2020-2021学年1.1.3 集合的基本运算第1课时教案

1.1.3　第1课时　交集与并集

一. 教学目标：

1. 知识与技能

    (1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集.

    (2)能利用数轴或Venn图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.

2. 过程与方法

学生通过观察和类比，借助Venn图理解集合的基本运算.

3.情感.态度与价值观

    (1)进一步树立数形结合的思想.

    (2)进一步体会类比的作用.

    (3)感受集合作为一种语言，在表示数学内容时的简洁和准确.

二.教学重点.难点

  重点：交集与并集

  难点：理解交集与并集的概念.符号之间的区别与联系．

三.学法与教学用具

1.学法：学生借助Venn图，通过观察.类比.思考.交流和讨论等，理解集合的基本运算.

2.教学用具：投影仪.

四. 教学思路

导入新课

思路1.我们知道，实数有加法运算，两个实数可以相加，例如5+3=8.类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢?

教师直接点出课题.

推进新课

新知探究

提出问题

①通过上述问题中集合A与B与集合C之间的关系，类比实数的加法运算，你发现了什么？

②用文字语言来叙述上述问题中，集合A与B与集合C之间的关系.

③用数学符号来叙述上述问题中，集合A与B与集合C之间的关系.

④试用Venn图表示A∪B=C.

⑤请给出集合的并集定义.

⑥求集合的并集是集合间的一种运算，那么，集合间还有其他运算吗？

请同学们考察下面的问题，集合A与B与集合C之间有什么关系？

(ⅰ)A={2，4，6，8，10}，B={3，5，8，12}，C={8};

(ⅱ)A={x|x是国兴中学2007年9月入学的高一年级女同学}，B={x|x是国兴中学2007年9月入学的高一年级男同学}，C={x|x是国兴中学2007年9月入学的高一年级同学}.

⑦类比集合的并集，请给出集合的交集定义？并分别用三种不同的语言形式来表达.

活动：先让学生思考或讨论问题，然后再回答，经教师提示、点拨，并对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路，主要引导学生发现集合的并集和交集运算并能用数学符号来刻画，用Venn图来显示.

讨论结果：

①集合之间也可以相加，也可以进行运算，但是为了不和实数的运算相混淆，规定这种运算不叫集合的加法，而是叫做求集合的并集.集合C叫集合A与B的并集.记为A∪B=C，读作A并B.

②所有属于集合A或属于集合B的元素所组成了集合C.

③C={x|x∈A，或x∈B}.

④一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集.其含义用符号表示为A∪B={x|x∈A，或x∈B}，用Venn图表示.

⑥集合之间还可以求它们的公共元素组成集合的运算，这种运算叫求集合的交集，记作A∩B，读作A交B.(ⅰ)A∩B=C，(ⅱ)A∪B=C.

⑦一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.

其含义用符号表示为:

A∩B={x|x∈A，且x∈B}.

用Venn图表示，如图所示.

应用示例

1.设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求A∪B，A∩B.

图1－1－3－3

活动：让学生回顾集合的表示法和交集、并集的含义，由于本例题难度较小，让学生自己解决，重点是总结集合运算的方法.根据集合并集、交集的含义，借助于Venn图写出.观察这两个集合中的元素，或用Venn图来表示，如图1133所示.

解：A∪B={4，5，6，8}∪{3，5，7，8}={3，4，5，6，7，8}.A∩B={4，5，6，8}∩{3，5，7，8}={5，8}.

点评：本题主要考查集合的并集和交集.用列举法表示的集合，运算时常利用Venn图或直接观察得到结果.

本题易错解为A∪B={3，4，5，5，6，7，8，8}.其原因是忽视了集合元素的互异性.解决集合问题要遵守集合元素的三条性质.

变式训练

1.集合M={1，2，3}，N={－1，5，6，7}，则M∪N=________.M∩N=________.

答案：{－1，1，2，3，5，6，7} 

2.集合P={1，2，3，m}，M={m2，3}，P∪M={1，2，3，m}，则m=_________.

分析:由题意得m2=1或2或m，解得m=－1，1，，，0.因m=1不合题意，故舍去.

答案：－1，，，0

3.满足A∪B={0，2}的集合A与B的组数为        (    )

A.2             B.5            C.7              D.9

分析:∵A∪B={0，2}，∴A{0，2}.则A=或A={0}或A={2}或A={0，2}.当A=时，B={0，2};当A={0}时，则集合B={2}或{0，2};当A={2}时，则集合B={0}或{0，2};当A={0，2}时，则集合B=或{0}或{2}或{0，2}，则满足条件的集合A与B的组数为1+2+2+4=9.

答案：D

4.设集合A={1，2}，则满足A∪B={1，2，3}的集合B的个数是   (    )

A.1              B.3           C.4               D.8

分析:转化为求集合A子集的个数.很明显3A，又A∪B={1，2，3}，必有3∈B，即集合B中至少有一个元素3，其他元素来自集合A中，则集合B的个数等于A={1，2}的子集个数，又集合A中含有22=4个元素，则集合A有22=4个子集，所以满足条件的集合B共有4个.

答案：C

2.设A={x|－1<x<2}，B={x|1<x<3}，求A∪B，A∩B.

