湘教版（2019）必修 第一册第2章 一元二次函数、方程和不等式2.1 相等关系与不等关系学案设计

2．1　相等关系与不等关系

2．1.1　等式与不等式

第一课时　不等关系与大小比较

(1)如图，某城市的高楼有高、有矮，有的高度相同．

(2)任意两个实数之间有三种关系：a＞b，a＝b，a＜b.

(3)在日常生活中，糖水中加些糖后就会变的更甜．

[问题]　通过以上三例我们可以发现在客观世界中，量与量之间的关系有哪些？

知识点一　等式与不等式

1．等式与不等式的概念

2.不等式中文字语言与符号语言之间的转换

不等式a≥b读作“a大于或等于b”，其含义是指“a＞b或a＝b”，等价于“a不小于b”，即a＞b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确．　　　　

1．某路段竖立的的警示牌，是指示司机通过该路段时，车速v km/h应满足的关系式为(　　)

A．v＜60　　　　　 B．v＞60

C．v≤60  D．v≥36

答案：C

2．一个两位数，个位数字为x，十位数字为y，且这个两位数大于70，用不等式表示为________．

答案：10y＋x＞70

知识点二　实数大小比较的基本事实

1．文字叙述

如果a－b>0，那么a>b；

如果a－b＝0，那么a＝b；

如果a－b<0，那么a<b.

2．符号表示

a－b>0⇔ab；a－b＝0⇔ab；a－b<0⇔ab.

1．在比较两实数a，b大小的依据中，a，b两数是任意实数吗？

提示：是．

2．p⇔q的含义是什么？

提示：p⇔q的含义是：p可以推出q，q也可以推出p，即p与q可以互推．

1．设m＝2a2＋2a＋1，n＝(a＋1)2，则m，n的大小关系是________．

答案：m≥n

2．若实数a＞b，则a2－ab________ba－b2.(填“＞”或“＜”)

答案：＞

[例1]　(链接教科书第32页问题1、2)(1)某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个，才能在规定的时间内超额完成任务？列出解决此问题需要构建的不等关系式；

(2)用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于110 m2，靠墙的一边长为x m．试用不等式表示其中的不等关系．

[解]　(1)设该车工3天后平均每天需加工x个零件，加工(15－3)天共加工12x个零件，15天里共加工(3×24＋12x)个零件，则3×24＋12x>408.故不等关系表示为72＋12x>408.

(2)由于矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m，

所以0<x≤18，

这时菜园的另一条边长为＝(m)．

因此菜园面积S＝x，

依题意有S≥110，即x≥110，

故该题中的不等关系可用不等式组表示为

1．将不等关系表示成不等式(组)的思路

(1)读懂题意，找准不等式所联系的量；

(2)用适当的不等号连接；

(3)多个不等关系用不等式组表示．

2．用不等式(组)表示不等关系时应注意的问题

在用不等式(组)表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以进行比较时，才可用，没有可比性的两个(或几个)量之间不能用不等式(组)来表示．　　　　

[跟踪训练]

1．雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t ℃，那么t应满足的关系式是________．

解析：由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t<28 000.

答案：4.5t<28 000

2．某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式(组)．

解：设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆，则

[例2]　(链接教科书第33页例1)(1)已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小；

(2)已知a>0，试比较a与的大小．

[解]　(1)(x3－1)－(2x2－2x)

＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1)

＝(x－1)(x2－x＋1)

＝(x－1).

∵x<1，∴x－1<0.又＋>0，

∴(x－1)<0.

即x3－1<2x2－2x.

(2)∵a－＝＝，

又∵a>0，∴当a>1时，>0，有a>；

当a＝1时，＝0，有a＝；

当0<a<1时，<0，有a<.

综上，当a>1时，a>；当a＝1时，a＝；当0<a<1时，a<.

作差法比较大小的步骤

[注意]　上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号”是目的，“变形”是关键．其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等．　　　　

[跟踪训练]

1．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则(　　)

A．a＞b　　　　　 B．a＜b

C．a≥b  D．a≤b

解析：选C　a－b＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以a≥b.

2．已知x>y>0，试比较x3－2y3与xy2－2x2y的大小．

解：由题意，知(x3－2y3)－(xy2－2x2y)＝x3－xy2＋2x2y－2y3＝x(x2－y2)＋2y(x2－y2)＝(x2－y2)·(x＋2y)＝(x－y)(x＋y)(x＋2y)，

∵x>y>0，∴x－y>0，x＋y>0，x＋2y>0，

∴(x3－2y3)－(xy2－2x2y)>0，

即x3－2y3>xy2－2x2y.

[例3]　(链接教科书第33页例2)2020年12月26日某单位职工去瞻仰毛泽东纪念馆需包车前往．甲车队说：“如果领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．

[解]　设该单位职工有n人(n∈N＋)，全票价为x元，坐甲车队的车需花y1元，坐乙车队的车需花y2元．

由题意，得y1＝x＋x·(n－1)＝x＋nx，y2＝nx.

因为y1－y2＝x＋nx－nx＝x－nx

＝x，

当n＝5时，y1＝y2；

当n＞5时，y1＜y2；

当n＜5时，y1＞y2.

所以，当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．

现实生活中的许多问题都能够用不等式解决，其解题思路是将解决的问题转化成不等关系，利用作差法比较大小，进而解决实际问题．　　　　

[跟踪训练]

某公司有20名技术人员，计划开发A，B两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下：

今制订计划欲使总产值最高，则A类电子器件应开发________件，最高产值为________万元．

解析：设应开发A类电子器件x件，则开发B类电子器件(50－x)件．根据题意，得＋≤20，解得x≤20.

由题意，得总产值y＝7.5x＋6(50－x)＝300＋1.5x≤330，当且仅当x＝20时，y取最大值330.所以欲使总产量最高，A类电子器件应开发20件，最高产值为330万元．

答案：20　330

1．下列说法正确的是(　　)

A．x为非正数可表示为“x≥0”

B．小华的实际年龄n不足18岁，表示为“n≤18”

C．两数x，y的平方和不小于2，表示为“x2＋y2≥2”

D．甲数a比乙数b大，表示为“a≥b”

答案：C

2．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式表示就是(　　)

A.　　　　　　 B.

C.   D.

解析：选D　“不低于”即“≥”，“高于”即“＞”，“超过”即“＞”，∴x≥95，y＞380，z＞45.

3．不等式a2＋4≥4a中，等号成立的条件为________．

解析：令a2＋4＝4a，则a2－4a＋4＝0，

即(a－2)2＝0，∴a＝2.

答案：a＝2

4．已知a，b∈R，x＝a3－b，y＝a2b－a，试比较x与y的大小．

解：因为x－y＝a3－b－a2b＋a＝a2(a－b)＋a－b＝(a－b)(a2＋1)，所以当a＞b时，x－y＞0，所以x＞y；

当a＝b时，x－y＝0，所以x＝y；

当a＜b时，x－y＜0，所以x＜y.