数学人教A版 (2019)2.2 基本不等式导学案

第2课时　基本不等式的应用

课程标准

(1)熟练掌握基本不等式及变形的应用．(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．(3)能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．

新知初探·课前预习——突出基础性

教 材 要 点

要点　常用的几个重要不等式

(1)a＋b≥2(a＞0，b＞0)．❶

(2)ab≤()2(a，b∈R)．❷

(3)()2≤(a，b∈R)．❸

(4)≥2(且ab>0，a，b∈R)．

以上不等式等号成立的条件均为a＝b.

助 学 批 注

批注❶　在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．

批注❷　a＋b为定值

批注❸　a2＋b2为定值．

基 础 自 测

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)若a>0，b>0，且a＋b＝16，则ab≤64.(　　)

(2)若ab＝2，则a＋b的最小值为2.(　　)

(3)当x>1时，函数y＝x＋≥2，所以函数y的最小值是2.(　　)

(4)若x∈R，则x2＋2＋≥2.(　　)

2．设正实数x，y满足2x＋y＝1，则xy的最大值为(　　)

A．　　　B．    C．　　　D．

3．用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，则该菜园面积的最大值为(　　 )

A．81 m2    B．36 m2

C．18 m2    D．9 m2

4．已知正数a、b，＝1，则ab的最小值为________．

题型探究·课堂解透——强化创新性

题型1　利用基本不等式求最值——拼凑法

例1　(1)已知x<，求y＝4x－2＋的最大值；

(2)已知0<x<，求y＝x(1－2x)的最大值．

方法归纳

拼凑法求解最值的策略

先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值时，要注意“一正、二定、三相等”，尤其是要注意验证等号成立的条件．

巩固训练1　设实数x满足x＞0，函数y＝2＋3x＋的最小值为(　　)

A．4－1    B．4＋2

C．4＋1    D．6

题型2　利用基本不等式求最值——常值代换法“1”的代换

例2　(1)[2022·山西运城高一期末]若m＞0，n＞0，且m＋n＝2，则的最小值为(　　)

A．3＋2         B．

C．3              D．

(2)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值为________．

方法归纳

“1”的代换法求解最值的策略

通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商．

巩固训练2　若正实数x，y满足y(x－9)＝x，则x＋y的最小值为________．

题型 3利用基本不等式解决实际问题

例3　

如图所示，园林设计师计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的矩形区域，即如图小矩形ABCD，且其面积为24m2.(注：靠墙的部分不用彩带)

(1)要使围成四个矩形的彩带总长不超过52 m，求BC的取值范围；

(2)当围成四个矩形的彩带总长最小时，求AB和BC的值，并求彩带总长的最小值．

方法归纳

利用基本不等式解决实际问题的步骤

巩固训练3　某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？

第2课时　基本不等式的应用

[基础自测]

1．答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×

2．解析：由基本不等式可得2x＋y≥2，

即2≤1，

解得xy≤，

当且仅当2x＝y，即x＝，y＝时，取等号．

答案：C

3．解析：设矩形的长为x(0＜x＜18)m，由题意，宽为(18－x)m，所以该菜园的面积为S＝(18－x)x，则由基本不等式得S＝(18－x)x≤＝81，当且仅当x＝9时取等号，所以该菜园面积的最大值为81 m2.

答案：A

4．解析：因为＝1≥2 ，

所以ab≥8(当且仅当＝，即a＝2，b＝4时取等号)，

故ab的最小值为8.

答案：8

题型探究·课堂解透

例1　解析：(1)∵x<，∴5－4x>0，

∴y＝4x－2＋＝－(5－4x＋)＋3≤－2＋3＝1，

当且仅当5－4x＝，即x＝1时，上式等号成立，故当x＝1时，ymax＝1.

(2)∵0<x<，

∴1－2x>0，

∴y＝×2x(1－2x)≤×()2＝＝.

∴当且仅当2x＝1－2x(0＜x＜)，即x＝时，ymax＝.

巩固训练1　解析：由题意x＞0，所以x＋1＞0，

所以y＝2＋3x＋＝2＋3(x＋1)－3＋

＝3(x＋1)＋－1≥2 －1＝4－1，

当且仅当3(x＋1)＝，即x＝－1＞0时等号成立，

所以函数y＝2＋3x＋的最小值为4－1.

答案：A

例2　解析：(1)由题意可得：＝()()＝＋2＝＋2 ＝.

当且仅当，即时等号成立．

据此可得的最小值是.

(2)由x＋3y＝5xy可得＝1，

所以3x＋4y＝(3x＋4y)()＝＝5(当且仅当＝，即x＝1，y＝时，等号成立)，所以3x＋4y的最小值是5.

答案：(1)B　(2)5

巩固训练2　解析：由y(x－9)＝x，可得x＋9y＝xy，则＝1，

∴x＋y＝(x＋y)()＝10＋≥10＋2＝16，当且仅当＝，即x＝12，y＝4时等号成立．

答案：16

例3　解析：(1)设AB长为xm，BC长为ym，由题意得xy＝24⇒x＝，则四个矩形的彩带总长为6x＋4y＝＋4y≥2 ＝48，当且仅当y＝6时，取等号，又6x＋4y＝＋4y≤52，可解得4≤y≤9，即BC的取值范围为[4，9]

(2)四个矩形的彩带总长为6x＋4y＝＋4y≥2＝48，当且仅当y＝6时，取等号，此时x＝4，y＝6，则AB的长为4，BC的长为6，彩带总长的最小值为48.

巩固训练3　解析：设该厂每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨．

由题意可知，面粉的保管等其他费用为

3×[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1)．

设平均每天所支付的总费用为y1元，

则y1＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800＝9x＋＋10 809≥2 ＋10 809＝10 989(元)，

当且仅当9x＝，即x＝10时，等号成立．

所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．