高中数学湘教版（2019）必修 第一册2.1 相等关系与不等关系学案设计

这是一份高中数学湘教版（2019）必修 第一册2.1 相等关系与不等关系学案设计，共10页。

教材要点
要点 不等式的性质
性质1(对称性) a＞b⇔________．
性质2(传递性) a＞b，b＞c⇒________．
性质3(加法法则) a＞b⇔________
推论1 如果a＋b＞c，那么a＞c－b
推论2 如果a＞b，c＞d，那么________．
性质4(乘法法则) a＞bc＞0⇒________；a＞bc＜0⇒________．
推论3 a＞b＞0c＞d＞0⇒________．
推论4(乘方法则) a＞b＞0⇒________(n∈N＋)
性质5(开方法则) a＞b＞0⇒________(n∈N＋)
性质6 a>bab>0⇒________；a>bab<0⇒________．
状元随笔 (1)注意不等式的单向性和双向性．性质1和3是双向的，其余的在一般情况下是不可逆的．
(2)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．要克服“想当然”“显然成立”的思维定势．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)a，b，c为实数，在等式中，若a＝b，则ac＝bc；在不等式中，若a＞b，则ac＞bc.( )
(2)a＞b⇔ac2＞bc2.( )
(3)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．( )
(4)设a，b∈R，且a＞b，则a3＞b3.( )
2．已知x＜a＜0，则一定成立的不等式是( )
A．x2＜a2＜0 B．x2＞ax＞a2
C．x2＜ax＜0 D．x2＞a2＞ax
3．(多选)若a＞b＞0，d＜c＜0，则下列不等式成立的是( )
A．ac＞bc B．a－d＞b－c
C．1d＜1c D．a3＞b3
4．用不等号填空．
(1)如果a＞b ＞0，那么1a2________1b2；
(2)如果a＞b＞c＞0，那么ca________cb.
题型1 利用不等式的性质判断命题的真假
例1 (1)已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是( )
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若ac＞bc，则a＞b
C．若a3＞b3且ab＜0，则1a＞1b
D．若a2＞b2且ab＞0，则1a＜1b
(2)(多选)设a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式成立的是( )
A．ac2＞bc2 B．1a2＜1b2
C．a－c＞b－c D．ac2+1＞bc2+1
方法归纳
(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质．
(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
跟踪训练1 (1)已知实数0＜a＜1，则下列正确的是( )
A．1a＞a＞a2 B．a＞a2＞1a
C．a2＞1a＞a D．1a＞a2＞a
(2)(多选)已知实数a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，则下列不等式一定成立的是( )
A．ab＞ac B．cb-a＞0
C．aca-c＜0 D．cb2＜ab2
题型2 证明不等式
例2 若bc－ad≥0，bd＞0，求证：a+bb≤c+dd.
方法归纳
1．不等式证明的实质是比较两个实数(代数式)的大小．
2．证明不等式可以利用不等式性质证明，也可以用作差比较法证明，利用不等式性质证明时，不可省略条件或跳步推导．
跟踪训练2 (1)已知a＞b，e＞f，c＞0，求证：f－ac＜e－bc.
(2)若a＜b＜0，求证：ba＜ab.
题型3 利用不等式的性质求范围
例3 已知－2＜a≤3，1≤b＜2，试求下列代数式的取值范围：
(1)|a|；(2)a＋b；(3)a－b；(4)2a－3b.
方法归纳
利用不等式性质求范围的一般思路
(1)借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；
(2)借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；
(3)结合不等式的传递性进行求解．
跟踪训练3 已知实数x，y满足：1＜x＜2＜y＜3，
(1)求xy的取值范围；
(2)求x－2y的取值范围．
易错辨析 多次使用同向不等式相加致误
例4 已知－1＜a＋b＜5，－4＜a－b＜2，求2a－4b的取值范围．
解析：2a－4b＝3(a－b)－(a＋b)，
因为－1＜a＋b＜5，－4＜a－b＜2，所以－5＜－(a＋b)＜1，
－12＜3(a－b)＜6，
所以－17＜2a－4b＜7.
易错警示
课堂十分钟
1．与a＞b等价的不等式是( )
A．|a|＞|b| B．a2＞b2
C．ab＞1 D．a3＞b3
2．下列结论正确的是( )
A．若a＞b，c＞b，则a＞c B．若a＞b，则a2＞b2
C．若a＞b，c＞d，则ac＞bd D．若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d
3．(多选)如果a＞b＞0，那么下列不等式成立的是( )
A．a＞b B．1a2＜1b2
C．ac2＞bc2 D．a－c＞b－c
4．设x＞1，－1＜y＜0，试将x，y，－y按从小到大的顺序排列如下：________．
5．已知－1≤a＋b≤1，1≤a－2b≤3.求a＋3b的取值范围．
第2课时 等式与不等式(2)
新知初探·课前预习
要点
bc a＋c>b＋c a＋c>b＋d ac>bc acbd an>bn na>nb 1a<1b 1a>1b
[基础自测]
1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2．解析：因为xa2；不等号两边同时乘x，则x2>ax，故x2>ax>a2.故选B.