活动：学生回顾集合的表示法和并集、交集的含义.利用数轴，将A、B分别表示出来，则阴影部分即为所求.用数轴表示描述法表示的数集.

解：将A={x|－1<x<2}及B={x|1<x<3}在数轴上表示出来.如图所示的阴影部分即为所求.

图1－1－3－4

由图得A∪B={x|－1<x<2}∪{x|1<x<3}={x|－1<x<3}，

A∩B={x|－1<x<2}∩{x|1<x<3}={x|1<x<2}.

点评：本类题主要考查集合的并集和交集.用描述法表示的集合，运算时常利用数轴来计算结果.

变式训练

1.设A={x|2x－4<2}，B={x|2x－4>0}，求A∪B，A∩B.

答案：A∪B=R，A∩B={x|2<x<3}.

2.设A={x|2x－4=2}，B={x|2x－4=0}，求A∪B，A∩B.

答案：A∪B={3，2}，A∩B=.

3.设集合A={x|－1≤x≤2}，B={x|0≤x≤4}，则A∩B等于(    )

A.［0，2］         B.［1，2］         C.［0，4］         D.［1，4］

分析:在同一条数轴上表示出集合A、B，如图1135所示.由图得A∩B=［0，2］.

图1－1－3－5

答案：A

【补充练习】

1.设a={3，5，6，8}，B={4，5，7，8}，

(1)求A∩B，A∪B.

(2)用适当的符号(、)填空:

A∩B________A，B________A∩B，A∪B________A，A∪B________B，A∩B________A∪B.

解：(1)因A、B的公共元素为5、8，故两集合的公共部分为5、8，

则A∩B={3，5，6，8}∩{4，5，7，8}={5，8}.

又A、B两集合的元素3、4、5、6、7、8，

故A∪B={3，4，5，6，7，8}.

(2)由文氏图可知

A∩BA，BA∩B，A∪BA，A∪BB，A∩BA∪B.

2.设A={x|x<5}，B={x|x≥0}，求A∩B.

解：因x<5及x≥0的公共部分为0≤x<5，

故A∩B={x|x<5}∩{x|x≥0}={x|0≤x<5}.

3.设A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是钝角三角形}，求A∩B.

解：因三角形按角分类时，锐角三角形和钝角三角形彼此孤立.故A、B两集合没有公共部分.

所以A∩B={x|x是锐角三角形}∩{x|x是钝角三角形}=.

4.设A={x|x>－2}，B={x|x≥3}，求A∪B.

解：在数轴上将A、B分别表示出来，得A∪B={x|x>－2}.

5.设A={x|x是平行四边形}，B={x|x是矩形}，求A∪B.

解：因矩形是平行四边形，故由A及B的元素组成的集合为A∪B，A∪B={x|x是平行四边形}.

6.已知M={1}，N={1，2}，设A={(x，y)|x∈M，y∈N}，B={(x，y)|x∈N，y∈M}，求A∩B，A∪B.

分析:M、N中元素是数.A、B中元素是平面内点集，关键是找其元素.

解：∵M={1}，N={1，2}，则A={(1，1)，(1，2)}，B={(1，1)，(2，1)}，故A∩B={(1，1)}，A∪B={(1，1)，(1，2)，

(2，1)}.

7.2006江苏高考，7若A、B、C为三个集合，A∪B=B∩C，则一定有(    )

A.AC          B.CA          C.A≠C           D.A=

分析:思路一:∵(B∩C)B，(B∩C)C，A∪B=B∩C，

∴A∪BB，A∪BC.∴ABC.∴AC.

思路二:取满足条件的A={1}，B={1，2}，C={1，2，3}，排除B、D，

令A={1，2}，B={1，2}，C={1，2}，则此时也满足条件A∪B=B∩C，

而此时A=C，排除C.

答案：A

拓展提升

观察：(1)集合A={1，2}，B={1，2，3，4}时，A∩B，A∪B这两个运算结果与集合A，B的关系;

(2)当A=时，A∩B，A∪B这两个运算结果与集合A，B的关系;

(3)当A=B={1，2}时，A∩B，A∪B这两个运算结果与集合A，B的关系.

由(1)(2)(3)你发现了什么结论？

活动：依据集合的交集和并集的含义写出运算结果，并观察与集合A，B的关系.用Venn图来发现运算结果与集合A，B的关系.(1)(2)(3)中的集合A，B均满足AB，用Venn图表示，如图所示，就可以发现A∩B，A∪B与集合A，B的关系.

解：A∩B=AABA∪B=B.

可用类似方法，可以得到集合的运算性质，归纳如下:

A∪B=B∪A，A(A∪B)，B(A∪B);A∪A=A，A∪=A，ABA∪B=B;

A∩B=B∩A;(A∩B)A，(A∩B)B;A∩A=A;A∩=;ABA∩B=A.

课堂小结

本节主要学习了:

1.集合的交集和并集.

2.通常借助于数轴或Venn图来求交集和并集.

作业

1.课外思考:对于集合的基本运算，你能得出哪些运算规律？

2.请你举出现实生活中的一个实例，并说明其并集、交集和补集的现实含义.