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湘教版（2019）必修 第一册2.1 相等关系与不等关系优秀一课一练
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这是一份湘教版（2019）必修 第一册2.1 相等关系与不等关系优秀一课一练，文件包含湘教版2019高中数学必修第一册213《基本不等式的应用》练习原卷版docx、湘教版2019高中数学必修第一册213《基本不等式的应用》练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共14页， 欢迎下载使用。
题型一 利用基本不等式模型求最值
1．已知一个直角三角形的面积为16，则该三角形周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据直角三角形的面积公式考虑设直角边为、，利用均值不等式解得最小值为.
【详解】设三角形的两条直角边长为、，可得，
三角形的周长为，当且仅当时取等号．
故选：C
2．某公司一年购买某种货物500吨，每次购买吨，运费为5万元/次，一年的总存储费用为万元，则一年的总运费与总存储费用之和的最小值为（ ）
A．200万元B．300万元C．400万元D．500万元
【答案】B
【分析】根据题意列式利用基本不等式运算得解.
【详解】由题意可得，一年的总运费与总存储费用之和为：，
当且仅当，即时取等号，
所以一年的总运费与总存储费用之和的最小值为300万元．
故选：B.
3（多选题）．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，下列说法正确的是（ ）
A．糖水加糖更甜可用式于表示，其中，
B．当时，的最小值为4
C．若，，，则
D．若，则的最小值为6
【答案】BCD
【分析】利用基本不等式比较大小，注意取等号的条件.
【详解】对于A，当，，时，，，当时糖水不等式不成立，故A错误；
对于B，因为，，
当且仅当时取等号，故B正确；
对于C，因为，所以，当且仅当，时等号成立，
所以，
，当且仅当，时等号成立，故C正确；
对于D，因为，所以，
所以当且仅当，即，时，等号成立，故D正确．
故选：BCD
4．若，则有最大值为 ．
【答案】/0.25
【分析】根据基本不等式即可求解.
【详解】因为，显然当时，取得最大值，所以，
当且仅当时等号成立，所以，所以有最大值为.
故答案为：.
5．若正实数a，b满足，则的最小值是 .
【答案】
【分析】由基本不等式得到，将代入，求出最小值.
【详解】因为，由基本不等式得，即，解得，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：
题型二 基本不等式在实际问题中的应用
1．如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形的周长为4，沿折叠使点B到点位置，交于点P．研究发现当的面积最大时用电最少，则用电最少时，的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用勾股定理，构造函数，利用基本不等式即可求出最值.
【详解】如图，设，由矩形的周长为4，可知．
设，则．，
．
在中，由勾股定理得，
即，解得，所以．
所以的面积．
所以，当且仅当时，
即当时，的面积最大，面积的最大值为，
故选：B．
2．某厂计划建造一个容积为，深为的长方体无盖水池.若池底的造价为元每平方米，池壁的造价为元每平方米，则这个水池的最低造价为 元.
【答案】
【分析】设水池池底的一边长为，则另一边长为，由题意表示出总造价的函数式，化简后可利用基本不等式求出最小值，注意判断取最值时的取值是否存在.
【详解】因为水池的容积为，深为，所以底面积为，
设水池池底的一边长为，则另一边长为，
则总造价（元）.
当且仅当，即时，取最小值为.所以水池的最低造价为元.
故答案为：.
3．如图，某人沿围墙修建一个直角梯形花坛，设直角边米，米，若米，问当 米时，直角梯形花坛的面积最大．
【答案】
【分析】先求出面积的表达式，再根据基本不等式即可得解.
【详解】由题意米，
则直角梯形花坛的面积，
当且仅当，即时，等号成立，所以当米时，直角梯形花坛的面积最大．
故答案为：.
4．某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750的矩形花园.图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹､郁金香､月季（其中区域的形状､大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为.
(1)用含有的代数式表示，并写出的取值范围；
(2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？
【答案】(1)；(2)当时，才能使鲜花种植的总面积最大.
【分析】（1）根据题意，设矩形花园的长为，由条件可得，即可得到结果；
（2）由（1）中的结论可得鲜花种植的总面积为与矩形花园的一条边长的函数关系式，再由基本不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）设矩形花园的长为，
矩形花园的总面积为，，可得，
又阴影部分是宽度为的小路，可得，可得，
即关于的关系式为.
（2）由（1）知，，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为.
