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    人教b版高中数学必修第一册学案1.1.3.1集合的基本运算含答案
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    人教B版 (2019)必修 第一册1.1.3 集合的基本运算学案设计

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    这是一份人教B版 (2019)必修 第一册1.1.3 集合的基本运算学案设计,共7页。

      1.1.3 集合的基本运算

    最新课程标准:(1)理解两个集合的并集与交集的含义,能求两个集合的并集与交集.(2)在具体情境中,了解全集的含义.(3)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集.(4)能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用.

     

     

    第1课时 交集与并集

    知识点一 交集

     

    自然语言

    一般地,给定两个集合A、B,由既属于集合A又属于集合B的所有元素(即A和B的公共元素)组成的集合,称为A与B的交集

    符号语言

    A∩B={x|x∈A且x∈B}(读作“A交B”)

    图形语言

    知识点二 并集

     

    自然语言

    一般地,给定两个集合A、B,由这两个集合的所有元素组成的集合,称为集合A与B的并集

    符号语言

    A∪B={x|x∈A,或x∈B}(读作“A并B”)

    图形语言

     1.两个集合的并集、交集还是一个集合.

    2.对于A∪B,不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合,因为A与B可能有公共元素,每一个公共元素只能算一个元素.

    3.A∩B是由A与B的所有公共元素组成,而非部分元素组成.

    [基础自测]

    1已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B=(  )

    A.{0,2} B.{1,2}

    C.{0}    D.{-2,-1,0,1,2}

    解析:本题主要考查集合的基本运算.

    ∵A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},∴A∩B={0,2},故选A.

    答案:A

    2.已知集合M={-1,0,1},N={0,1,2},则M∪N=(  )

    A.{-1,0,1}  B.{-1,0,1,2}

    C.{-1,0,2}  D.{0,1}

    解析:M∪N表示属于M或属于N的元素组成的集合,故M∪N={-1,0,1,2}.

    答案:B

    3.设集合A={1,2},则满足A∪B={1,2,3}的集合B的个数是(  )

    A.1  B.3

    C.4  D.8

    解析:因为A={1,2},A∪B={1,2,3}.所以B={3}或{1,3}或{2,3}或{1,2,3},故选C.

    答案:C

    4.设集合A={x|2≤x<5},B={x|3x-7≥8-2x},则A∩B=________.

    解析:∵A={x|2≤x<5},

    B={x|3x-7≥8-2x}={x|x≥3},

    ∴A∩B={x|3≤x<5}.

    答案:{x|3≤x<5}

     

     

    题型一 交集的运算[经典例题]

    例1 (1)已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},则A∩B=(  )

    A.{3}         B.{5}

    C.{3,5}  D.{1,2,3,4,5,7}

    (2)已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=(  )

    A.{0}  B.{1}

    C.{1,2}  D.{0,1,2}

    【解析】 (1)本题主要考查集合的运算.

    由题意得A∩B={3,5},故选C.

    找出A、B的公共元素求A∩B.

    (2)本题考查集合的运算.

    ∵A={x|x-1≥0}={x|x≥1},B={0,1,2},∴A∩B={1,2},故选C.

    先求A,再求A∩B.

    【答案】 (1)C (2)C

     

    方法归纳

    求交集的基本思路

    首先要识别所给集合,其次要化简集合,使集合中的元素明朗化,最后再依据交集的定义写出结果,有时要借助于Venn图或数轴写出交集.借助于数轴时要注意数轴上方“双线”(即公共部分)下面的实数组成了交集.

    跟踪训练1 (1)已知集合A={x||x|<2},B={-2,0,1,2},则A∩B=(  )

    A.{0,1}       B.{-1,0,1}

    C.{-2,0,1,2}  D.{-1,0,1,2}

    (2)若集合A={x|-5≤x≤5},B={x|x≤-2或x>3},则A∩B=________.

    解析:(1)本题主要考查集合的运算.

    化简A={x|-2<x<2},∴A∩B={0,1},故选A.

    先求A再求A∩B.

     

    (2)在数轴上表示出集合A与B,如下图.

    由交集的定义可得A∩B={x|-5≤x≤-2或3<x≤5}.

    利用数轴求A∩B.

    答案:(1)A (2){x|-5≤x≤-2或3<x≤5}

    题型二 并集的运算[教材P17例3]

    例2 已知区间A=(-3,1),B=[-2,3],求A∩B,A∪B.

    【解析】 在数轴上表示出A和B,如图所示.

    由图可知A∩B=[-2,1),A∪B=(-3,3].

     (1)由并集定义A∪B是由A、B中所有元素组成的.

    (2)利用数轴求并集更直观.

     

    教材反思

    (1)在求两个集合的并集时,它们的公共元素在并集中只能出现一次.

    (2)此类题目首先应看清集合中元素的范围,简化集合,若是用列举法表示的数集,可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果;若是用描述法表示的数集,可借助数轴分析写出结果,此时要注意当端点不在集合中时,应用“空心点”表示.

     

    跟踪训练2 (1)已知集合A={1,3,4,7},B={x|x=2k+1,k∈A},则集合A∪B中元素的个数为________.

    (2)已知集合P={x|-1<x<1},Q={x|0<x<2},那么P∪Q=(  )

    A.{x|-1<x<2} B.{x|0<x<1}

    C.{x|-1<x<0}  D.{x|1<x<2}

    解析:(1)∵A={1,3,4,7},B={x|x=2k+1,k∈A},

    ∴B={3,7,9,15},

    ∴A∪B={1,3,4,7,9,15}.

    ∴集合A∪B中元素的个数为6.

