高中湘教版（2019）第2章 一元二次函数、方程和不等式2.1 相等关系与不等关系说课ppt课件

2.1.2　基本不等式

填写下表：

(1)观察与的大小关系，从中你发现了什么结论？

(2)你能给出它的证明吗？

知识点　基本不等式

(1)定理：对任意a，b∈R，必有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立．

(2)推论：对任意a，b≥0，必有≥，当且仅当a＝b时等号成立．

一般地，对于正数a，b，我们把称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数．

常见变形：①ab≤，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．

②a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立．

不等式a2＋b2≥2ab与不等式≤成立的条件一样吗？

[提示]　不同，前者为a＝b，后者为a＝b>0.

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立． (　　)

(2)若a≠0，则a＋≥2＝2.  (　　)

(3)若a>0，b>0，则ab≤.  (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√

2.不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是(　　)

A．a＝±1　　　　 B．a＝1

C．a＝－1 D．a＝0

B　[当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0，即a＝1时，“＝”成立．]

类型1　对基本不等式的理解

【例1】　(多选题)下面四个推导过程正确的有(　　)

A．若a，b为正实数，则＋≥2＝2

B．若a∈R，a≠0，则＋a≥2＝4

C．若x，y∈R，xy<0，则＋＝－≤－2＝－2

D．若a<0，b<0，则≤ab

AC　[∵a，b为正实数，∴，为正实数，符合基本不等式的条件，故A的推导正确；

∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，

∴＋a≥2＝4是错误的，故B错误；

由xy＜0，得，均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，，均变为正数，符合基本不等式的条件，故C正确；D错误，因为a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立．]

对基本不等式的准确掌握要抓住2个方面

(1)不等式成立的条件是a，b都是正数．

(2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b.

1．下列不等式的推导过程正确的是________．(填序号)

①若x＞1，则x＋≥2＝2.

②若x＜0，则x＋＝－≤－2＝－4.

③若a，b∈R，则＋≥2＝2.

②　[ ①中忽视了基本不等式等号成立的条件，当x＝时，即x＝1，x＋≥2等号成立，因为x＞1，所以x＋＞2，③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件．]

类型2　利用基本不等式比较大小

【例2】　(1)如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小顺序是(　　)

A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q

C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P

(2)已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________．

(1)B　(2)p>q　[(1)法一：显然＞，又因为＜(由a＋b＞也就是＜1可得)，所以＞＞.故M＞P＞Q.

法二：取a＝，b＝，易知M>P>Q，故选B．

(2)∵a，b，c互不相等，

∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2bc，a2＋c2>2ac.

∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．

即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac.即p>q.]

1．在理解基本不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．

2．运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b.

2．若0<a<1,0<b<1，且a≠b，则a＋b,2，2ab，a2＋b2中最大的是(　　)

A．a2＋b2 B．2 

C．2ab D．a＋b

D　[法一：∵0<a<1,0<b<1，且a≠b，

∴a2＋b2>2ab，a＋b>2，a>a2，b>b2，

∴a＋b>a2＋b2，故选D．

法二：(特殊值法)取a＝，b＝，则a2＋b2＝，2＝，2ab＝，a＋b＝，显然最大，故选D．]

类型3　利用基本不等式证明不等式

【例3】　已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋>9.

由a＋b＋c＝1为切入点，思考是否需要把“”中的“1”替换成a＋b＋c，然后选择基本不等式证明>9.

[证明]　∵a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，

∴＋＋＝＋＋

＝3＋＋＋＋＋＋

＝3＋＋＋

≥3＋2＋2＋2

＝3＋2＋2＋2

＝9.

当且仅当a＝b＝c时取等号，

∴＋＋>9.

1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．

2．先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．

3．已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.

[证明]　由基本不等式可得

a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2，

同理，b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2a2c2，

∴(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2，

从而a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.

1．不等式(x－2y)＋≥2成立的前提条件为(　　)

A．x≥2y B．x>2y

C．x≤2y D．x<2y

B　[由题意可知x－2y>0，∴x>2y.]

2．(多选题)已知a，b∈R，且ab≠0，则下列四个不等式中，恒成立的为(　　)

A．≥ab B．＋≥2

C．ab≤ D．≤

ACD　[由a，b∈R，得≥ab，A正确；由a，b∈R，得与不一定是正数，故B不一定成立；ab－＝－≤0，故C正确；－＝－≤0，故D正确，故选ACD．]

3．下列不等式正确的是(　　)

A．a＋≥2 B．(－a)＋≤－2

C．a2＋≥2 D．(－a)2＋≤－2

C　[A不成立，如a＝－1；B不成立，如a＝－1；D选项显然错误；故选C．]

4．比较大小：________2.(填“>”“<”“≥”或“≤”)

≥　[由于＝＝＋>2.故填≥.]

5．当a，b∈R时，下列不等关系成立的是______．(填序号)

①≥；②a－b≥2；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab.

③　[根据≥ab，≥成立的条件判断，知①②④错，只有③正确．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．如何由不等式a2＋b2≥2ab导出≤？

[提示]　对于a2＋b2≥2ab，若用a代替a2，b代替b2，便可得到：a＋b≥2，即≤.

2．基本不等式≤的常见变形有哪些？

[提示]　①a＋b≥2；②ab≤.