北师大版 (2019)必修 第一册3.2 基本不等式学案

第3课时　基本不等式的应用

课堂篇·重难要点突破

研习1　“常数代换法”求最值

[典例1]　若点A(1,1)在直线mx＋ny－1＝0(mn>0)上，则＋的最小值为________．

答案：4

  常数代换法求最值的方法步骤

常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为：

(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)．

(2)把确定的定值(常数)变形为1.

(3)把“1”的表达式与所证最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式．

(4)利用基本不等式求解最值．

[练习1](1)“常数代换法”适合什么样的问题求解？

(2)已知x，y均为正数，且＋＝1，求x＋y的最小值．

(1)解：有条件的求最值问题．

(2)解：x＋y＝(x＋y)＝10＋＋

≥10＋2＝16，

当且仅当＝，且＋＝1，即x＝4，y＝12时，等号成立，所以x＋y的最小值为16.

研习2　利用基本不等式证明不等式

[典例2]　(1)已知a>0，b>0，c>0，求证：＋＋≥a＋b＋c.

(2)已知a，b，c均大于0，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋≥9.

(1)证明：因为a>0，b>0，c>0，

所以＋≥2c.

同理：＋≥2b，＋≥2a，

则2≥2(a＋b＋c)，

故＋＋≥a＋b＋c.

(2)证明：因为a，b，c均大于0，且a＋b＋c＝1，所以＋＋＝＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．

  利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项

(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．

(2)注意事项：

①多次使用基本不等式时，要注意等号能否同时成立；

②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；

③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．

[练习2](1)利用基本不等式证明不等式的关键是什么？

(2)已知a，b，c都是正数，求证：(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc.

(3)设a>0，b>0，a＋b＝1，求证：2＋2≥.

(1)解：观察所证不等式的特点，逐步转化到可利用基本不等式进行证明．

(2)略　(3)略

研习3  基本不等式的实际应用

[典例3]　运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升6元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．

(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；

(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．

解：(1)设所用时间为t，则t＝，

y＝××6＋14×，x∈[50,100]．

所以这次行车总费用y关于x的表达式是

y＝＋x，x∈[50,100]．

(2)y＝＋x≥，

当且仅当＝x，

即x＝2时，等号成立．

又2<50，所以当x＝50时，

这次行车的总费用最低，最低费用的值为

y＝＋×50＝(元)．

应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：

(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；

(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；

(3)在题目要求的范围内，求出函数的最大值或最小值；

(4)正确写出答案．

[练习3]为了积极响应国家推行的“厕所革命”，某农户准备建造一个深为2米，容积为32立方米的长方体沼气池，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，沼气池盖子的造价为3 000元，问怎样设计沼气池能使造价最低？最低总造价是多少元？

解：设沼气池的底面长为x米，沼气池的总造价为y元，因为沼气池的深为2米，容积为32立方米，所以底面积为16平方米，

因为底面长为x米，所以底面的宽为米，

依题意有y＝3 000＋150×16＋120×2＝5 400＋480，

因为x>0，由基本不等式和不等式的性质可得

5 400＋480≥5 400＋480×2，

即y≥5 400＋480×2，所以y≥9 240，

当且仅当x＝，即x＝4时，等号成立，

所以当沼气池的底面是边长为4米的正方形时，沼气池的总造价最低，最低总造价是9 240元．

课后篇·演练提升方案

1．已知2a＋b＝1，a>0，b>0，则＋的最小值是(　　)

A．2　　　　B．3－2

C．3＋2     D．3＋

答案：C

2．若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　)

A．≤    B．＋≤1

C．≥2      D．a2＋b2≥8

答案：D

3．已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为(　　)

A．9　　 　 　B．12　 　　 　C．18　 　 　　D．24

答案：B

4．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________．

答案：25 m2

5．已知x>0，y>0，且＋＝1，则x＋y的最小值为________．

答案：3＋2