第二课时　公式五～六

课标要求　1.在诱导公式一～四的基础上，掌握诱导公式五～六的推导.2.能够利用诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题.

素养要求　通过诱导公式五～六的推导及应用，发展学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.

自 主 梳 理

1.诱导公式五

sin＝cos__α，cos＝sin__α；

sin＝cos__α，cos＝－sin__α.

±α的正弦(余弦)函数值，等于角α的余弦(正弦)函数值，前面添上一个把角α看成锐角时原函数值的符号.

2.诱导公式六

tan＝＝＝；

tan＝＝＝－.

以上关于角α与2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α，±α的三角函数的关系式，都称为诱导公式.

自 主 检 验

1.思考辨析，判断正误

(1)cos ＝cos α.(×)

提示　cos ＝cos ＝sin α.

(2)sin＝－cos α.(×)

提示　sin＝cos α.

(3)若cos 10°＝a，则sin 100°＝a.(√)

(4)若α为第二象限角，则sin＝－cos α.(√)

2.已知sin 25.3°＝a，则cos 64.7°＝(　　)

A.a   B.－a 

C.a2   D.

答案　A

解析　cos 64.7°＝cos (90°－25.3°)＝sin 25.3°＝a，故选A.

3.已知sin＝，那么cos α＝________.

答案　

解析　sin＝sin＝cos α＝.

4.cos21°＋cos22°＋cos23°＋…＋cos289°＝________.

答案　44.5

解析　cos21°＋cos22°＋cos23°＋…＋cos289°

＝cos21°＋cos22°＋cos23°＋…＋sin21°

＝1＋1＋…＋1,\s\up6(,44个))＋cos245°＝44.5.

题型一　利用诱导公式求值

例1 (1)已知cos 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是(　　)

A.   B.

C.－   D.－

答案　B

解析　sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)

＝－sin 59°(－tan 31°)＝－sin(90°－31°)·(－tan 31°)

＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°

＝＝.

(2)已知cos＝，≤α≤，求sin的值.

解　∵α＋＝＋，

∴sin(α＋)＝sin＝cos＝.

思维升华　求值问题中角的转化方法

训练1 已知cos(－α)＝，求下列各式的值：

(1)sin(＋α)；(2)sin(α－).

解　(1)sin(＋α)＝sin[－(－α)]＝cos(－α)＝.

(2)sin(α－)＝sin[－－(－α)]＝－sin[＋(－α)]＝－cos(－α)＝－.

题型二　利用诱导公式证明恒等式

例2 求证：＝－tan α.

证明　左边＝＝＝＝＝－＝－tan α＝右边.∴原等式成立.

思维升华　利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：

(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简.

(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子.

(3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异.

训练2 求证：＝.

证明　左边＝＝

＝＝＝＝.

右边＝＝.

∴左边＝右边，故原等式成立.

题型三　诱导公式的综合应用

例3 已知cos α＝－，且α为第三象限角.

(1)求sin α的值；

(2)求f(α)＝的值.

解　(1)因为α为第三象限角，

所以sin α＝－＝－.

(2)f(α)＝＝tan α·sin α＝·sin α

＝＝(－)2×(－)＝－.

迁移 本例条件不变，求f(α)＝的值.

解　f(α)＝＝sin α＝－.

思维升华　用诱导公式化简求值的方法

(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少.

(2)对于π±α和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名.

训练3 例3条件中“cos α＝－”改为“α的终边与单位圆交于点P(m，)”，“第三象限”改为“第二象限”，试求

的值.

解　由题意知m2＋()2＝1，

解得m2＝，

因为α为第二象限角，故m<0，

所以m＝－，

所以sin α＝，cos α＝－.

原式＝＝＝－.

[课堂小结]

1.诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式.当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号.即“奇变偶不变，符号看象限”.

2.诱导公式是三角变换的基本公式，其中角α可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通.

一、基础达标

1.sin 165°等于(　　)

A.－sin 15°   B.cos 15°

C.sin 75°   D.cos 75°

答案　D

解析　sin 165°＝sin(90°＋75°)＝cos 75°.

2.已知sin(α＋)＝，则cos(－α)的值为(　　)

A.   B. 

C.   D.－

答案　C

解析　cos(－α)＝cos[－(α＋)]＝sin(α＋)＝.

3.若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是(　　)

A.－a   B.－a 

C.a   D.a

答案　B

解析　由条件得－sin α－sin α＝－a，

故sin α＝，

原式＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－a.

4.已知sin＝，α∈，则tan α等于(　　)

A.－2   B.2 

C.－   D.

答案　A

解析　由sin＝得cos α＝，

又α∈，

故sin α＝－，

∴tan α＝＝－2.

5.α为锐角，2tan(π－α)－3cos＝－5，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α＝(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　C

解析　由条件可知－2tan α＋3sin β＝－5①，

tan α－6sin β＝1②，

①式×2＋②式可得tan α＝3，

即sin α＝3cos α，

又sin2α＋cos2α＝1，α为锐角，

故可解得sin α＝.

6.若cos α＝，且α是第四象限角，则tan(α＋)＝________.

答案　

解析　由题意得sin α＝－＝－，

所以tan(α＋)＝tan＝＝－＝－＝.

7.化简＝________.

答案　－1

解析　原式＝＝＝－1.

8.已知tan(3π＋α)＝2，则

＝________.

答案　2

解析　∵tan(3π＋α)＝2，∴tan α＝2，

∴原式＝＝＝＝2.

9.已知sin(5π－θ)＋sin＝，求sin4＋cos4的值.

解　∵sin(5π－θ)＋sin＝sin(π－θ)＋sin＝sin θ＋cos θ＝，

∴sin θcos θ＝[(sin θ＋cos θ)2－1]＝＝，

∴sin4＋cos4＝cos4θ＋sin4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ

＝1－2×＝.

10.已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，且α为第三象限角，求

的值.

解　因为5x2－7x－6＝0的两根为x＝2或x＝－，

所以sin α＝－，又因为α为第三象限角，

所以cos α＝－＝－.

所以tan α＝.

故原式＝＝tan α＝.

二、能力提升

11.已知cos(75°＋α)＝，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是(　　)

A.   B. 

C.－   D.－

答案　D

解析　sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)]

＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α)＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)

＝－2cos(75°＋α)＝－.

12.已知tan θ＝2，则＝________，tan＝________.

答案　－2　－

解析　＝＝＝＝－2.

tan＝＝－.

13.是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使等式同时成立.

若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由.

解　由条件，得

①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2，③

又因为sin2α＋cos2α＝1，④

由③④得sin2α＝，即sin α＝±，

因为α∈，

所以α＝或α＝－.

当α＝时，代入②得cos β＝，

又β∈(0，π)，所以β＝，代入①可知符合.

当α＝－时，代入②得cos β＝，

又β∈(0，π)，

所以β＝，代入①可知不符合.

综上所述，存在α＝，β＝满足条件.

三、创新拓展

14.(多选)若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中不一定成立的是(　　)

A.cos(A＋B)＝cos C B.sin(A＋B)＝－sin C

C.cos＝sin B D.sin＝cos

答案　ABC

解析　∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，

∴cos(A＋B)＝－cos C，

sin(A＋B)＝sin C，故A，B项不正确；

∵A＋C＝π－B，∴＝，

∴cos＝cos＝sin，故C项不正确；

∵B＋C＝π－A，

∴sin＝sin＝cos，故D项正确.