5.1平面向量的概念、线性运算及坐标表示（精讲）

5.1  平面向量的概念、线性运算及坐标表示

【题型解读】

【知识必备】

1．向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．

(2)零向量：长度为0的向量，记作0.

(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行．

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．

2．向量的线性运算

3.向量共线定理

向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.

4．平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．

5．平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．

6．平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.

7．平面向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.

 【题型精讲】

【题型一　平面向量的基本概念】

必备技巧 向量有关概念的四个关注点

(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．

(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．

(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆．

(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量．

例1  　（2022·全国高三专题练习）判断下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【解析】因向量共线，其模不一定相等，方向也不一定相同，即若，则是假命题，①不正确；

因模相等的向量，方向不一定相同，即若，则是假命题，②不正确；

因模相等的向量，方向不一定相同也不一定相反，即若，则是假命题，③不正确；

由相等向量的定义可知：若，则是真命题，④正确，

所以，正确命题的个数是1.

故选：A

【跟踪精练】

1. （2022·上海市嘉定区第一中学高三月考）下列说法中正确的是（    ）

A．；

B．若、非零向量且，则；

C．若且，则；

D．若，则有且只有一个实数，使得.

【答案】B

【解析】左边是向量的加法，结果是零向量，用表示，故A错误；

由、非零向量且，

两边平方可得，

即，所以，故B正确；

当时也有且，故C错误；

若，，不存在实数，使得，故D错误．

故选：B．

2. （2022·江苏江苏·一模）给出如下命题：

①向量的长度与向量的长度相等；

②向量与平行，则与的方向相同或相反；

③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；

④两个公共终点的向量，一定是共线向量；

⑤向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上．

其中正确的命题个数是（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】对于①，向量与向量，长度相等，方向相反，故①正确；

对于②，向量与平行时，或为零向量时，不满足条件，故②错误；

对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确；

对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，故④错误；

对于⑤，向量与是共线向量，点，，，不一定在同一条直线上，故⑤错误．

综上，正确的命题是①③．

故选：B．

【题型二　平面向量的线性运算】

必备技巧  平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略

(1)求已知向量的和或差．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用向量减法的几何意义；求首尾相连向量的和用三角形法则．

(2)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．

例2（2022·全国高三专题练习）在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设，，则向量等于（    ）

A． ＋ B．--

C．-＋ D．-

【答案】C

【解析】平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，则有，如图，

所以＝＝(＋)＝＝-＋.

故选：C

例3  （2022·安徽高三模拟）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，

即，解得，

即．

故选：B．

例4（2022·威海高三模拟）在平行四边形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，若＝x＋y(x，y∈R)，则x－y＝________.

【答案】2

【解析】由题意得＝＋＝＋，＝＋＝＋，

因为＝x＋y，所以＝＋，

所以解得所以x－y＝2.

【跟踪精练】

1. （2022·三亚华侨学校高三月考）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】连结，则为的中位线，

，

故选：A

2.（2022·山东省青岛市高三上期末）在中,,,若,则(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

如图所示：

∵，∴点为边的中点，

∵，∴，∴，又，

∴．又，

∴，即．故选：D．

【题型三　平面向量基本定理的应用】

方法技巧  平面向量基本定理的应用

 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．

(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．

例5（2022·全国高三专题练习）如图所示，矩形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于（    ）．

A． B． C．1 D．

【答案】A

【解析】由平面向量基本定理，

化简

，

所以，即，

故选：A．

例6 （2022·安徽省涡阳第一中学高一月考）下列各组向量中，可以作为基底的是(   )

A．，  B．，

C．，  D．，

【答案】B

【解析】选项A: 是零向量，而零向量与任意一个向量共线，故不能作为基底；选项B: ，所以不共线，故可以作为基底；

选项C：因为， ，所以，故不能作为基底；

选项D: 因为， ，所以，故不能作为基底，故本题选B.

【题型精练】

1. （2022·天水市第一中学高三月考）如图所示，在中，，，若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，

所以，

故选：B

2. (多选) （2022·济南市第一中学高三月考）设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点，则可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的向量组是(　　)

A.与  B．与

C.与  D.与

【答案】AC

【解析】平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，如图：

对于A，与不共线，可作为基底；对于B，与为共线向量，不可作为基底；对于C，与是两个不共线的向量，可作为基底；对于D，与在同一直线上，是共线向量，不可作为基底．

【题型四  平面向量的坐标运算】

例7（2022·全国高三练习）设平面向量，，则　　

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】平面向量，，

，，，．故选：．

例8（2022·江苏高三期末）已知向量，，若，，，则的值为　　．

【答案】

【解析】向量，，若

可得，解得，，．故答案为：．

例9  （2022·江苏·高三专题练习）在正方形ABCD中，M是BC的中点．若，则的值为（       ）

A． B． C． D．2

【答案】B

【解析】在正方形ABCD中，以点A为原点，直线AB，AD分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，

令，则，，

，因，

于是得，解得，

所以的值为.

故选：B

【题型精练】

1.( 2022·北京高三期中) 已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，则顶点D的坐标为(　　)

A.   B.

C．(3,2)   D．(1,3)

【答案】A

【解析】设D(x，y)，

则＝(x，y－2)，＝(4,3)，

又＝2，

所以解得

所以顶点D的坐标为.

2.( 2022·广东高三月考) 如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为(　　)

A.  B.  C．2  D.

【答案】B

【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，

则D(0,0)．

不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，

∴C(2,0)，A(0,2)，B(1,2)，E(0,1)，

∴＝(－2,2)，＝(－2,1)，＝(1,2)，

∵＝λ＋μ，

∴(－2,2)＝λ(－2,1)＋μ(1,2)，

∴解得

故λ＋μ＝.

【题型五  平面向量共线问题】

方法技巧   利用共线向量定理解题的策略

(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用．

(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线⇔，共线．

(3)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.

例10 （2022·上饶一模）已知是不共线的向量，，，，若、、三点共线，则、满足　　

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】解：由，，，

所以，若、、三点共线，则，

即，化简得．故选：．

例11（2022·济南高三一模）在中，，D是上的点，若，则实数x的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】∵，∴，

∵，

∴，

∵B，D，E三点共线，∴，∴．

故选：D．

例12（2022·山东省潍坊市高三期中）平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．

(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；

(2)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d的坐标．

【解析】(1)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，

2b－a＝(－5,2)，

由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，

解得k＝－.

(2)设d＝(x，y)，

则d－c＝(x－4，y－1)，

又a＋b＝(2,4)，|d－c|＝，

∴

解得或

∴d的坐标为(3，－1)或(5,3)．

【题型精练】

1.( 2022·湖北高三月考)已知，是不共线的两个向量，若，，，则(    )

A．，，三点共线 B．，，三点共线

C．，，三点共线 D．，，三点共线

【答案】D

【解析】由，，

故，所以，，三点共线.故选：D.

2. （2022·山西临汾·高三期末）在中，，是线段上除去端点外的一动点，设，则的最小值为____________.

【答案】4

【解析】因为可得： ，

所以，

又因为C，E ，D三点共线，则

所以4

当且仅当，即时取等号，

此时的最小值为4.

故答案为：4.

3. （2022·全国·模拟预测）已知平面向量，，若，则实数的值为______．

【答案】

【解析】因为，，所以，

又，所以，解得．

故答案为：