高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示测试题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示测试题，共5页。试卷主要包含了下列说法正确的有等内容，欢迎下载使用。
A级——基础过关练
1．(多选)下列说法正确的有( )
A．相等向量的坐标相同
B．平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标
C．一个坐标对应于唯一的一个向量
D．平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应
【答案】ABD
【解析】由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故C错误．
2．设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，若 eq \(OA,\s\up6(→))＝4i＋2j， eq \(OB,\s\up6(→))＝3i＋4j，则2 eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→))的坐标是( )
A．(1，－2)B．(7，6)
C．(5，0)D．(11，8)
【答案】D
【解析】因为 eq \(OA,\s\up6(→))＝(4，2)， eq \(OB,\s\up6(→))＝(3，4)，所以2 eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→))＝(8，4)＋(3，4)＝(11，8)．
3．设向量a＝(1，2)，b＝(－3，5)，c＝(4，x)，若a＋b＝λc(λ∈R)，则λ＋x的值为( )
A．－ eq \f(11,2)B． eq \f(11,2)
C．－ eq \f(29,2)D． eq \f(29,2)
【答案】C
【解析】由已知，可得(1，2)＋(－3，5)＝λ(4，x)，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4λ＝－2，,xλ＝7，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝－\f(1,2)，,x＝－14，))所以λ＋x＝－ eq \f(29,2)．故选C．
4．(2023年陕西模拟)已知向量a＝(－3，2)，b＝(4，－2λ)，若(a＋3b)∥(a－b)，则实数λ的值为( )
A． eq \f(2,3)B． eq \f(7,4)
C． eq \f(4,3)D． eq \f(7,5)
【答案】C
【解析】因为向量a＝(－3，2)，b＝(4，－2λ)，所以a＋3b＝(9，2－6λ)，a－b＝(－7，2＋2λ)．因为(a＋3b)∥(a－b)，所以9(2＋2λ)－(－7)(2－6λ)＝0，解得λ＝ eq \f(4,3)．故选C．
5．已知ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1，7)，C(1，2)，则顶点D的坐标为( )
A．(－7，0)B．(7，6)
C．(6，7)D．(7，－6)
【答案】D
【解析】因为四边形ABCD为平行四边形，所以 eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(DC,\s\up6(→))．设D(x，y)，则有(－1－5，7＋1)＝(1－x，2－y)，即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－6＝1－x，,8＝2－y，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝7，,y＝－6.))因此D点坐标为(7，－6)．
6．(2023年赣州月考)已知向量a，b满足2a－b＝(0，3)，a－2b＝(－3，0)，λa＋μb＝(－1，1)，则λ＋μ＝( )
A．－1B．0
C．1D．2
【答案】B
【解析】∵2a－b＝(0，3)，∴4a－2b＝(0，6)①．∵a－2b＝(－3，0)②，由①－②，得3a＝(3，6)，即a＝(1，2)，同理，b＝(2，1)．又∵λa＋μb＝(λ＋2μ，2λ＋μ)＝(－1，1)，即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＋2μ＝－1，,2λ＋μ＝1，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝1，,μ＝－1，))∴λ＋μ＝1＋(－1)＝0．故选B．
7．(2023年银川期末)已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，且 eq \(OP,\s\up6(→))＝ eq \(OA,\s\up6(→))＋t eq \(AB,\s\up6(→))(t∈R)，当t＝－ eq \f(1,2)时，此时P点( )
A．落在x轴上B．落在y轴上
C．落在一、三象限的角平分线上D．落在二、四象限的角平分线上
【答案】D
【解析】∵ eq \(AB,\s\up6(→))＝(3，3)， eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，2)，t＝－ eq \f(1,2)，∴ eq \(OP,\s\up6(→))＝(1，2)－ eq \f(1,2)(3，3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，且O为原点，∴P点落在二、四象限的角平分线上．故选D．
8．(2023年阆中月考)已知在▱ABCD中， eq \(AD,\s\up6(→))＝(2，6)， eq \(AB,\s\up6(→))＝(－4，4)，对角线AC与BD相交于点M，则 eq \(CM,\s\up6(→))＝__________．
【答案】(1，－5)
【解析】由于在▱ABCD中， eq \(AD,\s\up6(→))＝(2，6)， eq \(AB,\s\up6(→))＝(－4，4)，所以 eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(AB,\s\up6(→))＝(－2，10)，所以 eq \(CM,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→))＝(1，－5)．
9．已知A(2，－3)，B(8，3)，若 eq \(AC,\s\up6(→))＝2 eq \(CB,\s\up6(→))，则点C的坐标为__________．
【答案】(6，1)
【解析】设C(x，y)，∵A(2，－3)，B(8，3)， eq \(AC,\s\up6(→))＝2 eq \(CB,\s\up6(→))，∴(x－2，y＋3)＝2(8－x，3－y)＝(16－2x，6－2y)．∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2＝16－2x，,y＋3＝6－2y，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝6，,y＝1.))∴点C的坐标为(6，1)．
10．已知O是坐标原点，点A在第一象限，| eq \(OA,\s\up6(→))|＝4 eq \r(3)，∠xOA＝60°．