答案：B
3．解析：因为a>b>0，c<0，所以acb>0，－d>－c>0，所以a－d>b－c，B正确；因为d1c，C错误；因为a>b>0，所以a3>b3，D正确．故选BD.
答案：BD
4．解析：(1)∵a＞b＞0，
∴a2＞b2＞0，
∴1a2＜1b2.
(2)∵a＞b＞0，
∴0＜1a＜1b，
又c＞0，
∴ca＜cb.
答案：(1)＜ (2)＜
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)A中，若a>b，则ac2>bc2(错)，若c＝0，则A不成立；B中，若ac>bc，则a>b(错)，若c<0，则B不成立；C中，若a3>b3，且ab<0，则1a>1b(对)，若a3>b3且ab<0，则a>0，b<0；D中，若a2>b2，且ab>0，则1a<1b(错)，若a<0，b<0，则D不成立．故选C.
(2)对A，当c＝0时，ac2>bc2不成立，A错误；对B，当a＝－1，b＝－2时，1a2<1b2不成立，B错误；对C，因为a>b，两边同时减去c有a－c>b－c成立，故C正确；对D，由于1c2+1>0，又a>b，故ac2+1>bc2+1，故D正确．
答案：(1)C (2)CD
跟踪训练1 解析：(1)∵0(2)因为实数a，b，c满足c所以a>0，c<0，
由b>c，a>0，得ab>ac，故A正确；
由b0，故B正确；
由a>c，ac<0，得aca-c<0，故C正确；
由a>c，b2≥0，得cb2≤ab2，当b＝0时，等号成立，故D错误；
故选ABC.
答案：(1)A (2)ABC
例2 证明：(法一)∵bc－ad≥0，∴bc≥ad，
∴bc＋bd≥ad＋bd，
即b(c＋d)≥d(a＋b)．
又bd＞0，两边同除以bd，得a+bb≤c+dd.
(法二)∵a+bb-c+dd＝ad+bd-bc-bdbd＝ad-bcbd≤0，
∴a+bb≤c+dd.
跟踪训练2 证明：(1)因为a＞b，c＞0，所以ac＞bc，即－ac＜－bc.
又e＞f，即f＜e，所以f－ac＜e－bc.
(2)由于ba-ab＝b2-a2ab＝b+ab-aab，
∵a＜b＜0，∴b＋a＜0，b－a＞0，ab＞0，
∴b+ab-aab＜0，故ba＜ab.
例3 解析：(1)0≤|a|≤3；
(2)－1(3)依题意得－2(4)由－2由1≤b<2得－6<－3b≤－3②
由①②得，－10<2a－3b≤3.
跟踪训练3 解析：(1)∵1(2)由(1)知1[课堂十分钟]
1．解析：可利用赋值法．令a＝1，b＝－2，
满足a>b，但|a|<|b|，a2所以A，B，C都不正确．故选D.
答案：D
2．解析：若a＝1，b＝0，c＝2，则a>b，c>b成立，而此时a－2，12<(－2)2，B错误；4>1，－1>－2，4×(－1)<1×(－2)，C错误；由不等式同向可加性知D正确．故选D.
答案：D
3．解析：由不等式的性质，AD显然正确，又a>b>0⇒a2>b2>0⇒1a2<1b2，B正确，当c＝0时，ac2＝0＝bc2，C错误．故选ABD.
答案：ABD
4．解析：∵－1又x>1，∴y<－y答案：y<－y5．解析：设a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b，则λ1+λ2=1，λ1-2λ2=3，解得λ1＝53，λ2＝－23.
又－53≤53(a＋b)≤53，
－2≤－23(a－2b)≤－23，
所以－113≤a＋3b≤1.
易错原因
纠错心得
错解：－1＜a＋b＜5①
－4＜a－b＜2②
－2＜b－a＜4③
①＋②再除以2得－52＜a＜72
①＋③再除以2得－32＜b＜92
所以－23＜2a－4b＜13
错误在于“－1＜a＋b＜5，－4＜a－b＜2”与“－52＜a＜72，－32＜b＜92”并不等价．
同向(异向)不等式的两边可以相加(减)，但这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围，所以我们选用不等式的性质求代数式的取值范围时务必小心谨慎，必要时改换求解的思路和方法．