高中数学人教B版 (2019)必修 第一册1.1.3 集合的基本运算导学案

第2课时　补集及综合应用

新知初探·自主学习——突出基础性

知识点　补集

1．全集

在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，全集通常用U表示．

2．补集

状元随笔　全集并不是一个含有任何元素的集合，

仅包含所研究问题涉及的所有元素．

∁UA的三层含义：

(1)∁UA表示一个集合；

(2)A是U的子集，即A ⊆U；

(3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合．

基础自测

1.设全集U＝R，集合P＝{x|－2≤x＜3}，则∁UP等于(　　)

A．{x|x＜－2或x≥3}　　B．{x|x＜－2或x＞3}

C．{x|x≤－2或x＞3}D．{x|x≤－2且x≥3}

2．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A等于(　　)

A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}

C．{x|0≤x≤1}D．{x|0＜x＜1}

3．已知集合U＝{2，3，6，8}，A＝{2，3}，B＝{2，6，8}，则(∁UA)＝________．

课堂探究·素养提升——强化创新性

题型1　补集的运算[教材P18例5]

例1　已知A＝(－1，＋∞)，B＝(－∞，2]，求∁RA，∁RB.

【解析】　在数轴上表示出A和B，如图所示．

由图可知∁RA＝(－∞，－1]，∁RB＝(2，＋∞)．

教材反思

求补集的原则和方法

(1)一个基本原则．

求给定集合A的补集，从全集U中去掉属于集合A的元素后，由所有剩下的元素组成的集合即为A的补集．

(2)两种求解方法：

①若所给的集合是有关不等式的集合，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，注意端点值的取舍．

②若所给的集合是用列举法表示，则用Venn图求解．

跟踪训练1　(1)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，则∁UA＝(　　)

A．∅　　　　　　B．{1，3}

C．{2，4，5}D．{1，2，3，4，5}

利用补集定义直接求．

(2)设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(CRB)＝(　　)

A.{x|0＜x≤1}

B．{x|0＜x＜1}

C．{x|1≤x＜2}

D．{x|0＜x＜2}

利用数轴表示集合A、B，结合数轴求出结果．

题型2　集合交、并、补的综合运算[经典例题]

先求∁UB，再求A∩CUB.

例2　(1)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，则集合A∩(CUB)＝(　　)

A．{2，5}B．{3，6}

C．{2，5，6}D．{2，3，5，6，8}

根据集合的交集、补集、并集运算，画数轴，即可求解．

(2)已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}，P＝，求A∩B，(CUB)∪P，(A∩B)∩(CUP)．

方法归纳

求集合交、并、补运算的方法

跟踪训练2　已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3＜x≤3}．求∁UA，A∩B，∁U(A∩B)，(CUA)

借助数轴求出∁UA，∁UB再运算．

题型3　补集思想的应用[经典例题]

例3　已知集合A＝{x|x2－4x＋2m＋6＝0}，B＝{x|x＜0}，若A求实数m的取值范围．

状元随笔　①A＝∅，对于集合A而言，分A＝∅与A≠∅两种情况. A＝∅表示方程无实根．

②B＝{x|x＜0}，而A＝∅，故A {x|x≥0}，即已知方程的根为非负实根．

③Δ≥0保证了A≠∅，即原方程有实根；≥0与x1x2≥0保证了原方程两根非负. 如果两根都大于1，则等价形式为而不是

④由于A故方程x2－4x＋2m ＋6＝0一定有解，故我们还可以设全集U＝{m|Δ≥0}＝{m|m≤－1}．此时，{m|－3≤m≤－1}关于U的补集也是{m|m＜－3}，结果相同．

方法归纳

(1)运用补集思想求参数范围的方法：

①否定已知条件，考虑反面问题；

②求解反面问题对应的参数范围；

③将反面问题对应参数的范围取补集．

(2)补集思想适用的情况：

从正面考虑，情况较多，问题较复杂的时候，往往考虑运用补集思想．根据补集的定义，得到关于m的方程m2－m－1＝5，解得m的值后还需检验．

跟踪训练3　设全集U＝{3，6，m2－m－1}，A＝{|3－2m|，6}，∁UA＝{5}，求实数m.

第2课时　补集及综合应用

新知初探·自主学习

知识点

∁UA　{x|x∈U且x∉A}

[基础自测]

1．解析：由P＝{x|－2≤x<3}得∁UP＝{x|x<－2或x≥3}．

答案：A

2．解析：A＝{x|x≤0或x≥1}，

所以∁U(A＝{x|0<x<1}．故选D.

答案：D

3．解析：先计算∁UA，再计算(∁UA)

∵U＝{2，3，6，8}，A＝{2，3}，∴∁UA＝{6，8}．

∴(∁UA)＝{6，8}＝{6，8}．

答案：{6，8}

课堂探究·素养提升

跟踪训练1　解析：(1)本小题考查集合的运算．

∵U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，∴∁UA＝{2，4，5}．

(2)本题主要考查集合的基本运算．

由B＝{x|x≥1}，得∁RB＝{x|x<1}，

借助于数轴，可得A∩(∁RB)＝{x|0<x<1}，故选B.

答案：(1)C　(2)B

例2　【解析】　(1)因为U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，B＝{1，3，4，6，7}，所以∁UB＝{2，5，8}．又A＝{2，3，5，6}，

所以A∩(∁UB)＝{2，5}．

(2)将集合A，B，P分别表示在数轴上，如图所示．

因为A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1<x≤3}，

所以A＝{x|－1<x<2}，∁UB＝{x|x≤－1或x>3}．

又P＝，

所以(∁UB)＝.

又∁UP＝，所以(A∩B)∩(∁UP)＝{x|－1<x<2}＝{x|0<x<2}．

【答案】　(1)A　(2)见解析

跟踪训练2　解析：把全集U和集合A，B在数轴上表示如下：

由图可知，∁UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，

A＝{x|－2<x<3}，

∁U(A＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，

(∁UA)＝{x|－3<x≤－2或x＝3}．

例3　【解析】　先求A＝∅时m的取值范围．

(1)当A＝∅时，①

方程x2－4x＋2m＋6＝0无实根，所以Δ＝(－4)2－4(2m＋6)＜0，解得m＞－1.

 (2)当A≠∅，A＝∅时，方程x2－4x＋2m＋6＝0的根为非负实根．②

设方程x2－4x＋2m＋6＝0的两根为x1，x2，则

③即解得－3≤m≤－1，

综上，当A＝∅时， 

m的取值范围是{m|m≥－3}．

又因为U＝R，④所以当A时，

m的取值范围是∁R{m|m≥－3}＝{m|m<－3}．

所以，A时，m的取值范围是{m|m<－3}．

跟踪训练3　解析：因为∁UA＝{5}，所以5∈U但5∉A，

所以m2－m－1＝5，

解得m＝3或m＝－2.

当m＝3时，|3－2m|＝3≠5，

此时U＝{3，5，6}，A＝{3，6}，满足∁UA＝{5}；

当m＝－2时，|3－2m|＝7≠5，

此时U＝{3，5，6}，A＝{6，7}，不符合题意舍去．

综上，可知m＝3.