5．某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5米，房屋正面的造价为400元/平方米，房屋侧面的造价为150元/平方米，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3米，且不计房屋背面的费用，当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少元？
【答案】当侧面的长度为4米时，总造价最低．最低总造价是13000元
【分析】根据题意得到函数表达式，利用基本不等式求出最小值即可.
【详解】由题可知
因为，当且仅当，即时取等号，
所以在时取最小值，
于是当侧面的长度为米时，总造价最低．最低总造价是元．
6．辆货车从站匀速驶往相距千米的站，其时速都是千米/时，为安全起见，要求每两辆货车的间隔等于千米（为常数，，货车长度忽略不计）.
(1)将第一辆货车由站出发到最后一辆货车到达站所需时间表示成的函数；
(2)当取何值时，有最小值.
【答案】(1)；(2)千米/时.
【分析】（1）计算出最后一辆车行驶的总路程，即可得出关于的函数关系式；
（2）利用基本不等式求得的最小值及其对应的的值.
【详解】（1）解：因为辆货车从站匀速驶往相距千米的站，其时速都是千米/时，
且每两辆货车的间隔等于千米，
第一辆货车由站出发到最后一辆货车到达站，最后一辆车行驶的总路程为千米，
所以，.
（2）解：因为，其中，
由基本不等式可得，当且仅当时，即当千米/时，等号成立，
所以，当千米/时，取最小值.
7．如图，高新区某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为400m2的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为8400元/m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为420元/m2；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为160元/m2.设总造价为y（单位：元），AD长为x（单位：m）.
(1)用x表示AM的长度，并求x的取值范围；
(2)当x为何值时，y最小？并求出这个最小值.
【答案】(1)；(2)，最小值为472000元.
【分析】（1）由题意可得矩形的面积，即可得出；
（2）先表示出总造价y，再由基本不等式求解即可.
【详解】（1）由题意可得，矩形的面积为,
因此，∵，∴.
（2），，
由基本不等式y472000，
当且仅当，即x时，等号成立，
故当x时，总造价y最小，最小值为472000元.
1．两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降（假设第一次价格为，第二次价格为）可以用两种不同的策略，第一种是每次购买这种物品数量一定;第二种是每次购买这种物品所花的钱数一定，哪种购物方式比较经济（ ）
A．第一种B．第二种C．都一样D．不确定
【答案】B
【分析】根据基本不等式求得正确答案.
【详解】依题意，为正数，且，
第一种方式购买的平均价格为，
第二种方式，设每次购买的花费为，
则购买的平均价格为，由基本不等式得，
所以选第二种方式比较经济.
故选：B
2．若，，且，则的最小值为 ．
【答案】6
【分析】由题意可得，利用基本不等式计算可得，即，即可求解.
【详解】由，
得，整理得，
当且仅当时等号成立.
则，故，解得或（舍去），
所以，当且仅当时取等号，即的最小值为6.
故答案为：6
3．第十九届亚运会于2023年9月23日在杭州举办，本届亚运会吉祥物是一套名为“江南忆”的三个机器人模型，三个机器人模型分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”.某公益团队联系亚运会组委会计划举办一场吉祥物商品展销会，成套出售“江南忆”，将所获利润全部用于体育设施建设.据市场调查：每套吉祥物纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为60元，（单位：元，其中销售量单位为：万套）.而当每套吉祥物售价定为x元时，销售量可达到万套.注：利润＝（售价－供货价格）×销售量（不计其他成本）
(1)每套吉祥物纪念品售价为125元时，能获得的总利润是多少万元？
(2)每套吉祥物纪念品售价为多少元时，单套吉祥物的利润最大？并求出最大值.
【答案】(1)320; (2)售价为145元，利润最大，最大值为80元.
【分析】（1）代入数值，求出销售量与单价，即可得出答案；
（2）设单套售价为元，根据已知表示出单套利润，根据基本不等式求解，即可得出答案.
【详解】（1）每套吉祥物纪念品售价为125元时，销售量为（万套），
供货单价为（元），总利润为（万元）.
（2）设单套售价为元，此时销售量为万套，供货价格为元，
同时，所以.
所以单套利润为，
当且仅当，即时取等号.
所以每套吉祥物售价为145元时，单套的利润最大，最大值是80元.
