湘教版（2019）必修 第一册第2章 一元二次函数、方程和不等式2.1 相等关系与不等关系学案设计

2．1.2　基本不等式

教材要点

要点　基本不等式

定理：对任意a，b∈R，必有a2＋b2≥____________，当且仅当a＝b时，等号成立．

推论：对任意a，b≥0，必有____________，当且仅当a＝b时，等号成立．

其中称为正数a，b的________，称为正数a，b的____________．

状元随笔　不等式与不等式a2＋b2≥2ab的异同

基础自测

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)当a，b同号时，≥2.(　　)

(2)函数y＝x＋的最小值为2.(　　)

(3)6和8的几何平均数为2.(　　)

(4)不等式a2＋b2≥2ab与有相同的适用范围．(　　)

2．已知a，b∈R，且ab＞0，则下列结论恒成立的是(　　)

A．a2＋b2＞2ab    B．a＋b≥2

C．＞      D．≥2

3．若a＞1，则a＋的最小值是(　　)

A．2      B．a

C．    D．3

4．已知x，y都是正数．

(1)如果xy＝15，则x＋y的最小值是________．

(2)如果x＋y＝15，则xy的最大值是________．

题型1　利用基本不等式比较大小

例1　若a≥b＞0，试比较a, ，b的大小．

方法归纳

一般地，若给出的数(式)涉及两个正数的和、积或两个实数的平方和，则可考虑利用重要不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R，a＞0，b＞0)和基本不等式(a＞0，b＞0)来比较它们的大小，但此时应特别注意能否取到等号．

跟踪训练1　(1)若0＜a＜1，0＜b＜1，且a≠b，则a＋b，2，2ab，a2＋b2中最大的一个是(　　)

A．a2＋b2    B．2

C．2ab      D．a＋b

(2)已知a＞b＞c，则与的大小关系是________________.

题型2　利用基本不等式证明不等式

例2　已知a，b，c＞0，求证：≥a＋b＋c.

方法归纳

(1)在利用a＋b≥2时，一定要注意是否满足条件a＞0，b＞0.

(2)在利用基本不等式a＋b≥2或(a＞0，b＞0)时要注意对所给代数式通过添项配凑，构造符合基本不等式的形式．

(3)另外，在解题时还要注意不等式性质和函数性质的应用．

跟踪训练2　已知实数x，y均为正数，求证：(x＋y)()≥25.

题型3　利用基本不等式求最值

例3　(1)对于代数式＋4x.

①当x>0时，求其最小值；

②当x<0时，求其最大值．

(2)设0<x<，求4x(3－2x)的最大值；

(3)已知x>2，求x＋的最小值．

方法归纳

应用基本不等式解题的关键在于“拼”、“凑”、“拆”、“合”等变形，构造出符合基本不等式的条件结构．

跟踪训练3　(1)若0<x<，则y＝x(1－2x)的最大值是(　　)

A．    B．

C．1    D．4

(2)已知x＜，则2x＋的最大值是________．

(3)已知x>1，求y＝的最小值．

课堂十分钟

1．关于命题p：∀a，b∈R，ab≤，下列说法正确的是(　　)

A．¬p：∃a，b∈R，ab≥

B．不能判断p的真假

C．p是假命题

D．p是真命题

2．下列命题中正确的是(　　)

A．当a，b∈R时，≥2＝2

B．当a＞0，b＞0时，(a＋b)≥4

C．当a＞4时，a＋≥2＝6

D．当a＞0，b＞0时，

3．不等式＋(x－2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是(　　)

A．x＝3    B．x＝－3

C．x＝5    D．x＝－5

4．已知t>0，则y＝的最小值为________．

5．设a>0，b>0，证明：≥a＋b.

2．1.2　基本不等式

新知初探·课前预习

要点

2ab　　算术平均数　几何平均数

[基础自测]

1．答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×

2．解析：对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，所以A错误；对于B，C，虽然ab>0，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D，因为ab>0，所以＞0，＞0，所以≥2(当且仅当a＝b时取等号)，即≥2成立．故选D.

答案：D

3．解析：a>1，所以a－1>0，

所以a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝3.

当且仅当a－1＝即a＝2时取等号．故选D.

答案：D

4．解析：(1)x＋y≥2＝2，即x＋y的最小值是2；当且仅当x＝y＝时取最小值．

(2)xy≤＝＝，

即xy的最大值是.

