高中1.1 集合学案及答案

1．1　集合

1．1.1　集合

第一课时　集合与元素

中华人民共和国第十三届全国人民代表大会第四次会议于2021年3月8日下午3时，在北京人民大会堂召开第二次全体会议．

[问题]　与会的人大代表能否构成一个集合？

知识点一　元素与集合的相关概念

1．集合：把一些对象放在一起考虑时，这些对象组成了一个集合或集．通常用大写拉丁字母表示，如A，B，…表示集合．

2．元素：这些对象中的每一个，都叫作这个集合的一个元素．通常用小写拉丁字母表示，如a，b…表示元素．

3．集合中元素的三个基本属性

1．集合是一个原始的、不加定义的概念，就像几何中点、线的概念一样，只作描述性说明．

2．集合是一个整体，已暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象．　　　　

1．集合中的元素只能是数、点、代数式吗？

提示：集合中的元素可以是数学中的数、点、代数式，也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等．

2．某班所有的高个子男生能否构成一个集合？

提示：某班所有的高个子男生不能构成集合，因为高个子男生没有明确的标准．

1．用“school”中的字母构成的集合中元素的个数为(　　)

A．3　　　　　　　　　 B．4

C．5  D．6

解析：选C　由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“s”“c”“h”“o”“l”5个元素．

2．给出下列说法，其中正确的序号是________．

①在一个集合中可以找到两个相同的元素；②好听的歌能组成一个集合；③高一(1)班所有姓氏能构成集合．

解析：①错误，集合中的元素是互不相同的；②错误，好听的歌是不确定的，所以好听的歌不能组成一个集合；③正确，高一(1)班的姓氏是确定的，所以能构成集合．

答案：③

知识点二　元素与集合的关系

表达集合和它的元素之间的归属关系的符号是∈.

(1)属于：若S是一个集合，a是S的一个元素，记作“aS”，读作：“a属于S”；

(2)不属于：若a不是S的元素，记作aS(或aS)读作“a不属于S”．

1．元素与集合之间有第三种关系吗？

提示：对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种关系．

2．符号“∈”“∉”的左边可以是集合吗？

提示：“∈”和“∉”具有方向性，左边是元素，右边是集合，所以左边不可以是集合．

1．已知集合A中含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，则实数a的值为________．

解析：∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1.

若－3＝a－3，则a＝0.此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意；

若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意．

综上所述，实数a的值为0或－1.

答案：0或－1

2．设集合A表示“1～10以内的所有素数”，3，4这两个元素与集合A有什么关系？如何用数学语言表示？

解：3是集合A中的元素，即3属于集合A，记作3∈A；4不是集合A中的元素，即4不属于集合A，记作4∉A.

知识点三　常见的数集及符号表示

N与N＋有何区别？

提示：N＋是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整数组成的集合，所以N比N＋多一个元素0.

下列元素与集合的关系判断正确的是_______(填序号)．

①0∈N；②π∈Q；③∈Q；④－1∈Z；⑤∉R.

解析：N表示自然数集，Q表示有理数集，Z表示整数集，R表示实数集，故0∈N，π∉Q，∉Q，－1∈Z，∈R.

答案：①④

知识点四　集合的分类

1．有限集：元素个数有限的集合(或有穷集)．

2．无限集：元素无限多的集合叫无限集(或无穷集)．

3．空集：没有元素的集合叫空集．记作∅，空集也是有限集．

下列集合中________是有限集，________是无限集，________空集(填序号)．

(1)由小于8的正奇数组成的集合；

(2)由大于5且小于20的实数组成的集合；

(3)由小于0的自然数组成的集合．

解析：(1)因为小于8的正奇数为1，3，5，7，所以其组成的集合是有限集．

(2)因为大于5且小于20的实数有无数个，所以其组成的集合是无限集．

(3)因为小于0的自然数不存在，所以其组成的集合是空集，含有0个元素，所以其组成的集合是有限集．

答案：(1)(3)　(2)　(3)

[例1]　(多选)判断下列每组对象，能组成一个集合的是(　　)

