2.1.2　基本不等式

课标要求　1.掌握基本不等式≤(a>0，b>0).2.能灵活应用基本不等式解决一些证明、比较大小问题.

素养要求　通过学习掌握基本不等式及其简单应用，重点发展数学运算、逻辑推理素养.

自 主 梳 理

1.定理

对任意a，b∈R，必有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立.特别地，当a≥0，b≥0时，用，分别代替定理中的a，b可得.

2.推论

对任意a，b≥0，必有≥，当且仅当a＝b时等号成立.

3.一般地，对于正数a，b，我们把称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数.

上述定理和推论中的不等式通常称为基本不等式.

温馨提醒　基本不等式≥的条件是a，b都是正数，取等号的条件是a＝b，当a<0，b<0时，则有≤－.

自 主 检 验

1.思考辨析，判断正误

(1)≥对任意实数a，b都成立.(×)

提示　只有当a≥0且b≥0时，≥才能成立.

(2)若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2.(√)

(3)若a>0，b>0，则ab≤.(√)

2.下列不等式成立的是(　　)

A.ab≤   B.ab≥

C.a＋b≥2   D.a＋b≤2

答案　A

解析　a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab，ab≤，故选A.

3.若0<a<b且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是(　　)

A.   B.a2＋b2 

C.2ab   D.a

答案　B

解析　a2＋b2＝(a＋b)2－2ab>(a＋b)2－2·＝.

a2＋b2－2ab＝(a－b)2>0，∴a2＋b2>2ab.

∵0<a<b且a＋b＝1，∴a<.

∴a2＋b2最大.

4.若x>0，则x＋________2(填“＝”，“≥”，“≤”，“>”，“<”).

答案　≥

解析　x>0时，x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝1时取等号.

题型一　与基本不等式有关的比较大小问题

例1 (多选)若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中成立的是(　　)

A.4a2＋b2≥4ab   B.a＋b≥2

C.＋>   D.＋≥2

答案　AD

解析　对∀a，b∈R，4a2＋b2≥4ab，故A正确；

当a<0，b<0时，选项B，C错误.

因为ab>0，所以>0，>0，

所以＋≥2＝2，当且仅当＝，即a＝b时，等号成立，故选AD.

思维升华　基本不等式及变形形式使用的条件：①a2＋b2≥2ab，其中a，b∈R；②≥，其中a≥0，b≥0；③ab≤，其中a，b∈R.

训练1 不等式(x－2y)＋≥2成立的前提条件为________.

答案　x>2y

解析　因为不等式成立的前提条件是各项均为非负数，

又x－2y≠0，所以x－2y>0，即x>2y.

题型二　用基本不等式证明不等式

例2 已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，证明：＋＋≥9.

证明　＋＋＝＋＋＝3＋＋＋

≥3＋2＋2＋2＝9.

当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立.

思维升华　在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.

训练2 已知a，b，c是全不相等的正实数，求证：＋＋>3.

证明　因为a，b，c是全不相等的正实数，

所以与，与，与全不相等，

所以＋>2，＋>2，＋>2，

三式相加得，＋＋＋＋＋>6，

所以＋＋>3，

即＋＋>3.

题型三　利用基本不等式直接求最值

例3 (1)当x>0时，求＋4x的最小值；

(2)当x<0时，求＋4x的最大值；

(3)已知4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，求a的值.

解　(1)∵x>0，∴>0，4x>0.

∴＋4x≥2＝8.

当且仅当＝4x，

即x＝时取最小值8，

∴当x>0时，＋4x的最小值为8.

(2)∵x<0，∴－x>0.

则＋(－4x)≥2＝8，

当且仅当＝－4x时，

即x＝－时取等号.

∴＋4x≤－8.

∴当x<0时，＋4x的最大值为－8.

(3)4x＋≥2＝4，

当且仅当4x＝，即a＝4x2＝36时取等号，

∴a＝36.

思维升华　在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是检验等号成立的条件是否具备.

训练3 已知x>0，y>0，xy＝9，则x＋3y的最小值为(　　)

A.8   B.6 

C.8  D.6

答案　D

解析　利用基本不等式，x＋3y≥2＝2＝6，当且仅当x＝3y＝3时，等号成立，故选D.

[课堂小结]

1.两个不等式a2＋b2≥2ab与≥都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’”这句话的含义要有正确的理解.一方面：当a＝b时，＝；另一方面：当＝时，也有a＝b.

2.常见误区：使用基本不等式时要注意基本不等式的前提条件及等号取得的条件.

