的为________．(填序号)
答案 ②④ ①③
解析 ①③是存在量词命题，②④是全称量词命题．
7．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2>0”用“∃”写成存在量词命题为____________________．
答案 ∃x<0，(1＋x)(1－9x)2>0
解析 存在量词命题“存在集合M中的元素x，使s(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，s(x)”．
8．试判断下列全称量词命题的真假：
①∀x∈R，x2＋2>0；
②∀x∈N，x4≥1；
③对任意x，y，都有x2＋y2≠0.
其中真命题的个数为________．
答案 1
解析 ①由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命题“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题．
②由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题．
③当x＝y＝0时，x2＋y2＝0，所以是假命题．
9．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题，并判断真假．
(1)所有实数x都能使x2＋x＋1>0成立；
(2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解；
(3)一定有整数x，y，使得3x－2y＝10成立；
(4)所有的有理数x都能使eq \f(1,3)x2＋eq \f(1,2)x＋1是有理数．
解 (1)∀x∈R，x2＋x＋1>0；真命题．
(2)∀a，b∈R，ax＋b＝0恰有一解；假命题．
如当a＝0，b＝0时，该方程的解有无数个．
(3)∃x，y∈Z，3x－2y＝10；真命题．
(4)∀x∈Q，eq \f(1,3)x2＋eq \f(1,2)x＋1是有理数；真命题．
10．已知命题p：∀x∈R，函数y＝ax2＋2x＋3的图像总在x轴上方是真命题，求实数a的取值范围．
解 命题p为真命题，①当a＝0时，一次函数y＝2x＋3的图像总在x轴上方，显然不成立；
②当a≠0时，由二次函数y＝ax2＋2x＋3的图像总在x轴上方，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ＝22－4×a×3<0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,a>\f(1,3)，))∴a>eq \f(1,3).
综上，a的取值范围为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>\f(1,3))))).
11．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则下列选项正确的是( )
A．∀x∈Q，有x∈P B．∀x∉Q，有x∉P
C．∃x∉Q，使得x∈P D．∃x∈P，使得x∉Q
答案 B
解析 因为P∩Q＝P，所以P⊆Q，
所以A，C，D错误，B正确．
12．(多选)下列结论中错误的是( )
A．∀n∈N＋，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题
B．∀n∈N＋，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题
C．∃n∈N＋，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题
D．∃n∈N＋，2n2＋5n＋2能被2整除是假命题
答案 ABD
解析 当n＝1时，2n2＋5n＋2不能被2整除，
当n＝2时，2n2＋5n＋2能被2整除，
所以A，B，D错误，C项正确．
13．若存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0，则实数a的取值范围为________．
答案 {a|a<1}
解析 当a≤0时，显然存在x∈R，
使ax2＋2x＋a<0；
当a>0时，需满足Δ＝4－4a2>0，得－1故0综上所述，实数a的取值范围是{a|a<1}．
14．命题p：任意x∈R，一次函数y＝－2x＋b的图像都不经过第一象限，若命题p为真命题，则实数b的取值范围是________．
答案 (－∞，0]
解析 因为一次函数y＝－2x＋b的图像都不经过第一象限，则b≤0.所以实数b的取值范围为(－∞，0]．
15．命题p：“∀x∈[1,2]，2x2－x－m>0”是真命题，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－1，＋∞)
C．(－1,1) D．[－1,1]
答案 A
解析 由命题p：“∀x∈[1,2]，2x2－x－m>0”为真命题，即对于∀x∈[1,2]，m<2x2－x恒成立，得m<(2x2－x)min＝1，所以m<1.
16．已知函数y1＝xeq \\al(2,1)，y2＝－2x2－m，若对∀x1∈{x|－1≤x≤3}，∃x2∈{x|0≤x≤2}，使得y1≥y2，求实数m的取值范围．
解 因为x1∈{x|－1≤x≤3}，x2∈{x|0≤x≤2}，
所以y1∈{y|0≤y≤9}，y2∈{y|－4－m≤y≤－m}，
又因为对∀x1∈{x|－1≤x≤3}，∃x2∈{x|0≤x≤2}，
使得y1≥y2，即y1的最小值大于等于y2的最小值，
即－4－m≤0，解得m≥－4，
所以m的取值范围为[－4，＋∞)．全称量词
存在量词
量词
任意、所有、每一个
存在、有、至少有一个
符号
∀
∃
命题
含有全称量词的命题，称为全称量词命题
含有存在量词的命题，称为存在量词命题
命题形式
“对集合M中的所有元素x，r(x)”，可用符号简记为“∀x∈M，r(x)”
“存在集合M中的元素x，s(x)”，可用符号简记为“∃x∈M，s(x)”