苏教版 (2019)必修 第二册10.1 两角和与差的三角函数课堂检测

课后素养落实(十一)　两角和与差的余弦

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．cos(x＋27°)cos(18°－x)－sin(18°－x)sin(x＋27°)等于(　　)

A．0  B．  C．  D．

C　[原式＝cos(x＋27°＋18°－x)＝cos 45°＝．]

2．若x∈[0，π]，sin sin ＝cos cos ，则x的值是(　　)

A．  B．  C．  D．

D　[∵cos cos －sin sin ＝0，

∴cos＝0，∴cos x＝0．

∵x∈[0，π]，∴x＝．]

3．如图，在平面直角坐标系中，锐角α，β的终边分别与单位圆交于A，B两点，如果点A的纵坐标为，点B的横坐标为，则cos(α－β)＝(　　)

A．  B．－  C．  D．－

C　[易知sin α＝，cos β＝，

又∵α，β为锐角，

∴cos α＝，sin β＝，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝．]

4．已知向量a＝(cos 75°，sin 75°)，b＝(cos 15°，sin 15°)，则|a－b|＝(　　)

A．  B．  C．  D．1

D　[|a|＝1，|b|＝1，a·b＝cos 75° cos 15°＋sin 75° sin 15°＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝．

∴|a－b|＝＝＝1．]

5．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)＝(　　)

A．  B．－  C．  D．－

B　[由题意，知sin α＋sin β＝－sin γ， ①

cos α＋cos β＝－cos γ． ②

①2＋②2，得2＋2cos(α－β)＝1，所以cos(α－β)＝－．]

二、填空题

6．已知cos α＝，α∈，则cos＝________．

　[因为cos α＝，α∈，

所以sin α＝＝＝，

所以cos＝cos αcos ＋sin αsin ＝×＋×＝．]

7．在△ABC中，若sin Asin B＜cos Acos B，则△ABC一定为________三角形．(填“锐角”“钝角”或“直角”)

钝角　[由sin Asin B＜cos Acos B得cos(A＋B)＞0，

∴cos C＜0．

∴C＞90°，∴△ABC为钝角三角形．]

8．已知a＝(cos α，sin β)，b＝(cos β，sin α)，0<β<α<，且a·b＝，则α－β＝________．

　[a·b＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)＝，

又0<β<α<，

所以0<α－β<，故α－β＝．]

三、解答题

9．设cos＝－，sin＝，其中α∈，β∈，求cos的值．

[解]　∵α∈，β∈，

∴α－∈，－β∈，

∴sin＝＝＝，

cos＝＝＝．

∴cos＝cos

＝coscos＋sinsin

＝－×＋×＝．

10．已知函数f(x)＝2cos(其中ω＞0，x∈R)的最小正周期为10π．

(1)求ω的值；

(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．

[解]　(1)∵f(x)＝2cos(ω＞0)的最小正周期T＝10π＝，∴ω＝．

(2)由(1)知f(x)＝2cos，

而α，β∈，f＝－，f＝，

∴2cos＝－，

2cos＝，

即cos＝－，cos β＝，

于是sin α＝，cos α＝，sin β＝，

∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－．

11．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，若a＝(cos A，sin A)，b＝(cos B，sin B)且a·b＝1，则△ABC一定是(　　)

A．直角三角形   B．等腰三角形

C．等边三角形   D．等腰直角三角形

B　[因为a·b＝cos Acos B＋sin Asin B＝cos(A－B)＝1，且A，B，C是三角形的内角，所以A＝B，即△ABC一定是等腰三角形．]

12．(多选题)若cos 5xcos(－2x)－sin(－5x)sin 2x＝0，则x的值可能是(　　)

A．  B．   C．    D．－

BCD　[因为cos 5xcos(－2x)－sin(－5x)sin 2x＝cos 5xcos 2x＋sin 5xsin 2x＝cos(5x－2x)＝cos 3x＝0，所以3x＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，

所以当k＝0时，x＝．当k＝1时，x＝．当k＝－1时， x＝－，故选BCD．]

13．已知点P(1，)是角α终边上一点，则cos α＝________；cos(30°－α)＝________．

　　[由已知sin α＝，cos α＝，

cos(30°－α)＝cos 30° cos α＋sin 30°sin α＝×＋×＝．]

14．已知sin＝，则cos α＋sin α＝________．

　[sin＝cos＝cos

＝coscos α＋sinsin α

＝cos α＋sin α

＝(cos α＋sin α)＝，

∴cos α＋sin α＝．]

15．已知sin α＋sin β＝，求cos α＋cos β的取值范围．

[解]　由sin α＋sin β＝，平方可得

sin2α＋2sin αsin β＋sin2β＝， ①

设cos α＋cos β＝m，平方可得

cos2α＋2cos αcos β＋cos2β＝m2， ②

①＋②得2＋2cos αcos β＋2sin αsin β＝＋m2，

即m2＝＋2cos(α－β)．

∵cos(α－β)∈[－1，1]，

∴m2∈，

∴0≤m2≤，

∴－≤m≤，

故cos α＋cos β的取值范围为．