湘教版（2019）必修 第一册2.1 相等关系与不等关系精品当堂检测题

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题型一 不等式的性质
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．若，，则一定有
B．若，则
C．若，，则
D．若，则
【答案】D
【分析】若，，，，可判断A；由已知可得，判断B；作差法比较大小判断C；由不等式性可得，判断D.
【详解】对于A，若，，，，则，故A错误.
对于B，若，则，故B错误.
对于C，，
若，，则，即，所以C错误.
对于D，由，可知，即，所以，故D正确.
故选：D.
2．若，那么下列不等式一定不成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用作差法判断AD，利用不等式的性质判断BC.
【详解】对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，因为，所以，故B错误；
对于C，因为，，，所以，
因为，，所以，所以，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：B
3．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】B
【分析】取，可判断A；作差法比较数的大小可判断B；由不等式性质可判断C；作差法比较数的大小可判断D.
【详解】对于A：当时，显然不成立，故A错误；
对于B：因为，所以，故B正确；
对于C：因为，所以，故C错误；
对于D：因为，所以，故D错误.
故选：B.
4．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用不等式的性质证明必要性，举反例否定充分性即可.
【详解】当时，满足，但，故充分性不成立，
若，当时，必有成立，当时，必有，故必要性成立，
故“”是“”的必要不充分条件，故B正确.
故选：B
5．给出下列命题：
①若，则；
②若，则；
③若a，b是非零实数，且，则；
④若，则
其中正确的命题是 ．（填对应序号即可）
【答案】③④
【分析】若，判断①不成立；根据不等式性质判断②不成立；根据不等式的性质，判断③④成立.
【详解】对①，当时，结论错误，故①错误；
对②，当时，即，故结论错误；
对③，因为是非零实数，所以，所以即，故③成立；
对④因为，所以即；即，所以，故④正确.
故答案为：③④
6．如果，则
（1）的取值范围是 ；（2）的取值范围是 ；
（3）的取值范围是 ；（4）的取值范围是 .
【答案】 ； ； ； .
【分析】根据，的范围，结合不等式的性质求出即可．
【详解】由①，②，
得：，,
由②得：③，
由①③得：，由②得：④，由①④得：．
故答案为：，，，
题型二 作差法比较实数（或式子）的大小
1．已知，下列选项中是“”的充分条件的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】由不等式的性质判断AD，由作差法判断BC即可.
【详解】对于A，因为，所以，故A符合题意；
对于B，因为，所以，所以，即，故B符合题意；
对于C，因为，所以，即，故C符合题意；
对于D，取，但有，故D不符合题意.
故选：ABC.
2．已知，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】根据题意，结合不等式的基本性质和作差比较法，逐项判定，即可求解.
【详解】由
对于A中，由，所以，所以A正确；
对于B中，当时，可得，所以B不正确；
对于C中，由，因为的符号不确定，无法比较大小，
所以C不正确；
对于D中，由A知，且，根据不等式的性质，可得，所以D正确.
故选：AD.
3．已知，则 .（填“”，“”，或“”）
【答案】
【分析】借助作差法计算即可得.
【详解】，故.
故答案为：.
4．设，且，则与的大小关系是 .
【答案】
【分析】作差即可比较大小.
【详解】，
由于，且，则，故，
故答案为：
5．如果，那么下列不等式成立的是 ．
① ② ③ ④
【答案】④
【分析】根据题意，结合不等式的基本性质和作差比较法，逐项判定，即可求解.
【详解】由，可得，
对于①中，由，所以，所以①不正确；
对于②中，由，所以，所以②不正确；
对于③中，由，所以，所以③不正确；
对于④中，由，所以，所以④正确.
故答案为：④.
6．某生活用品价格起伏较大，每两周的价格均不相同，假设第一周、第二周价格分别为a元/斤、b元/斤，甲和乙购买方式不同：甲每周买3斤该用品，乙每周买10元钱的该用品，则 的购买方式更优惠(两次平均价格低视为更优惠).(填“甲”或“乙”)
【答案】乙
【分析】根据题意，求得甲、乙购买该用品的平均单价，结合作差比较法，即可求解.
【详解】由题意得甲购买该用品的平均单价为，
乙购买该用品的平均单价为，
因为，可得，所以，
即乙的购买方式更优惠.
故答案为：乙
7．求证.
【答案】证明见解析
【分析】利用作差法即可求证.
【详解】因为，
所以.
8．设是实数，比较与的值的大小.
【答案】答案见解析
【分析】两式作差，通过的正负，得到两式子大小关系.
【详解】
①当，即时，
②当，即时，
③当，即时，
题型三 利用不等式求值或取值范围
1．已知，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据不等式倒数性质求的范围，然后同向不等式相乘可解．
【详解】因为，所以，，
又，所以.
故选：D.
2（多选题）．已知实数x，y满足，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】由不等式的性质直接求解.
【详解】因为，，则，，故A、C正确；
由题，故，B错误；
，则，故，D正确；
故选：ACD.
3．已知，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】首先变形，再转化为求的范围.
【详解】由题意可知，，
，，则，所以.
故答案为：
4．已知，，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】利用不等式的性质求解即可.
【详解】因为，所以又,两式相加可得
故答案为：
5．若实数，且，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】先得到，并根据得到，从而求出.
【详解】因为，故，
由得，解得，故.
故答案为：
6．已知正整数n满足条件：存在唯一的整数k，使成立.这样的n的最大值是 .
【答案】112
【分析】先将不等式变形为，然后根据求出的范围，进而验证即可.
【详解】由得，，即.
又由整数k的唯一性知，，解得，
而时，，，满足的整数k只有97，故符合.
故答案为：.
7．若实数x，y满足1≤xy2≤4，3≤x2y≤5，则xy5的取值范围是 ．
【答案】[，]
【详解】
因为(xy2)3∈[1，64]，∈[，]，所以xy5＝(xy2)3·∈[，].
8．已知且满足，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用待定系数法得到，再结合同向不等式的可加性求解即可.
【详解】设，可得，
解得，，
因为可得，
所以.
故答案为：.
9．已知，，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】利用待定系数法可得，利用不等式的基本性质可求得的取值范围.
【详解】解：设，
所以，解得，因为，，则，
因此，.故答案为：.
1．新高考改革后，生物，化学，政治，地理采取赋分制度：原始分排名前的同学赋分分．若原始分的最大值为，最小值为，令为满足， 的一次函数．对于原始分为的学生，将的值四舍五入得到该学生的赋分.已知小赵原始分，赋分；小叶原始分，赋分；小林原始分，他的赋分是（ ）
A．B．C．D．或
【答案】D
【分析】由题意设，再根据赋分原理，列出和的范围，并表示，根据不等式，即可求解.
【详解】设，，，
，
∴，.
∴赋分是或.
故选：D.
2．下列说法正确的是（ ）
A．若，，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】BD
【分析】根据特殊值法，以及作差法，不等式的性质，判断选项.
【详解】A.若，此时，故A错误；
B.若，则，则，故B正确；
C. ，，所以，即，故C错误；
D. 若，则，则，故D正确；
故选：BD
3．已知为正实数．求证：.
【答案】证明见解析
【分析】根据题意，化简得到，结合不等式的性质，即可得证.
【详解】证明：因为，
又因为，所以，当且仅当时等号成立，
所以.
4．已知正实数满足，若不等式恒成立，求实数的最大值．
【答案】
【分析】
根据题意，将不等式问题转化为最值问题，再由不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，所以，
若不等式恒成立，只需，而，
所以只需即可，即，所以实数的最大值为.