2.1.3　基本不等式的应用

课标要求　1.进一步熟练掌握基本不等式，能够通过拼凑、变形等利用基本不等式求最值.2.能够利用基本不等式解决实际问题.

素养要求　通过学习掌握基本不等式及其应用，发展学生的数学运算、逻辑推理、数学建模素养.

自 主 梳 理

已知x，y都为正数，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值2.

(2)如果和x＋y是定值S，那么当且仅当x＝y时积xy有最大值.

自 主 检 验

1.思考辨析，判断正误

(1)对于实数a，b，若a＋b为定值，则ab有最大值.(×)

提示　a，b为正实数.

(2)对于实数a，b，若ab为定值，则a＋b有最小值.(×)

提示　a，b为正实数.

(3)若x>2，则x＋的最小值为2.(×)

提示　当且仅当x＝1时才能取得最小值，但x>2.

2.已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是________.

答案　2

解析　a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝时等号成立.

3.已知m，n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是________.

答案　50

解析　由m2＋n2≥2mn，∴mn≤＝50.当且仅当m＝n＝±5时等号成立.

4.已知x，y为正数，且＋＝1，则x＋y的最小值为________.

答案　9

解析　∵x>0，y>0，＋＝1，

∴x＋y＝(x＋y)·＝1＋＋＋4＝＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当即x＝3，y＝6时，等号成立.故x＋y的最小值为9.

题型一　利用基本不等式的变形求最值

例1 (1)已知x>2，求x＋的最小值；

(2)已知＋＝1(x>0，y>0)，求x＋y的最小值.

解　(1)∵x>2，∴x－2>0，

∴x＋＝x－2＋＋2

≥2＋2＝6，

当且仅当x－2＝，

即x＝4时，等号成立.

∴x＋的最小值为6.

(2)∵x>0，y>0，

∴x＋y＝(x＋y)·＝4＋2≥4＋4＝8.

当且仅当＝，

即x＝y＝4时取等号，x＋y的最小值为8.

思维升华　应根据已知条件适当进行“拆”“拼”“凑”“合”“变形”，创造应用基本不等式及使等号成立的条件.当连续应用基本不等式时，要注意各不等式取等号时的条件要一致，否则也不能求出最值；特别注意“1”的代换.

训练1 (1)若x<0，求＋3x的最大值；

(2)设x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值.

解　(1)因为x<0，所以－x>0，

所以＋3x＝－≤－2＝－12，

当且仅当－＝－3x，

即x＝－2时等号成立，

所以＋3x的最大值为－12.

(2)法一　由2x＋8y－xy＝0，

得y(x－8)＝2x.

∵x>0，y>0，∴x－8>0，y＝，

∴x＋y＝x＋＝x＋＝(x－8)＋＋10≥2＋10＝18.

当且仅当x－8＝，

即x＝12时，等号成立.

∴x＋y的最小值是18.

法二　由2x＋8y＝xy及x>0，y>0，得＋＝1.

∴x＋y＝(x＋y)

＝＋＋10≥2＋10＝18.

当且仅当＝，即x＝2y＝12时等号成立.

∴x＋y的最小值是18.

题型二　利用基本不等式解决实际应用问题

例2 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示).

(1)若设休闲区的长和宽的比＝x(x>1)，求公园ABCD所占面积y关于x的函数的解析式；

(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？

解　(1)设休闲区的宽为a米，则长为ax米，由a2x＝4 000，得a＝.

则y＝(a＋8)(ax＋20)＝a2x＋(8x＋20)a＋160＝4 000＋(8x＋20)·＋160

＝80＋4 160(x>1).

(2)80＋4 160≥80×2＋4 160＝1 600＋4 160＝

5 760.

当且仅当2＝，即x＝2.5时，等号成立，此时a＝40，ax＝100.

所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米.

思维升华　用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：

(1)先理解题意，设变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数.

(2)建立相应的函数关系式.把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.

(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值.

(4)正确写出答案.

