高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示课后练习题

6.3平面向量基本定理及坐标表示同步练习人教 A版（2019）高中数学必修二

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 在菱形ABCD中，，，，，若，则   

A.  B.  C.  D.

2. 若，是一组基底，向量，则称为向量在基底下的坐标．现已知向量在基底，下的坐标为，则在另一组基底，下的坐标为   

A.  B.  C.  D.

3. 在▱ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点若，，则   

A.  B.  C.  D.

4. 若向量，，，则

A.  B.  C.  D.

5. 设点，，，且，则点D的坐标为     

A.  B.  C.  D.

6. 已知向量，向量，且，那么x等于     ．

A. 10 B. 5 C.  D.

7. 向量，且，则实数       

A. 3 B.  C. 7 D.

8. 在空间四边形ABCD中，，，，且，则

A.  B.
C.  D.

9. 已知向量，，，若，则实数

A.  B.  C. 1 D. 3

10. 已知向量，且，则   

A.  B.  C.  D.

11. 已知向量，，且，则实数

A.  B. 0 C. 3 D.

12. 已知向量，，若，则     

A.  B.  C.  D.

二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）

13. 已知向量，，若向量与垂直，则          ．
14. 在中，，，，D在边BC上，延长AD到P，使得若为常数，则CD的长度是          ．

15. 已知，是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是____．

三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）

16. 如图，在四边形ABCD中，，，，且，，则实数的值为          ，若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为          ．
17. 如图，菱形ABCD的边长为3，对角线AC与BD相交于O点，，E为BC边包含端点上一点，则的取值范围是          ，的最小值为          ．
     

18. 如图，在四边形ABCD中，，，且，则实数的值为          ，若是线段BC上的动点，且，则的最小值为          ．

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

19. 已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且A，E，C三点共线．

求实数的值；

若，，求的坐标；

已知点，在的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．






 

20. 如图，在矩形OACB中，E和F分别是边AC和BC上的点，满足，，若，其中，R，求，的值．

21. 已知向量，．
    当x、y为何值时，与共线？
    是否存在实数x、y，使得，且？若存在，求出xy的值；若不存在，说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，在长方形ABCD中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且设．
    Ⅰ试用基底，表示；
    Ⅱ若G为长方形ABCD内部一点，且求证：E，G，F三点共线．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，在中，D是BC边上一点，G是线段AD上一点，且，过点G作直线与AB，AC分别交于点E，F．

用向量，表示．

试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量基本定理的应用问题，解题时应根据向量的加法与减法运算将向量进行分解，属于中档题．
根据平面向量的基本定理，结合向量加法与减法的三角形法则，进行化简运算即可． 

【解答】

解：作出图形，建立如图所示的坐标系，

设，因为，，故BD，
则，，，，
则，．
由题可知，
故，
所以，
故，
解得．
故选D．

2.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题主要考查平面向量的坐标运算，注意理解题中所给的定义并解决新问题，属于基础题．
由题意，根据向量的坐标运算求出向量，设向量在另一组基底下的坐标为，利用坐标运算，列出方程即可求出，

【解答】

解：在基底，下的坐标为，

．

令，，

解得

在基底，下的坐标为．
故选D．

3.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题主要考查平面向量的基本定理的应用，以及向量的加减运算，属于基础题．
根据已知及平面向量的基本定理，向量的加减运算求解．

【解答】

解：如图所示：

因为E是OD的中点，

所以，

又因为∽，

所以，

所以，

所以，

又因为在三角形AOE中，，

所以，

故选B．

4.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的坐标表示，实数与向量的积，平面向量基本定理，是一个基础题．
设，根据题意列方程组解出，即可．

【解答】

解：根据平面向量基本定理，得，

即．

解得：，．

．

故选B．

5.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查了向量坐标运算性质、向量相等，属于基础题．
，可得，即可得出．

【解答】

解：，
，
则点D的坐标为．
故选：A．

6.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题给出两个向量互相平行，求实数x的值，着重考查了平面向量的坐标运算、平行向量与共线向量等知识，属于基础题．
由题中向量的坐标结合向量平行的坐标表示公式，列出关于x的方程并解之，即可得到实数x的值．

【解答】

解：，，且，
，解之得
故选：D．

7.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查向量的数量积和垂直的运算，属于基础题．
可求出，这样根据，即可得出，解出即可．

【解答】

解：，且，
，解得．
故选C．

8.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查了空间向量的加减、数乘运算，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．
利用空间向量的加减、数乘运算可得结果．

【解答】

解：由三角形法则可得：




，
故选：C．

9.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则、向量平行，是基础题．
先求出，再由，求出实数．

【解答】解：向量，，
，
，，
，
解得．
故选：A．  

10.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了向量平行的判定以及向量的坐标运算，属于基础题．
先根据向量平行求出m的值，然后进行向量的坐标运算即可．