4．用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值．
【答案】当等腰梯形的腰长为时，所用篱笆长度最小，其最小值为．
【分析】以实际应用问题为情境，建立函数关系，利用函数最值的求法解出结果；
【详解】
设，上底，分别过点作下底的垂线，垂足分别为，
则，，则下底，
该等腰梯形的面积，
所以，则，
所用篱笆长为，
当且仅当，即，时取等号．
所以，当等腰梯形的腰长为时，所用篱笆长度最小，其最小值为．
题型一 利用基本不等式模型求最值
1．已知一个直角三角形的面积为16，则该三角形周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据直角三角形的面积公式考虑设直角边为、，利用均值不等式解得最小值为.
【详解】设三角形的两条直角边长为、，可得，
三角形的周长为，当且仅当时取等号．
故选：C
2．某公司一年购买某种货物500吨，每次购买吨，运费为5万元/次，一年的总存储费用为万元，则一年的总运费与总存储费用之和的最小值为（ ）
A．200万元B．300万元C．400万元D．500万元
【答案】B
【分析】根据题意列式利用基本不等式运算得解.
【详解】由题意可得，一年的总运费与总存储费用之和为：，
当且仅当，即时取等号，
所以一年的总运费与总存储费用之和的最小值为300万元．
故选：B.
3（多选题）．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，下列说法正确的是（ ）
A．糖水加糖更甜可用式于表示，其中，
B．当时，的最小值为4
C．若，，，则
D．若，则的最小值为6
【答案】BCD
【分析】利用基本不等式比较大小，注意取等号的条件.
【详解】对于A，当，，时，，，当时糖水不等式不成立，故A错误；
对于B，因为，，
当且仅当时取等号，故B正确；
对于C，因为，所以，当且仅当，时等号成立，
所以，
，当且仅当，时等号成立，故C正确；
对于D，因为，所以，
所以当且仅当，即，时，等号成立，故D正确．
故选：BCD
4．若，则有最大值为 ．
【答案】/0.25
【分析】根据基本不等式即可求解.
【详解】因为，显然当时，取得最大值，所以，
当且仅当时等号成立，所以，所以有最大值为.
故答案为：.
5．若正实数a，b满足，则的最小值是 .
【答案】
【分析】由基本不等式得到，将代入，求出最小值.
【详解】因为，由基本不等式得，即，解得，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：
题型二 基本不等式在实际问题中的应用
1．如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形的周长为4，沿折叠使点B到点位置，交于点P．研究发现当的面积最大时用电最少，则用电最少时，的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用勾股定理，构造函数，利用基本不等式即可求出最值.
【详解】如图，设，由矩形的周长为4，可知．
设，则．，
．
在中，由勾股定理得，
即，解得，所以．
所以的面积．
所以，当且仅当时，
即当时，的面积最大，面积的最大值为，
故选：B．
2．某厂计划建造一个容积为，深为的长方体无盖水池.若池底的造价为元每平方米，池壁的造价为元每平方米，则这个水池的最低造价为 元.
【答案】
【分析】设水池池底的一边长为，则另一边长为，由题意表示出总造价的函数式，化简后可利用基本不等式求出最小值，注意判断取最值时的取值是否存在.
【详解】因为水池的容积为，深为，所以底面积为，
设水池池底的一边长为，则另一边长为，
则总造价（元）.
当且仅当，即时，取最小值为.所以水池的最低造价为元.
故答案为：.
3．如图，某人沿围墙修建一个直角梯形花坛，设直角边米，米，若米，问当 米时，直角梯形花坛的面积最大．
【答案】
【分析】先求出面积的表达式，再根据基本不等式即可得解.
【详解】由题意米，
则直角梯形花坛的面积，
当且仅当，即时，等号成立，所以当米时，直角梯形花坛的面积最大．
故答案为：.
4．某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750的矩形花园.图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹､郁金香､月季（其中区域的形状､大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为.
(1)用含有的代数式表示，并写出的取值范围；
(2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？
【答案】(1)；(2)当时，才能使鲜花种植的总面积最大.
【分析】（1）根据题意，设矩形花园的长为，由条件可得，即可得到结果；
（2）由（1）中的结论可得鲜花种植的总面积为与矩形花园的一条边长的函数关系式，再由基本不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）设矩形花园的长为，
矩形花园的总面积为，，可得，
又阴影部分是宽度为的小路，可得，可得，
即关于的关系式为.
（2）由（1）知，，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为.
5．某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5米，房屋正面的造价为400元/平方米，房屋侧面的造价为150元/平方米，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3米，且不计房屋背面的费用，当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少元？
【答案】当侧面的长度为4米时，总造价最低．最低总造价是13000元
【分析】根据题意得到函数表达式，利用基本不等式求出最小值即可.
