湘教版（2019）必修 第一册2.1 相等关系与不等关系学案设计

2.1.3　基本不等式的应用

某养殖场要用100米的篱笆围成一个矩形的鸡舍，怎样设计才能使鸡舍面积最大？

[问题]上述问题的实质是什么？如何求解？

知识点　基本不等式与最值

已知x，y都为正数，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值2；

(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值.

利用基本不等式求最值要牢记：“一正”“二定”“三相等”

(1)“一正”，即所求最值的各项必须都是正值，否则就容易得出错误的结果；

(2)“二定”，即含变量的各项的和或积必须是定值(常数)．如果要求a＋b的最小值，那么ab必须是定值；要求ab的最大值，a＋b必须是定值；

(3)“三相等”，即必须具备不等式中等号成立的条件，才能求得最大值或最小值．　　　　

x＋的最小值是2吗？

提示：当x>0时，x＋的最小值是2.

当x<0时，x＋没有最小值．

1．已知0<x<1，则x(3－3x)取最大值时x的值为(　　)

A.　　　　　　　 B．

C.  D．

解析：选A　∵0<x<1，∴1－x>0，

∴x(3－3x)＝3[x(1－x)]≤3＝，当且仅当x＝1－x，即x＝时取等号．

故当x＝时，x(3－3x)取得最大值．

2．(2021·德州一中月考)设x>0，则y＝3－3x－的最大值为________．

解析：∵x>0，∴3x＋≥2，

∴－≤－2，

∴y＝3－3x－≤3－2，

当且仅当3x＝，即x＝时等号成立．

故y有最大值为3－2.

答案：3－2

[例1]　(1)已知x＜，求y＝4x－2＋的最大值；

(2)已知0＜x＜，求y＝x(1－2x)的最大值；

(3)当x＞0时，求函数y＝的最大值．

[解]　(1)∵x＜，∴5－4x＞0，

∴y＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1，

当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立，

故当x＝1时，ymax＝1.

(2)∵0＜x＜，∴1－2x＞0，

∴y＝×2x(1－2x)≤×＝×＝，∴当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，ymax＝.

(3)∵x＞0，∴＝≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．故函数y＝的最大值为1.

构造基本不等式求最值的方法

利用基本不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值．常见的变形方法有拆、并、配．

(1)拆——裂项拆项：对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件；

(2)并——分组并项：目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先对一组应用基本不等式，再在组与组之间应用基本不等式得出最值；

(3)配——配式配系数：有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值．　　　　

[跟踪训练]

1．3x2＋的最小值是(　　)

A．3－3　　　　　　　 B．3

C．6  D．6－3

解析：选D　3x2＋＝3(x2＋1)＋－3≥2－3＝2－3＝6－3，当且仅当x2＝－1时等号成立，故选D.

2．已知a＞0，b＞0，则4a＋b＋的最小值是(　　)

A．2  B．2

C．4  D．5

解析：选C　∵a＞0，b＞0，∴4a＋b＋≥2＋＝4＋≥2＝4，

当且仅当即a＝，b＝1时，等号成立，此时4a＋b＋取得最小值4.

[例2]　已知x＞0，y＞0，且＋＝1，求x＋y的最小值．

[解]　∵x＞0，y＞0，＋＝1，

∴x＋y＝(x＋y)

＝＋＋10≥6＋10＝16，

当且仅当＝，即x＝4，y＝12时，上式取等号．

故当x＝4，y＝12时，x＋y的最小值为16.

[母题探究]

1．(变条件)本例条件变为“x＞0，y＞0，2x＋8y＝xy”，其余不变，求x＋y的最小值．

解：由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x.

∵x＞0，y＞0，∴x－8＞0，y＝，

∴x＋y＝x＋＝x＋

＝(x－8)＋＋10

≥2 ＋10＝18.

当且仅当x－8＝，即x＝12时，等号成立，

∴x＋y的最小值是18.

2．(变条件，变设问)本例条件变为“x＋y＝1，x＞0，y＞0”，试求＋的最小值．

解：由＋＝(x＋y)

＝10＋＋≥10＋2＝16，

当且仅当9x2＝y2即y＝3x，

得x＝，y＝时，取“＝”，

∴＋的最小值为16.

1．常值代换法求最值的方法步骤

常值代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为：

(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；

(2)把确定的定值(常数)变形为1；

(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；

(4)利用基本不等式求解最值．

2．若常值代换法不适用于条件最值时，则对条件变形，直接使用基本不等式，建立以目标函数为整体的不等式，解不等式可得最值．　　　　

[跟踪训练]

1．已知x＞0，y＞0且x＋y＝1，则p＝x＋＋y＋的最小值为(　　)

A．3  B．4

C．5  D．6

解析：选C　p＝x＋＋y＋＝3＋＋≥3＋2＝5，当且仅当x＝y＝时等号成立．

2．若a＞0，且a＋b＝0，则a－＋1的最小值为________．

解析：由a＋b＝0，且a＞0，得b＝－a，－＝＞0，

所以a－＋1＝a＋＋1≥3，当且仅当a＝1，b＝－1时取等号．

答案：3

[例3]　(链接教科书第40页例9、例10)某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池(平面图如图所示)．如果池四周围墙建造单价为400 元/m，中间两道隔墙建造单价为248 元/m，池底建造单价为80 元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计．试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．

 [解]　设隔墙的长度为x m，总造价的函数为y元，则隔墙造价为2x×248＝496x元，

池底造价为200×80＝16 000元，

四周围墙造价为×400＝800×元．

因此，总造价为

y＝496x＋800＋16 000(0＜x＜50)

＝1 296x＋＋16 000

≥2 ＋16 000＝28 800＋16 000

＝44 800.

当且仅当1 296x＝，即x＝时，等号成立．这时，污水池的长为18 m.

故当污水池的长为18 m，宽为 m时，总造价最低，最低为44 800元．

求实际问题中最值的解题4步骤

(1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出等量关系式；

(2)把实际问题抽象成符合基本不等式的最大值或最小值问题；

(3)利用基本不等式求最值；

(4)正确写出答案．　　　　

[跟踪训练]

用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，求这个矩形菜园的最大面积．

解：设矩形菜园的长和宽分别为x m，y m，x＞0，y＞0，面积为S m2，

由题意得2(x＋y)＝36，∴x＋y＝18.

∵x＞0，y＞0，∴S＝xy≤＝＝81，

当且仅当x＝y＝9时取“＝”，

∴当长和宽都为9 m时，菜园面积最大，最大面积为81 m2.

1．(多选)已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则对于＋(　　)

A．取得最值时a＝  B．最大值是5

C．取得最值时b＝  D．最小值是

解析：选AD　因为a＋b＝2，令y＝＋＝＋＝＋＋＋2≥＋2＝，当且仅当＝，且a＋b＝2，即a＝，b＝时，取“＝”．

2．已知实数x，y满足x＞0，y＞0，且＋＝1，则x＋2y的最小值为(　　)

A．2  B．4

C．6  D．8

解析：选D　∵x＞0，y＞0，且＋＝1，

∴x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋≥4＋2 ＝8，当且仅当＝，＋＝1，即x＝4，y＝2时等号成立．

3.(x＞1)的最小值为________．

解析：令y＝，则y＝＝x＋1＋＝(x－1)＋＋2≥2＋2＝2×3＋2＝8，当且仅当x－1＝，即x＝4时等号成立．

故(x＞1)的最小值为8.

答案：8

4．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N＋)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．

解析：每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，且x>0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．

答案：5　8