当且仅当x＝y＝时xy取最大值．

答案：(1)2　(2)

题型探究·课堂解透

例1　解析：∵a≥b>0，∴ ≤ ＝a，∵a2＋b2≥2ab，

∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2，

∴.

又a>0，b>0，则 ≥ ＝.

由a>0，b>0，得，

∵≥ ，∴，

∵－b＝≥0，∴≥b，

∴a≥ ≥b.

跟踪训练1　解析：(1)方法一　∵0<a<1，0<b<1且a≠b，∴a2＋b2>2ab，a＋b>2，a>a2，b>b2，∴a＋b>a2＋b2，故选D.

方法二　取a＝，b＝，则a2＋b2＝，

2＝，2ab＝，a＋b＝，

显然最大，故选D.

(2)∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，∴＝，当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时等号成立．

答案：(1)D　(2)

例2　证明：∵a，b，c，均大于0，

∴＋b≥ 2＝2a，

当且仅当＝b时等号成立．

＋c≥2＝2b，

当且仅当＝c时等号成立．

＋a≥2＝2c，

当且仅当＝a时等号成立．

相加得＋b＋＋c＋＋a≥2a＋2b＋2c，

∴≥a＋b＋c.

跟踪训练2　证明：(x＋y)＝4＋9＋＝13＋，

又因为x>0，y>0，所以>0，>0，

由基本不等式得，≥2＝12，当且仅当＝时，取等号，

即2y＝3x时取等号，所以(x＋y)≥25.

例3　解析：(1)①∵x>0，∴>0，4x>0.

∴＋4x≥2＝8.

当且仅当＝4x，即x＝时取最小值8，

∴当x>0时，原式的最小值为8.

②∵x<0，∴－x>0.

则－＝＋(－4x)≥2＝8，当且仅当＝－4x时，即x＝－时取等号．

∴＋4x≤－8.

∴当x<0时，原式的最大值为－8.

解析：(2)∵0<x<，∴3－2x>0，∴4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2＝.

当且仅当2x＝3－2x，即x＝时取等号．

∴y的最大值为.

(3)∵x>2，∴x－2>0，

∴x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝6.

当且仅当x－2＝，

即x＝4时，x＋取最小值6.

跟踪训练3　解析：(1)∵0<x<，∴1－2x>0，

∴y＝x(1－2x)＝·2x(1－2x)≤·＝，

当且仅当2x＝1－2x，即x＝时取等号．(也可用二次函数配方法求解．)

(2)∵x<，∴1－2x>0，

∵2x＋＝2x－1＋＋1＝－＋1，

∴1－2x＋≥2＝2(当且仅当x＝0时，等号成立)．

∴2x＋≤－2＋1＝－1.

(3)∵x>1，令t＝x－1(t>0)，则x＝t＋1，

所以y＝＝＝＝4t＋≥2＝4.

当且仅当4t＝，即t＝，x＝时取等号．

所以y＝的最小值为4.

答案：(1)B　(2)－1　(3)见解析

[课堂十分钟]

1．解析：∵命题p：∀a，b∈R，ab≤，

∴¬p：∃a，b∈R，ab＞，故A错误；

当a，b一正一负时，ab＜0，≥0，ab≤；

当a，b中至少一个为0时，ab＝0，≥0，ab≤；

当a，b均为负数时，a＋b＝－(－a－b)≤－2，

整理得ab≥，当且仅当a＝b时取等号；

当a，b均为正数时，a＋b≥2，整理得ab≤，当且仅当a＝b时，取等号．

∴命题p：∀a，b∈R，ab≤是假命题，故B，D均错误，C正确．故选C.

答案：C

2．解析：A项中，可能<0，所以不正确；B项中，因为a＋b≥2>0，≥2>0，相乘得(a＋b)≥4，当且仅当a＝b时等号成立，所以正确；C项中，a＋≥2＝6中的等号不成立，所以不正确；D项中，由基本不等式知，(a>0，b>0)，所以D不正确．故选B.

答案：B

3．解析：由基本不等式知等号成立的条件为＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去)．

答案：C

4．解析：依题意得y＝t＋－4≥2－4＝－2，当且仅当t＝1时等号成立，即函数y＝(t>0)的最小值是－2.

答案：－2

5．证明：∵a>0，b>0，∴＋a≥2b，＋b≥2a，∴≥a＋b.