高中数学苏教版 (2019)必修 第二册9.4 向量应用一课一练

课后素养落实(十)　向量应用

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．若A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)，则△ABC的形状为(　　)

A．等腰三角形   B．等边三角形

C．直角三角形   D．等腰直角三角形

C　[＝(1，1)，＝(－3，3)，·＝0，

即⊥，故△ABC为直角三角形．]

2．河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为(　　)

A．10 m/s   B．2 m/s

C．4 m/s  D．12 m/s

B　[由题意知|v水|＝2 m/s，|v船|＝10 m/s，作出示意图如图．所以小船在静水中的速度大小|v|＝＝＝2 m/s．]

3．用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个物体，如图，已知物体重力大小为10 N，则每根绳子的拉力大小是(　　)

A．5 N  B．8 N  C．10 N  D．12 N

C　[因绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都等于60°，故每根绳子的拉力大小都是10 N．]

4．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的(　　)

A．重心  B．外心  C．内心  D．垂心

D　[由·＝·＝·，可得·－·＝0，(－)·＝0，即·＝0，⊥，同理可证⊥，⊥．所以O是△ABC的垂心，即三条高的交点．]

5．等腰直角三角形ABC中，C＝90°，且A(－1，2)，C(1，1)，则B的坐标为(　　)

A．(2，－1)   B．(0，－1)

C．(2，3)   D．(0，－1)或(2，3)

D　[设B的坐标为(x，y)，

则＝(x－1，y－1)，又＝(2，－1)．

由题意知||＝||，且·＝0，

∴

解得或]

二、填空题

6．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，＝(＋)，且||＝||，则·＝________．

1　[设BC的中点是D，如图所示，则＋＝2，则＝，

所以O和D重合，所以BC是圆O的直径，

所以∠BAC＝90°．

又||＝||，

则||＝1，||＝2，所以∠ABC＝60°，

所以·＝||||cos 60°＝1×2×＝1．]

7．如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，则对角线AC的长为________．

　[∵＝＋，

∴2＝2＋2＋2·， ①

又＝－，

∴2＝2＋2－2·， ②

∴①＋②得2＋2＝2(2＋2)．

又AD＝1，AB＝2，BD＝2，

∴AC＝．]

8．当两人提起重量为|G|的旅行包时，夹角为θ，两人用力大小都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为________．

120°　[如图，|F1|＝|F2|＝．

∵|F1|＝|F2|＝|G|，∴2cos ＝1，

∴θ＝120°．]

三、解答题

9．如图，已知AB是⊙O的直径，点P是⊙O上任一点(不与A，B重合)，求证：∠APB＝90°．(用向量方法证明)

[证明]　连接OP，设向量＝a，＝b，

则＝－a，且＝－＝a－b，＝－＝－a－b，

∴·＝b2－a2＝|b|2－|a|2＝0，

∴⊥，

即∠APB＝90°．

10．帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20 km/h，此时水的流向是正东，流速为20 km/h．若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向．

[解]　建立如图所示的平面直角坐标系，风的方向为北偏东30°，速度的大小为|v1|＝20 km/h，水流的方向为正东，速度的大小为|v2|＝20 km/h，设帆船行驶的速度为v，则v＝v1＋v2．

由题意，可得v1＝(20cos 60°，20sin 60°)＝(10，10)，v2＝(20，0)，

则帆船的行驶速度v＝v1＋v2＝(10，10)＋(20，0)＝(30，10)，

所以|v|＝＝20(km/h)．

因为tan α＝＝(α为v和v2的夹角，α为锐角)，所以α＝30°．

所以帆船向北偏东60°的方向行驶，速度为20 km/h．

11．(多选题)点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有(　　)

