2021学年9.4 向量应用课堂检测

课后素养落实(四)　向量的数乘

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．已知λ∈R，则下列说法正确的是(　　)

A．|λa|＝λ|a|   B．|λa|＝|λ|a

C．|λa|＝|λ||a|   D．|λa|>0

C　[当λ<0时，A式不成立；当λ＝0或a＝0时，D式不成立；又|λa|∈R，而|λ|a是数乘向量，故B式不成立．]

2．如图所示，在▱ABCD中，＝a，＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则＝(　　)

A．(b－a)   B．(b－a)

C．(a－b)   D．(a－b)

A　[＝＋＝－＝－＝b－(a＋b)＝b－a＝(b－a)．]

3．已知向量a，b且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)

A．P1，P2，P3   B．P1，P3，P4

C．P2，P3，P4   D．P1，P2，P4

D　[∵＝＋＝2a＋4b＝2，∴P1，P2，P4三点共线．]

4．已知a，b是两个不共线的向量，＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则(　　)

A．A，B，C三点共线   B．A，B，D三点共线

C．A，C，D三点共线   D．B，C，D三点共线

B　[∵＝＋＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝，∴与平行，又AB与BD有公共点B，则A，B，D三点共线．]

5．在△ABC中，＝，若＝a，＝b，则＝(　　)

A．a＋b   B．a＋b

C．a－b   D．a－b

A　[法一：∵＝，

∴－＝(－)，

∴＝＋

＝b＋a．

法二：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b，故选A．]

二、填空题

6．若O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，＝2e1，＝3e2，则＝________．(用e1，e2表示)

e2－e1　[∵＝，∴＝－＝3e2－2e1．

又∵＝2，

∴＝e2－e1．]

7．＝________．

2b－a　[＝(2a＋8b)－(4a－2b)＝a＋b－a＋b＝2b－a．]

8．已知e1，e2是两个不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若a与b是共线向量，则实数k＝________．

－2　[∵e1，e2不共线，∴向量a，b不为0．

又∵a，b共线，∴存在实数λ，使a＝λb，

即2e1－e2＝λ(ke1＋e2)＝λke1＋λe2．

∴∴]

三、解答题

9．如图，F为线段BC的中点，CE＝2EF，DF＝AF，设＝a，＝b，试用a，b表示，，．

[解]　因为＝b－a，＝＝＝(b－a)，所以＝＋＝a＋b．

因为＝(a＋b)，所以＝＝(a＋b)，所以＝－＝(a＋b)－b＝a－b．

10．已知在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，求证：四边形ABCD为梯形．

[证明]　如图所示．

∵＝＋＋＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝2(－4a－b)，

∴＝2．∴与共线，且||＝2||．

又∵这两个向量所在的直线不重合，

∴AD∥BC，且AD＝2BC．

∴四边形ABCD是以AD，BC为两条底边的梯形．

11．(多选题)向量a＝2e，b＝－6e，则下列说法正确的是(　　)

A．a∥b

B．向量a，b方向相反

C．|a|＝3|b|

D．b＝－3a

ABD　[∵a＝2e，b＝－6e，∴b＝－3a，∴ABD正确，C错误．]

12．已知△ABC和点M满足＋＋＝0．若存在实数m使得＋＝m成立，则m的值为(　　)

A．1  B．2  C．3  D．4

C　[由＋＋＝0可知，M是△ABC的重心．

取BC的中点D，则＋＝2．

又M是△ABC的重心，∴＝2，∴＝，

∴＋＝3，即m＝3．]

13．如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝t＋，则实数t的值为(　　)

A．  B．  C．  D．

C　[法一：因为＝，所以＝．

设＝λ，则＝＋＝＋λ＝＋λ(＋)＝＋λ＝λ＋(1－λ)，

又＝t＋，所以t＋＝λ＋(1－λ)，

得，解得t＝λ＝，故选C．

法二：因为＝，所以＝，

所以＝t＋＝t＋，

因为B，P，N三点共线，所以t＋＝1，所以t＝，选C．]

14．在△ABC中，＝2，＝m＋n，则m＝________，n＝________．

　　[－＝2－2，∴3＝＋2，∴＝＋．]

15．如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且满足BD＝DC，过点D的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，求＋的值．

[解]　法一：如图，过点C作CE平行于MN交AB于点E．

由＝n可得＝，所以＝＝，由BD＝DC可得＝，所以＝＝，因为＝m，所以m＝，整理可得＋＝3．

法二：连接AD(图略)．因为M，D，N三点共线，所以＝λ＋(1－λ)·．

又＝m，＝n，所以＝λm＋(1－λ)·n．

又＝，所以－＝－，所以＝＋．

比较系数知λm＝，(1－λ)n＝，所以＋＝3.