湘教版（2019）必修 第一册2.1 相等关系与不等关系一课一练

这是一份湘教版（2019）必修 第一册2.1 相等关系与不等关系一课一练，共6页。

1．使式子eq \f(1,\r(－x2－x))有意义的实数x的取值范围是( )
A．{x|x＞0或x＜－1} B．{x|x≥0或x≤－1}
C．{x|－1＜x＜0} D．{x|－1≤x≤0}
解析：选C 分析知应使－x2－x＞0，即x2＋x＜0，
所以－1＜x＜0.
2．已知不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则实数a的取值范围是( )
A．[－4，4] B．(－4，4)
C．(－∞，－4]∪[4，＋∞) D．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
解析：选A 欲使不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则Δ＝a2－16≤0，∴－4≤a≤4，即实数a的取值范围是[－4，4]．
3．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是( )
A．{x|10≤x＜16} B．{x|12≤x＜18}
C．{x|15＜x＜20} D．{x|10≤x＜20}
解析：选C 设这批台灯的销售单价为x元，
由题意得，[30－(x－15)×2]x＞400，
即x2－30x＋200＜0，∴10＜x＜20，
又∵x＞15，∴15＜x＜20.故选C.
4．若不等式eq \f(2x2＋2mx＋m,4x2＋6x＋3)＜1对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．{m|1＜m＜3} B．{m|m＜3}
C．{m|m＜1或m＞2} D．R
解析：选A 由4x2＋6x＋3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(3,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4)＞0对一切x∈R恒成立，从而原不等式等价于2x2＋2mx＋m＜4x2＋6x＋3(x∈R)，即2x2＋(6－2m)x＋(3－m)＞0对一切实数x恒成立，所以Δ＝(6－2m)2－8(3－m)＝4(m－1)(m－3)＜0，解得1＜m＜3.
5．(多选)(2021·锡山高级中学月考)不等式mx2－mx－2<0的解集可能是( )
A．R B．∅
C.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x≠\f(1,2))))) D．(－1，2)
解析：选ACD 当m＝0时，mx2－mx－2<0的解集为R.
当m>0，mx2－mx－2＝0的两个根异号，且eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－1＋2＝1，,－1×2＝－\f(2,m)，))即m＝1时，该不等式的解集为(－1，2)．
当m<0，Δ＝(－m)2＋8m<0，即－8当m<0，Δ＝(－m)2＋8m＝0，即m＝－8时，不等式mx2－mx－2<0的解集为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x≠\f(1,2))))).
当m<0，Δ＝(－m)2＋8m>0，即m<－8的解集在两个根之外，解集不可能为空集．
6．已知集合M＝{x|－9x2＋6x－1＜0}，N＝{x|x2－3x－4＜0}，则M∩N＝________________________________________________________________________.
解析：由－9x2＋6x－1＜0，得9x2－6x＋1＞0，
所以(3x－1)2＞0，解得x≠eq \f(1,3)，即M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x∈R且x≠\f(1,3))))).由x2－3x－4＜0，得(x－4)(x＋1)＜0，解得－1＜x＜4，即N＝{x|－1＜x＜4}．所以M∩N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－1＜x＜4且x≠\f(1,3))))).
答案：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－1＜x＜4且x≠\f(1,3)))))
7．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3 000＋20x－0.1x2(0解析：依题意得25x≥3 000＋20x－0.1x2，
整理得x2＋50x－30 000≥0，
解得x≥150或x≤－200(舍去)．
因为0＜x＜240，所以150≤x＜240，即最低产量是150台．
答案：150
8．(2021·济南外国语学校高一段考)甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润100eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5x＋1－\f(3,x)))元．要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，则x的取值范围是________．
解析：要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，则2×100eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5x＋1－\f(3,x)))≥3 000，整理得5x－14－eq \f(3,x)≥0，又1≤x≤10，所以5x2－14x－3≥0，解得3≤x≤10.故x的取值范围为[3，10]．
答案：[3，10]
9.某施工单位在对一个长800 m，宽600 m的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，试确定花坛宽度的取值范围．
解：设花坛的宽度为x m，
则草坪的长为(800－2x)m，宽为(600－2x)m，
根据题意得(800－2x)·(600－2x)≥eq \f(1,2)×800×600，
整理得x2－700x＋60 000≥0，
解不等式得x≥600(舍去)或x≤100，
由题意知x＞0，所以0＜x≤100.
当x在{x|010．(2021·东台中学月考)已知不等式mx2－mx－1<0.
(1)若x∈R时不等式恒成立，求实数m的取值范围；
(2)若x∈{x|1≤x≤3}时不等式恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)①若m＝0，原不等式可化为－1<0，显然恒成立；
②若m≠0，则不等式mx2－mx－1<0恒成立⇔eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m<0，,Δ＝m2＋4m<0，))解得－4综上可知，实数m的取值范围是－4(2)令y＝mx2－mx－1，
①当m＝0时，y＝－1<0显然恒成立；
②当m>0时，若对于x∈{x|1≤x≤3}时不等式恒成立，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－1<0，,9m－3m－1<0，))解得m③当m<0时，函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x＝eq \f(1,2)，若x∈{x|1≤x≤3}时不等式恒成立，结合函数图象(图略)知只需f(1)<0即可，解得m∈R，所以m<0符合题意．综上所述，实数m的取值范围是m[B级 综合运用]
11．下列选项中，使不等式xA．x<－1 B．－1C．01
解析：选A 法一：取x＝－2，知符合x法二：由题知，不等式等价于
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－x))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－x2))<0，即eq \f(（x2－1）（x3－1）,x2)<0，
从而eq \f(（x－1）2（x＋1）（x2＋x＋1）,x2)<0，解得x<－1，故选A.