    (2)因为P={x|-1<x<1},Q={x|0<x<2},画数轴如图,

    所以P∪Q={x|-1<x<2}.

    答案:(1)6 (2)A

     

     

     (1)找出集合A,B中出现的所有元素,写出A∪B,求元素个数.

    (2)画数轴,根据条件确定P∪Q.

     

    题型三 交集、并集性质的运用[经典例题]

    例3 已知A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|x2-5x+8=2},C={x|x2+2x-8=0},若(A∩B),且A∩C=,求a的值.

    【解析】 A={x|x2-ax+a2-19=0},

    B={2,3},C={-4,2}.

    因为(A∩B),且A∩C=

    那么3∈A,故9-3a+a2-19=0.

    即a2-3a-10=0.

    所以a=-2或a=5.

    当a=-2时A={x|x2+2x-15=0}={3,-5},符合题意.

    当a=5时A={x|x2-5x+6=0}={2,3},

    不符合A∩C=.

    综上知,a=-2.

    审结论

    (明解题方向)

    审条件

    (挖解题信息)

    求a的值,需建立关于a的方程

    (1)集合A,B,C是由相应方程的解构成的,先要解方程求B,C.

    (2)由(A∩B),知A∩B≠,结合A∩C=,可确定集合A中的元素,建立关于a的方程.

     

    建关系——找解题突破口

    (A∩B),A∩C=→确定集合A中的元素→建立关于a的方程→检验集合中元素的互异性.

     

    方法归纳

    (1)连续数集求交、并集借助数轴采用数形结合法.

    (2)利用A∩B=AAB,A∪B=ABA可实现交、并运算与集合间关系的转化.

    注意事项:(1)借助数轴求交、并集时注意端点的实虚.

    (2)关注Venn图在解决复杂集合关系中的作用.

     

    跟踪训练3 已知集合A={x|x<-1或x>4},B={x|2a≤x≤a+3},若A∩B=B,求实数a的取值范围.

    解析:①当B=时,只需2a>a+3,即a>3;

    ②当B≠时,根据题意作出如图所示的数轴,

    可得解得a<-4或2<a≤3.

    综上可得,实数a的取值范围为(-∞,-4)∪(2,+∞).

    由A∩B=B得B A,B分2类,B=,B≠,再利用数轴求.

     

     

     

     

    课时作业 3

    一、选择题

    1.已知集合M={x|-3<x<1},N={-3,-2,-1,0,1},则M∩N=(  )

    A.{-2,-1,0,1} B.{-3,-2,-1,0}

    C.{-2,-1,0}    D.{-3,-2,-1}

    解析:运用集合的运算求解.

    M∩N={-2,-1,0},故选C.

    答案:C

    2.已知集合A={x|x≥-3},B={x|-5≤x≤2},则A∪B=(  )

    A.{x|x≥-5}    B.{x|x≤2}

    C.{x|-3<x≤2}  D.{x|-5≤x≤2}

    解析:结合数轴(图略)得A∪B={x|x≥-5}.

    答案:A

    3.设集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x∈R|-1≤x<2},则(A∪B)∩C=(  )

    A.{-1,1}    B.{0,1}

    C.{-1,0,1}  D.{2,3,4}

    解析:本题主要考查集合的运算.

    由题意得A∪B={1,2,3,4,-1,0},∴(A∪B)∩C={1,2,3,4,-1,0}∩{x∈R|-1≤x<2}={-1,0,1}.故选C.

    答案:C

    4.设集合A={x|-1≤x<2},B={x|x<a},若A∩B≠,则a的取值范围是(  )

    A.a<2    B.a>-2

    C.a>-1  D.-1<a≤2

    解析:在数轴上表示出集合A,B即可得a的取值范围为a>-1.

    答案:C

    二、填空题

    5.定义A-B={x|x∈A,且xB},若M={1,2,3,4,5},N={2,3,6},则N-M=________.

    解析:关键是理解A-B运算的法则,N-M={x|x∈N,且xM},所以N-M={6}.

    答案:{6}

    6.设集合A={1,2,a},B={1,a2},若A∩B=B,则实数a允许取的值有________个.

    解析:由题意A∩B=B知BA,所以a2=2,a=±, 或a2=a,a=0或a=1(舍去),所以a=±,0,共3个.

    答案:3

    7.已知集合A={x|x≤1},B={x|x≥a},且A∪B=R,则实数a的取值范围为________.

    解析:由A∪B=R,得A与B的所有元素应覆盖整个数轴.如图所示:

    所以a必须在1的左侧,或与1重合,故a≤1.

    答案:(-∞,1]

    三、解答题

    8.设A={x|-1<x<2},B={x|1<x<3},求A∪B,A∩B.

    解析:如图所示:

    A∪B={x|-1<x<2}∪{x|1<x<3}={x|-1<x<3}.

    A∩B={x|-1<x<2}∩{x|1<x<3}={x|1<x<2}.

    9.已知A={x|a<x≤a+8},B={x|x<-1,或x>5}.若A∪B=R,求a的取值范围.

    解析:在数轴上标出集合A,B,如图.

    要使A∪B=R,则

    解得-3≤a<-1.

    综上可知,a的取值范围为-3≤a<-1.

    [尖子生题库]

    10集合A={x|-1≤x<3},B={x|2x-4≥x-2}.

    (1)求A∩B;

    (2)若集合C={x|2x+a>0},满足B∪C=C,求实数a的取值范围.

    解析:(1)∵B={x|x≥2},

    ∴A∩B={x|2≤x<3}.

    (2)C=

    B∪C=CBC,

    ∴-<2,∴a>-4.

    即a的取值范围为a>-4.

     

     

     

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