A．若＋＋＝0，则点O为△ABC的重心

B．若·＝·＝0，则点O为△ABC的垂心

C．若(＋)·＝(＋)·＝0，则点O为△ABC的外心

D．若·＝·＝·，则点O为△ABC的内心

AC　[选项A，设D为BC的中点，由于＝－(＋)＝－2·，所以O为BC边上中线的三等分点(靠近点D)，所以O为△ABC的重心．

选项B，向量，分别表示在边AC和AB上取单位向量′和′，记它们的差是向量，则当·＝0，

即OA⊥B′C′时，点O在∠BAC的平分线上，

同理由·＝0，知点O在∠ABC的平分线上，故O为△ABC的内心．选项C，＋是以，为邻边的平行四边形的一条对角线，而||是该平行四边形的另一条对角线，·(＋)＝0表示这个平行四边形是菱形，即||＝||，同理有||＝||，于是O为△ABC的外心．选项D，由·＝·得·－·＝0，

∴·(－)＝0，即·＝0，

∴⊥．同理可证⊥，⊥．

∴OB⊥CA，OA⊥CB，OC⊥AB，即点O是△ABC的垂心．故选AC．]

12．已知BC是圆O的直径，H是圆O的弦AB上一动点，BC＝10，AB＝8，则·的最小值为(　　)

A．－4  B．－25  C．－9  D．－16

D　[以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，

设点H(x，y)，则B(－5，0)，C(5，0)，

所以＝(－5－x，－y)，

＝(5－x，－y)，

则·＝(－5－x，－y)·(5－x，－y)＝x2＋y2－25，

又因为AB＝8，且H为弦AB上一动点，所以9≤x2＋y2≤25，

其中当取AB的中点时取得最小值，所以·＝9－25＝－16，故选D．]

13．如图2，“六芒星”由两个全等正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行．点A，B是“六芒星”(如图1)的两个顶点，动点P在“六芒星”上(内部以及边界)，若＝x＋y，则x＋y的取值范围是(　　)

图1　　　　　　图2

A．[－4，4]   B．[－，]

C．[－5，5]   D．[－6，6]

C　[如图建立平面直角坐标系，

令正三角形边长为3，则＝i，＝－i＋j，可得i＝，j＝＋，

由图知当点P在点C时，有＝j＝2＋3，此时x＋y有最大值5，

同理当点P在与C相对的下顶点时有＝－j＝－2－3，

此时x＋y有最小值－5．故选C． ]

14．如图，一个力F作用于小车G，使小车G发生了40米的位移，F的大小为50牛，且与小车的位移方向的夹角为60°，e是与小车位移方向相同的单位向量，则F在小车位移上的投影向量为______，力F做的功为______ J．

25e　1 000　[∵|F|＝50，且F与小车的位移方向的夹角为60°，

∴F在小车位移上的投影向量为|F|·cos 60°e＝25e．

∵力F作用于小车G，使小车G发生了40米的位移，

∴力F做的功W＝25×40＝1 000(J)．]

15．在三角形ABC中，AB＝2，AC＝1，∠ACB＝，D是线段BC上一点，且＝，F为线段AB上一点．

(1)设＝a，＝b，设＝xa＋yb，求x－y；

(2)求·的取值范围；

(3)若F为线段AB的中点，直线CF与AD相交于点M，求·．

[解]　(1)∵＝＋＝＋＝＋＝a＋b，

而＝xa＋yb，

∴x＝，y＝，

∴x－y＝．

(2)∵在三角形ABC中，AB＝2，AC＝1，∠ACB＝，

∴∠CAB＝，BC＝，

∴·＝·＝·＋·， ①

不妨设||＝x，x∈．

∴①式＝1×x×cos－x2＝－x2＋x，x∈，

∴·∈．

(3)∵F为线段AB的中点，∴＝＋＝＋，

不妨设＝λ，

∴＝＋，

∴＝－＝＋，＝－．

∵A，M，D三点共线，

∴＝μ，即＋＝μ，

∴

∴λ＝，

∴＝＋．

∴·＝·＝2－2＝．