高中数学湘教版（2019）必修 第一册2.3 一元二次不等式学案设计

2.3.2　一元二次不等式的应用

汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离是分析事故的一个重要因素．

在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m．又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.

[问题]　如何判断甲、乙两车是否超速？

知识点　利用一元二次不等式解决实际问题的步骤

(1)理解题意，分析清楚量与量之间的关系；

(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为一元二次不等式问题；

(3)解这个一元二次不等式得到实际问题的解．

某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2 400 元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万立方米．为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是(　　)

A．{t|1≤t≤3}　　　　　 B．{t|3≤t≤5}

C．{t|2≤t≤4}  D．{t|4≤t≤6}

解析：选B　设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，则y＝2 400×t%＝60(8t－t2)．

令y≥900，即60(8t－t2)≥900，解得3≤t≤5.

[例1]　(链接教科书第57页习题8题)解关于x的不等式：x2－2ax＋2≤0(a∈R)．

[解]　因为Δ＝4a2－8，当Δ＜0，即－＜a＜时，原不等式对应的方程无实根．又一元二次函数y＝x2－2ax＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅.

当Δ＝0，即a＝±时，原不等式对应的方程有两个相等实根．

当a＝时，原不等式的解集为；

当a＝－时，原不等式的解集为.

当Δ＞0，即a＞或a＜－时，原不等式对应的方程有两个不等实根，分别为x1＝a－，x2＝a＋，且x1＜x2，所以原不等式的解集为{x|a－≤x≤a＋}．

综上所述，当－＜a＜时，原不等式的解集为∅；

当a＝时，原不等式的解集为{x|x＝}；

当a＝－时，原不等式的解集为{x|x＝－}；

当a＞或a＜－时，原不等式的解集为{x|a－≤x≤a＋}．

含参一元二次不等式的解法

[跟踪训练]

解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a＜0)．

解：原不等式移项得ax2＋(a－2)x－2≥0，化简为(x＋1)(ax－2)≥0.∵a＜0，∴(x＋1)≤0.

当－2＜a＜0时，≤x≤－1；当a＝－2时，x＝－1；

当a＜－2时，－1≤x≤.

综上所述，当－2＜a＜0时，原不等式的解集为；

当a＝－2时，原不等式的解集为{x|x＝－1}；

当a＜－2时，原不等式的解集为.

[例2]　(链接教科书第55页例8)某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．

(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；

(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？

[解]　(1)由题意，得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1 000×(1＋0.6x)(0<x<1)，整理得y＝－60x2＋20x＋200(0<x<1)．

(2)要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当

即

解不等式组，得0<x<，

所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x的范围为.

解不等式应用题的步骤

[跟踪训练]

如图所示，某小区内有一个矩形花坛ABCD，现将这一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝3 m，AD＝2 m．要使矩形AMPN的面积大于32 m2，则DN的长应在什么范围内？

解：设DN的长为x(x>0)m，则AN的长为(x＋2)m.

因为＝，所以AM＝，

所以S矩形AMPN＝AN·AM＝.

由S矩形AMPN>32，得>32.

又x>0，得3x2－20x＋12>0，解得0<x<或x>6.

即DN的长的取值范围是.

求简单的一元高次不等式的解集

解一元高次不等式f(x)>0(或f(x)<0)常用数轴穿根法(又称穿针引线法)．

其一般步骤是：

(1)将不等式化为一端为0，另一端为一次因式或二次不可约因式的积的形式，并使每个因式最高次项的系数为正；

(2)求根，标根：求出各因式的根，并在数轴上从小到大依次标出；

(3)画曲线：从数轴的最右端上方起，自右至左依次经过各个点(根)画曲线(注意：遇奇次重根一次穿过数轴，遇偶次重根穿而不过．若有三重以上根，可先等价转化，如x3>0⇔x>0，x4>0⇔x2>0等)；

(4)写解集：记数轴上方为正，下方为负，根据不等号的方向，写出不等式的解集．

[问题探究]

如何求不等式(x＋2)(x2－x－12)>0的解集？

提示：法一：原不等式可化为或

即或

解得x>4或－3<x<－2.

所以原不等式的解集为{x|－3<x<－2或x>4}．

法二：令(x＋2)(x2－x－12)＝0，得x1＝－3，x2＝－2，x3＝4.

将－3，－2，4标在数轴上，如图．

由图可知原不等式的解集为{x|－3<x<－2或x>4}．

[迁移应用]

解不等式(x2＋2x－3)(x－1)(－8x＋24)≤0.

解：原不等式等价于(x＋3)(x－1)2(x－3)≥0，其中1为二次重根．把各因式的根在数轴上标出来，如图，由图可得原不等式的解集为{x|x≤－3或x＝1或x≥3}．

1．(2021·兴化中学月考)若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x对任意实数x均成立，则实数m的取值范围是(　　)

A．m<－2或m≥2　　　　 B．－2<m<2

C．－2<m≤2  D．m≤2

解析：选C　∵不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x对任意实数x均成立，∴(m－2)x2＋2(m－2)x－4<0，当m－2＝0，即m＝2时，不等式为－4<0，显然成立；

当m－2≠0，即m≠2时，应满足

解得－2<m<2.综上，－2<m≤2，故选C.

2．解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.

解：(1)当a＝0时，原不等式即为－x＋1<0，解得x>1.

(2)当a<0时，原不等式化为(x－1)>0，解得x<或x>1.

(3)当a>0时，原不等式化为(x－1)<0.

若a＝1，即＝1时，不等式无解；

若a>1，即<1时，解得<x<1；

若0<a<1，即>1时，解得1<x<.

综上可知，当a<0时，不等式的解集为；

当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}；

当0<a<1时，不等式的解集为；

当a＝1时，不等式的解集为∅；

当a>1时，不等式的解集为.