A．某校高一年级成绩优秀的学生

B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点

C．不小于3的自然数

D．2018年第23届冬季奥运会金牌获得者

[解析]　A中“成绩优秀”没有明确的标准，所以不能组成一个集合；B、C、D中的对象都满足确定性，所以能组成集合．

[答案]　BCD

判断一组对象能否组成集合的标准

判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．　　　　

[跟踪训练]

(多选)下列给出的对象中不能组成集合的是(　　)

A．著名物理学家　　　　 B．全世界的富豪

C．学习刻苦的人  D．小于8的所有素数

解析：选ABC　只有选项D有明确的标准，能组成一个集合．

[例2]　(链接教科书第3页例1)(1)(多选)由不超过5的实数组成集合A，a＝＋，则(　　)

A．a∈A  B．a2∈A

C.∈A  D．a＋1∈A

(2)若集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．

[解析]　(1)a＝＋＜＋＝4＜5，所以a∈A.

a＋1＜＋＋1＝5，所以a＋1∈A，a2＝()2＋2×＋()2＝5＋2＞5，所以a2∉A，＝＝＝－＜5，所以∈A.

(2)由题意可得：x为自然数，所以可以为2，3，6，因此x的值为2，1，0.因此A中元素有2，1，0.

[答案]　(1)ACD　(2)2，1，0

判断元素和集合关系的两种方法

(1)直接法：①使用前提：集合中的元素是直接给出的；

②判断方法：首先明确集合由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现即可；

(2)推理法：①使用前提：对于某些不便直接表示的集合；

②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．　　　　

[跟踪训练]

用∈，∉填空：

已知集合A中的元素x是被3除余2的整数，则有：17________A，－5________A.

解析：由题意可设x＝3k＋2，k∈Z，

令3k＋2＝17得，k＝5∈Z.所以17∈A.

令3k＋2＝－5得，k＝－∉Z.所以－5∉A.

答案：∈　∉

[例3]　已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．

[解析]　若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.

当a＝1时，集合A有重复元素，不符合元素的互异性，

∴a≠1；

当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合元素的互异性．∴a＝－1.

[答案]　－1

[母题探究]

1．(变条件)本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a的值．

解：因为2∈A，所以a＝2或a2＝2，即a＝2或a＝或a＝－.经检验符合元素的互异性．

2．(变条件)本例若去掉条件“1∈A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？

解：因为A中有两个元素a和a2，所以a≠a2，解得a≠0且a≠1.

3．(变条件)已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．

解：由a∈A可知，

当a＝1时，此时a2＝1，与集合元素的互异性矛盾，

所以a≠1.

当a＝a2时，a＝0或a＝1(舍去)．

综上可知，a＝0.

根据集合中元素的特性求值的三个步骤

[跟踪训练]

1．若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是(　　)

A．梯形  B．平行四边形

C．菱形  D．矩形

解析：选A　A中元素a，b，c，d各不相等，所以四边形只可能是梯形．

2．集合P中含有两个元素1和4，集合Q中含有两个元素1和a2，若P与Q相等，则a＝________．

解析：由题意知a2＝4，即a＝±2.

答案：±2

1．(多选)下列结论中，正确的是(　　)

A．若a∈N，则∉N  B．若a∈Z，则a2∈Z

C．若a∈Q，则|a|∈Q  D．若a∈R，则∈R

解析：选BCD　A不正确．反例：a＝1∈N，＝1∈N.

2．下列说法正确的是(　　)

A．某班中年龄较小的同学能够组成一个集合

B．由1，2，3和 ，1，组成的集合不相等

C．不超过20的非负数组成一个集合

D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解组成的集合中有3个元素

解析：选C　A项中元素不确定．B项中两个集合元素相同，因为集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等．D项中方程的解分别是x1＝1，x2＝x3＝－1.由互异性知，构成的集合含2个元素．

3．已知集合S中的三个元素a，b，c是△ABC的三条边长，那么△ABC一定不是(　　)

A．锐角三角形  B．直角三角形

C．钝角三角形  D．等腰三角形

解析：选D　因为集合中的元素必须是互异的，所以三角形的三条边长两两不相等，故选D.

4．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2<x<a，又集合P中恰有三个元素，则整数a＝________．

解析：∵x∈N，2<x<a，且集合P中恰有三个元素，

易知a＝6.

答案：6