一、基础达标

1.不等式a2＋≥4中，等号成立的条件是(　　)

A.a＝4   B.a＝

C.a＝－   D.a＝±

答案　D

解析　此不等式等号成立的条件为a2＝，即a＝±，故选D.

2.设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是(　　)

A.s≥t   B.s>t 

C.s≤t  D.s<t

答案　A

解析　∵b2＋1≥2b，∴a＋2b≤a＋b2＋1.

3.已知x<0，则x＋－2有(　　)

A.最大值为0   B.最小值为0

C.最大值为－4   D.最小值为－4

答案　C

解析　∵x<0，∴－x>0，

∴x＋－2＝－－2≤－2－2＝－4.当且仅当－x＝－时，即x＝－1时“＝”成立.

4.已知0<a<1，0<b<1，且a≠b，下列各式中最大的是(　　)

A.a2＋b2   B.2

C.2ab   D.a＋b

答案　D

解析　因为0<a<1，0<b<1，

所以a2<a，b2<b，

所以a2＋b2<a＋b，

又a2＋b2>2ab(因为a≠b)，

所以2ab<a2＋b2<a＋b.

又因为a＋b>2(因为a≠b)，

所以a＋b最大，故选D.

5.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则(　　)

A.a<v<   B.v＝

C.<v<   D.v＝

答案　A

解析　设甲、乙两地的距离为s，

则v＝＝.

由于a<b，∴＋<，∴v>a，

又＋>2，∴v<.

故a<v<，选A.

6.已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的大小关系是________.

答案　x<y

解析　x2＝，

y2＝a＋b＝.

∵a＋b>2(a≠b)，∴x2<y2，

∵x，y>0，∴x<y.

7.已知a>b>c，则与的大小关系是________.

答案　≤

解析　∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0.

∴＝≥，

当且仅当a－b＝b－c，

即2b＝a＋c时取等号.

8.已知a，b>0，且(a＋b)(a＋2b)＋a＋b＝9，则3a＋4b的最小值等于________.

答案　6－1

解析　∵a，b>0，(a＋b)(a＋2b)＋a＋b＝9，

∴(a＋b)(a＋2b＋1)＝9，

∴(2a＋2b)(a＋2b＋1)＝18.

3a＋4b＝3a＋4b＋1－1＝(2a＋2b)＋(a＋2b＋1)－1≥2－1＝6－1，

当且仅当2a＋2b＝a＋2b＋1时，上式取得等号.

9.设a>0，b>0，且a＋b＝＋，证明：a＋b≥2.

证明　由a>0，b>0，则a＋b＝＋＝，由于a＋b>0，则ab＝1，即有a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b时取得等号，

∴a＋b≥2.

10.已知a>0，b>0，求证：＋≥a＋b.

证明　∵a，b>0，∴＋b≥2＝2a，＋a≥2＝2b，

∴＋b＋＋a≥2a＋2b，

∴＋≥a＋b，当且仅当a＝b时等号成立.

二、能力提升

11.设x，y，z∈R，且x＋y＋z＝2，则x2＋y2＋z2的最小值为(　　)

A.   B. 

C.   D.1

答案　A

解析　由题意，得(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2(xy＋yz＋zx)≤x2＋y2＋z2＋(x2＋y2)＋(y2＋z2)＋(x2＋z2)＝3(x2＋y2＋z2)，

即x2＋y2＋z2≥＝，

所以x2＋y2＋z2的最小值为，故选A.

12.已知x，y为正实数，则＋的最小值为________.

答案　

解析　令x＋2y＝m(m>0)，

则y＝，

＋＝＋＝＋＋≥2＋＝.

当且仅当＝，即x＝2y时，上式取等号.

13.已知a，b都是正数，求证：≤≤≤.

证明　∵＋≥2，

∴≤，即≤.

又∵＝≤＝，

∴≤.

又由基本不等式得≥，

故≤≤≤(当且仅当a＝b时取“＝”).

三、创新拓展

14.(多选)已知a，b∈(0，＋∞)，则下列不等式中成立的是(　　)

A.a＋b＋≥2 B.(a＋b)≥4

C.≥2 D.>

答案　ABC

解析　a＋b＋≥2＋≥2，

当且仅当a＝b＝时，等号成立，A成立；

(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，

当且仅当a＝b时，等号成立，B成立；

∵a2＋b2≥2ab>0，∴≥2，

当且仅当a＝b时，等号成立，C成立；

∵a＋b≥2，且a，b∈(0，＋∞)，

∴≤1，≤.

当且仅当a＝b时，等号成立，D不成立.