训练2 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？

解　设该厂每x天购买一次面粉，其购买量为6x吨.

由题意可知，面粉的保管等其他费用为

3×[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1).

设平均每天所支付的总费用为y1元，

则y1＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800＝9x＋＋10 809≥2＋10 809＝

10 989(元)，

当且仅当9x＝，即x＝10时，等号成立.

所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.

题型三　利用基本不等式解决恒成立问题

例3 已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值等于(　　)

A.10   B.9

C.8   D.7

答案　B

解析　因为a>0，b>0，所以2a＋b>0，

所以要使＋≥恒成立，

只需m≤(2a＋b)恒成立，

而(2a＋b)＝4＋＋＋1≥5＋4＝9，

当且仅当a＝b时，等号成立，

所以m≤9.

思维升华　1.恒成立问题常采用分离参数的方法求解，若a≤y恒成立，则a≤ymin；若a≥y恒成立，则a≥ymax，将问题转化为求y的最值问题，可能会用到基本不等式.

2.运用基本不等式求参数的取值范围问题，要注意根据各个变量之间的关系，探寻思路，解决问题.

训练3 设a>b>c，且＋≥恒成立，求m的取值范围.

解　由a>b>c，

得a－b>0，b－c>0，a－c>0，

∴原不等式等价于＋≥m，

要使原不等式恒成立，只需＋的最小值不小于m即可，

∵＋＝＋＝2＋＋

≥2＋2＝4，

当且仅当＝，即2b＝a＋c时，等号成立，

∴m≤4，即m的取值范围为(－∞，4].

[课堂小结]

1.利用基本不等式求最值要把握下列三个条件：

(1)“一正”——各项为正数；(2)“二定”——“和”或“积”为定值；(3)“三相等”——等号一定能取到.这三个条件缺一不可.

2.利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件.

3.在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y＝x＋(p>0)的图象求得函数的最值.

一、基础达标

1.已知x>－2，则x＋的最小值为(　　)

A.－   B.－1 

C.2   D.0

答案　D

解析　因为x>－2，所以x＋2>0，所以x＋＝x＋2＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＝－1时“＝”成立.

2.若(x>1)在x＝t处取得最小值，则t等于(　　)

A.1＋   B.2 

C.3   D.4

答案　B

解析　因为x>1，所以x－1>0，＝＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，

当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立.

3.若a>0，b>0，且a＋b＝1，则＋的最小值是(　　)

A.   B.1 

C.4   D.8

答案　C

解析　∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时，取等号.

4.欲用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的面积最大的矩形菜园，墙长

18 m，则这个矩形的长、宽分别为(　　)

A.15，   B.15，

C.7，   D.7，

答案　A

解析　设矩形的长为x m，宽为y m.则x＋2y＝30，

所以S＝xy＝x·(2y)≤＝，当且仅当x＝2y，

即x＝15，y＝时取等号.

5.设计用32 m2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通法规定厢宽为2 m，则车厢的最大容积是(　　)

A.(38－3) m3   B.16 m3

C.4 m3   D.14 m3

答案　B

解析　设车厢的长为b m，高为a m.由已知得2b＋2ab＋4a＝32，即b＝，

∴V＝a··2＝2·.

设a＋1＝t，则V＝2

≤2＝16，当且仅当2t＝，即t＝3时等号成立，此时a＝2，b＝4，

故选B.

6.已知a>0，b>0，3a＋b＝2ab，则a＋b的最小值为________.

答案　2＋

解析　根据题意，3a＋b＝2ab⇒＋＝1，

则a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝2＋，

当且仅当b＝a时等号成立，

则a＋b的最小值为2＋.

7.若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________.

答案　

解析　因为x>0，所以＝≤＝.

当且仅当x＝1时，等号成立，

所以的最大值为.

所以a≥.

8.设x>－1，则的最小值是________.