(1)求向量 eq \(OA,\s\up6(→))的坐标；
(2)若B( eq \r(3)，－1)，求 eq \(BA,\s\up6(→))的坐标．
解：(1)设点A(x，y)，则x＝4 eq \r(3)cs 60°＝2 eq \r(3)，y＝4 eq \r(3)sin 60°＝6．
∴A(2 eq \r(3)，6)， eq \(OA,\s\up6(→))＝(2 eq \r(3)，6)．
(2)由(1)知A(2 eq \r(3)，6)，
∴ eq \(BA,\s\up6(→))＝(2 eq \r(3)，6)－( eq \r(3)，－1)＝( eq \r(3)，7)．
B级——能力提升练
11．已知a＝( eq \r(3)，1)，若将向量－2a绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b，则b的坐标为( )
A．(0，4)B．(2 eq \r(3)，－2)
C．(－2 eq \r(3)，2)D．(2，－2 eq \r(3))
【答案】B
【解析】∵a＝( eq \r(3)，1)，∴－2a＝(－2 eq \r(3)，－2)．易知向量－2a与x轴正半轴的夹角α＝150°(如图)．向量－2a绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b，b在第四象限，与x轴正半轴的夹角β＝30°，∴b＝(2 eq \r(3)，－2)．故选B．
12．(多选)已知A(2，1)，B(0，2)，C(－2，1)，O(0，0)，则下列结论正确的是( )
A．直线OC与直线BA平行B． eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(CA,\s\up6(→))
C． eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→))＝ eq \(OB,\s\up6(→))D． eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \(OB,\s\up6(→))－2 eq \(OA,\s\up6(→))
【答案】ACD
【解析】因为 eq \(OC,\s\up6(→))＝(－2，1)， eq \(BA,\s\up6(→))＝(2，－1)，所以 eq \(OC,\s\up6(→))＝－ eq \(BA,\s\up6(→))，又因为直线OC，BA不重合，所以直线OC∥BA，所以A正确；因为 eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(AC,\s\up6(→))≠ eq \(CA,\s\up6(→))，所以B错误；因为 eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→))＝(0，2)＝ eq \(OB,\s\up6(→))，所以C正确；因为 eq \(AC,\s\up6(→))＝(－4，0)， eq \(OB,\s\up6(→))－2 eq \(OA,\s\up6(→))＝(0，2)－2(2，1)＝(－4，0)，所以D正确．
13．向量a＝(sin θ，cs θ)，b＝(1，2)，则|a|＝__________；若向量a，b不能作为一组基底，则tan θ＝__________．
【答案】1 eq \f(1,2)
【解析】∵a＝(sin θ，cs θ)，∴|a|＝ eq \r(sin2θ＋cs2θ)＝1．∵向量a，b不能作为一组基底，∴a∥b，则2sinθ－cs θ＝0，得tan θ＝ eq \f(1,2)．
14．设向量 eq \(OA,\s\up6(→))绕点O逆时针旋转 eq \f(π,2)得向量 eq \(OB,\s\up6(→))，且2 eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→))＝(7，9)，则向量 eq \(OB,\s\up6(→))＝__________．
【答案】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11,5)，\f(23,5)))
【解析】设 eq \(OA,\s\up6(→))＝(m，n)，则 eq \(OB,\s\up6(→))＝(－n，m)，所以2 eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→))＝(2m－n，2n＋m)＝(7，9)，即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m－n＝7，,m＋2n＝9，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(23,5)，,n＝\f(11,5)．))因此 eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11,5)，\f(23,5)))．
15．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)．
(1)若 eq \(PA,\s\up6(→))＋ eq \(PB,\s\up6(→))＋ eq \(PC,\s\up6(→))＝0，求 eq \(OP,\s\up6(→))的坐标；
(2)若 eq \(OP,\s\up6(→))＝m eq \(AB,\s\up6(→))＋n eq \(AC,\s\up6(→))(m，n∈R)，且点P在函数y＝x＋1的图象上，试求m－n的值．
解：(1)设点P的坐标为(x，y)，因为 eq \(PA,\s\up6(→))＋ eq \(PB,\s\up6(→))＋ eq \(PC,\s\up6(→))＝0，
eq \(PA,\s\up6(→))＋ eq \(PB,\s\up6(→))＋ eq \(PC,\s\up6(→))＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)，
所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6－3x＝0，,6－3y＝0，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝2.))
所以点P的坐标为(2，2)，故 eq \(OP,\s\up6(→))＝(2，2)．
(2)设点P的坐标为(x0，y0)，
因为A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)．
所以 eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，3)－(1，1)＝(1，2)，
eq \(AC,\s\up6(→))＝(3，2)－(1，1)＝(2，1)．
因为 eq \(OP,\s\up6(→))＝m eq \(AB,\s\up6(→))＋n eq \(AC,\s\up6(→))，
所以(x0，y0)＝m(1，2)＋n(2，1)＝(m＋2n，2m＋n)，
所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝m＋2n，,y0＝2m＋n.))
两式相减，得m－n＝y0－x0．
又因为点P在函数y＝x＋1的图象上，
所以y0－x0＝1，所以m－n＝1．