【解答】解：因为，所以．
解得．
所以．
故选C．  

11.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查数量积的坐标表达式，向量垂直的坐标关系，属于基础题．
根据两个向量的坐标，写出的坐标，根据两个向量的垂直关系，得到两个向量的数量积等于0，得到关于k的方程，解方程即可．

【解答】

解：，，，
，
，
，
，
解得，
故选C．
 

12.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查了向量垂直的坐标表示，向量的坐标运算，属于基础题．
根据向量的加减法得向量，，再结合垂直关系计算的值即可．

【解答】

解：，．
，．
，
，
，解得．
故选B．

13.【答案】7
 

【解析】

【分析】

本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量坐标运算法则和向量垂直的性质的合理运用．利用平面向量坐标运算法则先求出，再由向量与垂直，利用向量垂直的条件能求出m的值．

【解答】

解：向量，，
，
向量与垂直，
，
解得．
故答案为7．

14.【答案】0或
 

【解析】

【分析】

考查向量的概念与向量的模，考查运算求解能力，利用坐标法求解是关键，是拔高题．
以A为坐标原点，分别以AB，AC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，求得B与C的坐标，再把的坐标用m表示．由列式求得m值，然后分类求得D的坐标，则CD的长度可求．

【解答】

解：如图，以A为坐标原点，分别以AB，AC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，

则，，
由，
得，
整理得：
．
由，得，
解得或．
当时，，此时C与D重合，；
当时，直线PA的方程为，
直线BC的方程为，
联立两直线方程可得，．
即，
．
的长度是0或．
故答案为：0或．

15.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了单位向量和平面向量数量积的坐标运算，属于基础题．
根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出的值．

【解答】解：由题意，设，，
则，；
又与夹角为，
，
即，解得．
故答案为．  

16.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的数量积，属于拔高题．
可得，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，则点其中，得出关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得的最小值．

【解答】

解：，
，
，

，

解得，

以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
，，

，
的坐标为，

又，则，
设，则其中，

，，

，

所以当时，取得最小值．

故答案为 ．

17.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量数量积的运算，涉及平面向量坐标表示及运算，属于较难题．
当时AE最短，根据菱形性质及所给数据可求得最小为，当E与C重合时，AE最长为；
以O为原点，BD所在直线为x轴建立直角坐标系，BC所在直线方程：，设，用坐标表示出，其中，再结合二次函数最值求解即可．

【解答】

解：根据菱形性质可得，则．

作，则，此时AE最短，当E与C重合时，AE最长，故，即；
以O为原点，BD所在直线为x轴建系如图：

则，，，
所以BC：，设，
则
，其中，
对称轴为，故当时最小，最小值为．
故答案为：；．

18.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题．
可得，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，则点其中，得出关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得的最小值．

【解答】

解：，，，

，

解得，

以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

，

，的坐标为，

又，则，
设，则其中，

，，

，

所以，当时，取得最小值．

故答案为：；．

19.【答案】解：， 

，E，C三点共线，存在实数k，使得 

即， 
得 
，是平面内两个不共线的非零向量， 
， 解得，；
；
、B、C、D四点构成平行四边形，  
设，则， 
又， ， 
解得， 点．

【解析】本题考查的是平面向量的坐标运算、向量共线的充要条件，属于中档题．
，，E，C三点共线，存在实数k，使得再将所得向量坐标化，即可得正确结论；

由已知几何条件得到，再坐标化，得到的坐标；

、B、C、D四点构成平行四边形，  设，则， 又，列方程组可求点A的坐标．

20.【答案】解：因为，，
在矩形OACB中，，
又

，
所以，，
所以．

【解析】本题考查平面向量基本定理，属于基础题．
根据题意得出，则，由此即可求出结果．
 

21.【答案】解：因为与共线，所以存在实数，使得，
所以解得
所以当，y为任意实数时，与共线．
由


由
联立解得或
所以或．
所以存在实数x，y，使得，且，
此时或．
 

【解析】本题主要考查了平面向量共线的条件，向量的坐标运算，平面向量垂直的性质以及向量的模，属于中档题．
因为与共线，所以存在实数，使得，代入坐标即可；
由平面向量的垂直得到数量积为零和向量的模长相等得到两个式子，联立即可得到结果．
 

22.【答案】解：Ⅰ由题，，
．
Ⅱ，
，
，
，G，F三点共线．
 

【解析】本题考查平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量加法法则的合理运用．
Ⅰ根据题意，由平面向量的线性运算法则即可用基底，表示；
Ⅱ可得，，，G，F三点共线．
 

23.【答案】解：，
，，
即
．

设，，
则，

因为
，

所以，即，
故为定值．

【解析】本题考查了向量的加法、减法、数乘运算，平面向量的基本定理及其应用，属于中档题．
由可得，由向量的线性运算即可解题；
设，，由向量的线性运算可得，由此即可解题．