12．(多选)(2021·扬州中学月考)已知关于x的不等式a≤eq \f(3,4)x2－3x＋4≤b，下列结论正确的是( )
A．当aB．当a＝1，b＝4时，不等式a≤eq \f(3,4)x2－3x＋4≤b的解集为{x|0≤x≤4}
C．当a＝2时，不等式a≤eq \f(3,4)x2－3x＋4≤b的解集可以为{x|c≤x≤d}的形式
D．不等式a≤eq \f(3,4)x2－3x＋4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b}，那么b＝eq \f(4,3)
解析：选AB 由eq \f(3,4)x2－3x＋4≤b得3x2－12x＋16－4b≤0，又b<1，所以Δ＝48(b－1)<0，从而不等式a≤eq \f(3,4)x2－3x＋4≤b的解集为∅，故A正确．当a＝1时，不等式a≤eq \f(3,4)x2－3x＋4就是x2－4x＋4≥0，解集为R，当b＝4时，不等式eq \f(3,4)x2－3x＋4≤b就是x2－4x≤0，解集为{x|0≤x≤4}，故B正确．在同一平面直角坐标系中作出函数y＝eq \f(3,4)x2－3x＋4＝eq \f(3,4)(x－2)2＋1的图象及直线y＝a和y＝b，如图所示．
由图知，当a＝2时，不等式a≤eq \f(3,4)x2－3x＋4≤b的解集为{x|xA≤x≤xC}∪{x|xD≤x≤xB}的形式，故C错误．由a≤eq \f(3,4)x2－3x＋4≤b的解集为{x|a≤x≤b}，知a≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)x2－3x＋4))eq \s\d7(min)，即a≤1，因此当x＝a，x＝b时函数值都是b.由当x＝b时函数值是b，得eq \f(3,4)b2－3b＋4＝b，解得b＝eq \f(4,3)或b＝4.当b＝eq \f(4,3)时，由eq \f(3,4)a2－3a＋4＝b＝eq \f(4,3)，解得a＝eq \f(4,3)或a＝eq \f(8,3)，不满足a≤1，不符合题意，故D错误．
13．不等式x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立，则实数λ的取值范围为________．
解析：因为x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立，
所以x2＋8y2－λy(x＋y)≥0对于任意的x，y∈R恒成立，
即x2－λyx＋(8－λ)y2≥0恒成立，
由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2y2＋4(λ－8)y2＝y2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4.
答案：[－8，4]
14．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且满足a2＋(y1＋y2)a＋y1y2＝0.
(1)求证：y1＝－a或y2＝－a；
(2)求证：函数的图象必与x轴有两个交点；
(3)若y>0的解集为{x|x>m或x0.
解：(1)证明：∵a2＋(y1＋y2)a＋y1y2＝0，
∴(a＋y1)(a＋y2)＝0，得y1＝－a或y2＝－a.
(2)证明：当a>0时，二次函数的图象开口向上，图象上的点A或点B的纵坐标为－a，且－a<0，
∴图象与x轴有两个交点；
当a<0时，二次函数的图象开口向下，图象上的点A或点B的纵坐标为－a，且－a>0，
∴图象与x轴有两个交点．
∴二次函数的图象必与x轴有两个交点．
(3)∵ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x>m或x∴a>0且ax2＋bx＋c＝0的两根为m，n，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＋n＝－\f(b,a)，,mn＝\f(c,a)，))∴eq \f(m＋n,mn)＝－eq \f(b,c)且c>0，
∴cx2－bx＋a>0，即x2－eq \f(b,c)x＋eq \f(a,c)>0，
即x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m＋n,mn)))x＋eq \f(1,mn)>0，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,m)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,n)))>0.
∵n∴不等式cx2－bx＋a>0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x>－\f(1,m)或x<－\f(1,n))))).
[C级 拓展探究]
15．设a∈R，若x>0时恒有(x2＋ax－5)(ax－1)≥0成立，求a的值．
解：令f(x)＝x2＋ax－5.由Δ＝a2－4×(－5)＝a2＋20>0知方程f(x)＝0有两个不同的实数根，设为x1，x2.由x1x2＝－5，知x1，x2异号，不妨设x1<0(1)当a＝0时，不等式即x2－5≤0，对任意x>0未必成立，不符合题意．
(2)当a<0时，由x>0知ax－1<0，而当x>x2时，f(x)>0，从而f(x)(ax－1)<0，不符合题意．
(3)当a>0时，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))＝eq \f(1,a2)－4.
①当00，则x2如图(ⅰ)，当x>0时，未必恒有f(x)(ax－1)≥0成立．
②当a>eq \f(1,2)时，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))<0，则eq \f(1,a)如图(ⅱ)，当x>0时，未必恒有f(x)(ax－1)≥0成立，不符合题意；
③当a＝eq \f(1,2)时，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))＝0，则eq \f(1,a)＝x2.
如图(ⅲ)，当x>0时，恒有f(x)(ax－1)≥0成立，满足条件．
综上可知，所求实数a的值为eq \f(1,2).