【详解】由题可知
因为，当且仅当，即时取等号，
所以在时取最小值，
于是当侧面的长度为米时，总造价最低．最低总造价是元．
6．辆货车从站匀速驶往相距千米的站，其时速都是千米/时，为安全起见，要求每两辆货车的间隔等于千米（为常数，，货车长度忽略不计）.
(1)将第一辆货车由站出发到最后一辆货车到达站所需时间表示成的函数；
(2)当取何值时，有最小值.
【答案】(1)；(2)千米/时.
【分析】（1）计算出最后一辆车行驶的总路程，即可得出关于的函数关系式；
（2）利用基本不等式求得的最小值及其对应的的值.
【详解】（1）解：因为辆货车从站匀速驶往相距千米的站，其时速都是千米/时，
且每两辆货车的间隔等于千米，
第一辆货车由站出发到最后一辆货车到达站，最后一辆车行驶的总路程为千米，
所以，.
（2）解：因为，其中，
由基本不等式可得，当且仅当时，即当千米/时，等号成立，
所以，当千米/时，取最小值.
7．如图，高新区某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为400m2的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为8400元/m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为420元/m2；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为160元/m2.设总造价为y（单位：元），AD长为x（单位：m）.
(1)用x表示AM的长度，并求x的取值范围；
(2)当x为何值时，y最小？并求出这个最小值.
【答案】(1)；(2)，最小值为472000元.
【分析】（1）由题意可得矩形的面积，即可得出；
（2）先表示出总造价y，再由基本不等式求解即可.
【详解】（1）由题意可得，矩形的面积为,
因此，∵，∴.
（2），，
由基本不等式y472000，
当且仅当，即x时，等号成立，
故当x时，总造价y最小，最小值为472000元.
1．两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降（假设第一次价格为，第二次价格为）可以用两种不同的策略，第一种是每次购买这种物品数量一定;第二种是每次购买这种物品所花的钱数一定，哪种购物方式比较经济（ ）
A．第一种B．第二种C．都一样D．不确定
【答案】B
【分析】根据基本不等式求得正确答案.
【详解】依题意，为正数，且，
第一种方式购买的平均价格为，
第二种方式，设每次购买的花费为，
则购买的平均价格为，由基本不等式得，
所以选第二种方式比较经济.
故选：B
2．若，，且，则的最小值为 ．
【答案】6
【分析】由题意可得，利用基本不等式计算可得，即，即可求解.
【详解】由，
得，整理得，
当且仅当时等号成立.
则，故，解得或（舍去），
所以，当且仅当时取等号，即的最小值为6.
故答案为：6
3．第十九届亚运会于2023年9月23日在杭州举办，本届亚运会吉祥物是一套名为“江南忆”的三个机器人模型，三个机器人模型分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”.某公益团队联系亚运会组委会计划举办一场吉祥物商品展销会，成套出售“江南忆”，将所获利润全部用于体育设施建设.据市场调查：每套吉祥物纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为60元，（单位：元，其中销售量单位为：万套）.而当每套吉祥物售价定为x元时，销售量可达到万套.注：利润＝（售价－供货价格）×销售量（不计其他成本）
(1)每套吉祥物纪念品售价为125元时，能获得的总利润是多少万元？
(2)每套吉祥物纪念品售价为多少元时，单套吉祥物的利润最大？并求出最大值.
【答案】(1)320; (2)售价为145元，利润最大，最大值为80元.
【分析】（1）代入数值，求出销售量与单价，即可得出答案；
（2）设单套售价为元，根据已知表示出单套利润，根据基本不等式求解，即可得出答案.
【详解】（1）每套吉祥物纪念品售价为125元时，销售量为（万套），
供货单价为（元），总利润为（万元）.
（2）设单套售价为元，此时销售量为万套，供货价格为元，
同时，所以.
所以单套利润为，
当且仅当，即时取等号.
所以每套吉祥物售价为145元时，单套的利润最大，最大值是80元.
4．用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值．
【答案】当等腰梯形的腰长为时，所用篱笆长度最小，其最小值为．
【分析】以实际应用问题为情境，建立函数关系，利用函数最值的求法解出结果；
【详解】
设，上底，分别过点作下底的垂线，垂足分别为，
则，，则下底，
该等腰梯形的面积，
所以，则，
所用篱笆长为，
当且仅当，即，时取等号．
所以，当等腰梯形的腰长为时，所用篱笆长度最小，其最小值为．
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