湘教版（2019）必修 第一册2.1 相等关系与不等关系课后练习题

课时跟踪检测(十一)　基本不等式的应用

[A级　基础巩固]

1．若0＜a＜b，且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是(　　)

A.　　　　　　　　　 B．a2＋b2

C．2ab  D．a

解析：选B　∵0＜a＜b，且a＋b＝1，∴a＜.

a2＋b2＝(a＋b)2－2ab>(a＋b)2－2·＝.

a2＋b2－2ab＝(a－b)2>0，∴a2＋b2最大．

2．某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则(　　)

A．x＝  B．x≤

C．x＞  D．x≥

解析：选B　由条件知A(1＋a)(1＋b)＝A(1＋x)2，

所以(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)≤，

所以1＋x≤1＋，故x≤.

3．某人要用铁管做一个形状为直角三角形且面积为1 m2的铁架框(铁管的粗细忽略不计)，在下面四种长度的铁管中，最合理(够用，又浪费最少)的是(　　)

A．4.6 m  B．4.8 m

C．5 m  D．5.2 m

解析：选C　设直角三角形两直角边长分别为x m，y m，则xy＝1，即xy＝2.

周长l＝x＋y＋≥2＋＝2＋2≈4.83(m)，

当且仅当x＝y时等号成立．结合实际问题，可知选C.

4．若－4＜x＜1，则(　　)

A．有最小值1　　　　　 B．有最大值1

C．有最小值－1  D．有最大值－1

解析：选D　＝.

又∵－4＜x＜1，∴x－1＜0.∴－(x－1)＞0.

∴原式＝－≤－1，当且仅当x－1＝，即x＝0时等号成立．

5．(多选)若x＞0，y＞0且x＋y＝4，则下列不等式中恒成立的是(　　)

A.＞  B．＋≥1

C.≤2  D．≥1

解析：选BC　若x＞0，y＞0，由x＋y＝4，得＝，故A错误；＋＝(x＋y)＝≥×(2＋2)＝1，当且仅当x＝y＝2时，等号成立，故B正确；因为x＞0，y＞0，x＋y＝4，且x＋y≥2，所以≤2，故C正确；因为≤2，所以xy≤4，所以≥，当且仅当x＝y＝2时，等号成立，所以D错误．

6．设x＞0，y＞0，x＋2y＝5，则的最小值为________．

解析：＝＝＝2≥2×2＝4，当且仅当xy＝3，x＋2y＝5，即x＝3，y＝1或x＝2，y＝时等号成立．故所求的最小值为4.

答案：4

7．已知x＞0，y＞0，且满足＋＝1，则xy的最大值为________，取得最大值时y的值为________．

解析：因为x＞0，y＞0，且1＝＋≥2，所以xy≤3.当且仅当＝＝，即x＝，y＝2时取等号．

答案：3　2

8．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C(单位：mg·L－1)随时间t(单位：h)的变化关系为C＝，则经过________h后池水中该药品的浓度达到最大．

解析：C＝＝.因为t＞0，所以t＋≥2 ＝4.

所以C＝≤＝5，当且仅当t＝，即t＝2时，C取得最大值．

答案：2

9．已知x，y，z为正数且满足x－2y＋3z＝0，求的最小值．

解：由x－2y＋3z＝0，得y＝.因为x，y，z为正数，所以＝＝·≥·＝3，当且仅当x＝3z时，等号成立．所以的最小值为3.

10.志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽ABCD，已知点E在边CD上，AE＝CE，AB＞AD，矩形的周长为8 cm.

(1)设AB＝x cm，试用x表示出图中DE的长度，并求出x的取值范围；

(2)计划在△ADE区域涂上蓝色代表星空，如果要使△ADE的面积最大，那么应怎样设计队徽的长和宽．

解：(1)由题意可得AD＝(4－x)cm，且x＞4－x＞0，可得2＜x＜4.

则CE＝AE＝x－DE，在Rt△ADE中，AE2＝AD2＋DE2，

即(x－DE)2＝(4－x)2＋DE2，化简得DE＝4－(2＜x＜4)．

(2)S△ADE＝AD·DE＝(4－x)＝2≤2＝12－8，当且仅当x＝2时取等号，此时4－x＝4－2，即队徽的长和宽分别为2 cm，(4－2)cm时，△ADE的面积取得最大值．

[B级　综合运用]

11．(多选)一个矩形的周长为l，面积为S，则如下四组数对中，可作为数对(S，l)的是(　　)

A．(1，4)  B．(6，8)

C．(7，12)  D．

解析：选AC　设矩形的边长分别为x，y，则x＋y＝l，S＝xy.对于A，(1，4)，则x＋y＝2，xy＝1，根据基本不等式得xy≤，符合题意；对于B，(6，8)，则x＋y＝4，xy＝6，根据基本不等式得xy≤，不符合题意；对于C，(7，12)，则x＋y＝6，xy＝7，根据基本不等式得xy≤，符合题意；对于D，，则x＋y＝，xy＝3，根据基本不等式得xy≤，不符合题意．故选A、C.