答案　9

解析　∵x>－1，∴x＋1>0，

设x＋1＝t>0，则x＝t－1，

于是有＝＝＝t＋＋5≥2 ＋5＝9，

当且仅当t＝，即t＝2时取“＝”，

此时x＝1.

∴当x＝1时，取得最小值9.

9.(1)若x>0，求x＋的最小值，并求此时x的值；

(2)设0<x<，求4x(3－2x)的最大值.

解　(1)当x>0时，x＋≥2＝4，

当且仅当x＝时，即x2＝4，x＝2时取等号.

∴x＋(x>0)在x＝2时取得最小值4.

(2)∵0<x<，∴3－2x>0，

∴4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]

≤2＝.

当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立.

∵∈，

∴4x(3－2x)的最大值为.

10.某工厂要建造一个长方体形状无盖贮水池，其容积为4 800 m3，深为3 m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？

解　设底面的长为x m，宽为y m，水池总造价为z元.

根据题意，有

z＝150×＋120(2×3x＋2×3y)

＝240 000＋720(x＋y).

由容积为4 800 m3，可得3xy＝4 800.

因此，xy＝1 600.

240 000＋720(x＋y)≥240 000＋720×2，

即z≥240 000＋720×2＝297 600.

当x＝y，即x＝y＝40时，等号成立.

所以，将水池的底面设计成边长为40 m的正方形时总造价最低，最低总造价是297 600元.

二、能力提升

11.已知不等式(x＋y)≥9，对任意正实数x，y恒成立，则正实数a取最小值是(　　)

A.2   B.4 

C.6   D.8

答案　B

解析　∵(x＋y)＝1＋a＋＋a≥1＋a＋2，且(x＋y)≥9，

∴9≤1＋a＋2＝(＋1)2，

∴＋1≥3，即a≥4.

∴a的最小值为4.

12.已知正实数a，b满足a＋2b＝1，则的最小值为________.

答案　18

解析　因为＝2＋＋＋＝2＋＝2＋，

又1＝a＋2b≥2，所以ab≤，

即2＋≥2＋2×8＝18，当且仅当a＝2b，即a＝，b＝时取等号.

13.长征五号运载火箭的设计生产采用了很多新技术新材料，甲工厂承担了某种材料的生产，并以x千克/时的速度匀速生产(为保证质量，要求1≤x≤10)，每小时可消耗A材料kx2＋9千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克.

(1)设生产m千克该产品，消耗A材料y千克，试把y表示为x的函数；

(2)要使生产1 000千克该产品消耗的A材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A材料最少为多少？

解　(1)由题意，得k＋9＝10，即k＝1，生产m千克该产品需要的时间是，

所以y＝(kx2＋9)＝m，

x∈[1，10].

(2)由(1)知，生产1 000千克该产品消耗的A材料为y＝1 000≥1 000×2＝6 000，

当且仅当x＝，即x＝3时，等号成立，且3∈[1，10]，故工厂应选取3千克/时的生产速度，消耗的A材料最少，最少为6 000千克.

三、创新拓展

14.在实数集R中定义一种运算“*”，具有性质：

(1)对任意a，b∈R，a*b＝b*a；

(2)对任意a∈R，a*0＝a；

(3)对任意a，b∈R，(a*b)*c＝c*(ab)＋(a*c)＋(b*c)－5c.

则函数y＝x*(x>0)的最小值为________.

答案　3

解析　因为在(3)中，对任意a，b∈R，(a*b)*c＝c*(ab)＋(a*c)＋(b*c)－5c，令c＝0，代入，得(a*b)*0＝0*(ab)＋(a*0)＋(b*0)，

由(1)中a*b＝b*a，

可得(a*b)*0＝(ab)*0＋(a*0)＋(b*0)，

由(2)中a*0＝a，化简可得(a*b)*0＝a*b＝ab＋a＋b，

所以y＝x*＝1＋x＋，

因为x>0，由基本不等式可得y＝1＋x＋≥3，

当且仅当x＝1时等号成立，所以最小值为3.