12．(2021·无锡市高一月考)已知a，b，c满足当a>b>c时，不等式＋＋>0恒成立，则λ的取值范围是(　　)

A．λ≤0  B．λ<1

C．λ<4  D．λ>4

解析：选C　由题意知，原不等式可变形为λ<(a－c)·＝[(a－b)＋(b－c)]·＝1＋＋＋1，

而1＋＋＋1≥4(当且仅当(a－b)2＝(b－c)2时等号成立)，则λ<4.故选C.

13．(2021·泰州高一月考)“勾股容方”问题出自我国汉代数学名著《九章算术》，该问题可以被描述为：“设一直角三角形(如图①)的两直角边长分别为a和b，求与该直角三角形具有公共直角的内接正方形的边长”，公元263年，数学家刘徽为《九章算术》作注，在注中他利用出入相补原理给出了上述问题如图②和图③所示的解答，则图①中与直角三角形具有公共直角的内接正方形的边长为________，当内接正方形的面积为1时，则图③中两个标有“朱”的三角形和两个标有“青”的三角形的面积总和的最小值为________．

解析：设内接正方形的边长为x，则图②的面积为ab，图③的面积为(a＋b) x，

因为图②和图③的面积相等，则有ab＝(a＋b)x，解得x＝，故内接正方形的边长为.

因为内接正方形的面积为1，所以内接正方形的边长x＝1，则有a＋b＝ab，

利用基本不等式可得，a＋b＝ab≥2，故ab≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号，

所以两个标有“朱”的三角形和两个标有“青”的三角形的面积总和为ab－2≥2，

故图③中两个标有“朱”的三角形和两个标有“青”的三角形的面积总和的最小值为2.

答案：　2

14．已知a，b为正实数，且＋＝2.

(1)求a2＋b2的最小值；

(2)若(a－b)2＝4(ab)3，求ab的值．

解：(1)因为a，b为正实数，且＋＝2，所以＋＝2≥2，即ab≥(当且仅当a＝b时等号成立)．

因为a2＋b2≥2ab≥2×＝1(当且仅当a＝b时等号成立)，

所以a2＋b2的最小值为1.

(2)因为＋＝2，所以a＋b＝2ab.因为(a－b)2＝4(ab)3，所以(a＋b)2－4ab＝4(ab)3，即(2ab)2－4ab＝4(ab)3，即(ab)2－2ab＋1＝0，(ab－1)2＝0.因为a，b为正实数，所以ab＝1.

 [C级　拓展探究]

15．2020年1月， 在抗击新型冠状病毒感染的肺炎疫情中，武汉市为了落实“四类人员”分类集中管理措施，迅速启动“方舱医院”建设．某单位决定用募捐的18.8万元把一会展中心(长方体状，高度恒定)改造成方舱医院，假设方舱医院的后墙利用原墙不花钱，正面用一种复合板隔离，每米造价40元，两侧用砖砌墙，每米造价45元，顶部每平方米造价20元．问：

(1)改造后方舱医院的面积S的最大值是多少？

(2)为使S达到最大，且实际造价又不超过预算，那么正面复合板应设计为多长？

解：(1)设正面复合板长为x m，侧面长为y m，总造价为z元，则方舱医院的面积S＝xy，总造价z＝40x＋2×45y＋20xy＝40x＋90y＋20xy.

由条件知z≤188 000，即4x＋9y＋2xy≤18 800.

∵x＞0，y＞0，∴y≤.

令t＝9＋2x，则x＝(t＞9)，

∴S＝xy≤·＝

＝－＋9 418≤－2＋9 418＝－2×3×97＋9 418＝8 836，

当且仅当t＝，即t＝291时等号成立．

故S的最大值为8 836 m2.

(2)由(1)知，当S＝8 836 m2时，t＝291，t＝9＋2x，

∴x＝141，则y＝＝.

∴方舱医院的面积S达到最大值8 836 m2，实际造价又不超过预算时，正面复合板的长应设计为141 m.