高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示精品练习

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一．选择题
1．已知向量，，则
A．B．0C．1D．2
【解析】根据题意，向量，，
则，
故选：．
2．在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，，，则 （ ）
A．B．2C．8D．
【解析】在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
则．
故选：．
3．已知向量，，，且，，则
A．3B．C．D．
【解析】，
，，
，
，
．
故选：．
4．已知向量，，若，则
A．3B．C．D．
【解析】向量，，，
，解得，
，
．
故选：．
5．已知向量，，若，则实数
A．1B．C．D．5
【解析】因为，
所以，
即，
整理得，
又因为，，
所以，
解得．
故选：．
6．已知向量，，若，则
A．5B．C．D．10
【解析】向量，，，
，
解得，
，
则．
故选：．
7．已知平面向量，，且，则
A．4B．C．D．5
【解析】，，由题得，解得，
所以．
故选：．
8．平面向量，，已知，则
A．3B．C．D．
【解析】平面向量，，已知，
，，即，
则，
故选：．
9．已知向量，，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】由，得，，
得，，
是的充要条件．
故选：．
10．设向量，满足，，则
A．2B．C．D．
【解析】因为向量，满足，，
所以，
可得，
所以．
故选：．
11．已知向量，，若，则
A．10B．2C．D．
【解析】，且，
，解得，
，．
故选：．
12．已知向量，满足，，，则
A．B．C．D．
【解析】由已知得：；
；
；
．
故选：．
13．已知向量，，且，则
A．B．C．1D．3
【解析】根据题意，向量，，则，，
若，则，
解可得：；
故选：．
14．已知平面向量，，且，则
A．1B．2C．D．4
【解析】，，
，，
又，可得，
解得．
故选：．
15．若向量，，则的取值范围是
A．B．，C．D．
【解析】，
，
，，
，
的取值范围是．
故选：．
16．已知向量，满足，，，向量，的夹角为，则
A．B．C．D．5
【解析】，
，
．
故选：．
17．设向量，，，若，设、的夹角为，则
A．B．C．D．
【解析】，，，
，可得，可得，
，
，
，可得，，
．
故选：．
18．设平面上向量，，，，若，则角的大小为
A．B．C．或D．或
【解析】，
，，
，
，且，，
，．
故选：．
19．若向量，则向量与的夹角为锐角的充要条件是（ ）
A．（﹣2，2）B．（0，+∞）
C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣1，0）∪（0，1）
【解析】∵向量，
则向量与的夹角为锐角的充要条件是：
，解得﹣1＜x＜0或0＜x＜1．
∴向量与的夹角为锐角的充要条件是（﹣1，0）∪（0，1）．
故选：D．
20．若向量与向量的夹角为，则
A．B．C．D．
【解析】向量与向量的夹角为，
，
，，
，
故选：．
21．已知，，则“”是“与的夹角为钝角”的
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【解析】，，设与的夹角为，
则．
若，则，当时，，
当且时，与的夹角为钝角．
故“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件．
故选：．
22．已知平面向量，满足，，，，则与的夹角为
A．B．C．D．
【解析】因为，，
所以，
因为，
所以，
即：，
所以，
所以，，
解得：，，
所以，，
故选：．
23．已知向量，满足，，且，则与的夹角为
A．B．C．D．
【解析】向量，满足，，且，
，
，
与的夹角为．
故选：．
24．已知是单位向量，且，则向量与夹角的余弦值为
A．B．C．D．
【解析】由平方得：，
是单位向量，，
向量与夹角的余弦值为．
故选：．
25．已知，，若，那么
A．B．C．D．
【解析】，，
若，则，即，，
故选：．
26．已知向量．若与垂直，则实数
A．B．C．1D．3
【解析】向量，
若与垂直，则
，
实数，
故选：．
27．已知向量，，则在方向上的投影是
A．B．C．3D．
【解析】向量，，
在方向上的投影是，
故选：．
28．已知向量，，则在方向上的投影是
A．B．C．D．
【解析】向量，，
则在方向上的投影是
．
故选：．
29．已知向量，，则向量在向量方向上的投影为
A．B．C．D．
【解析】向量，，
，
在向量方向上的投影为，
故选：．
30．已知点，，，，与同向的单位向量为，则向量在向量方向上的投影向量为
A．B．C．D．
【解析】，，，，
，，
在方向上的投影向量为．
故选：．
31．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为
A．B．C．D．
【解析】向量，，，
向量在向量上的投影向量为：．
故选：．
32．已知，，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为
A．，B．，C．，D．，
【解析】，
在上的投影向量的坐标为：．
故选：．
33．已知向量，，则在方向上的投影为
A．B．C．D．
【解析】，，
，，
在方向上的投影为：．
故选：．
34．已知向量，，则在方向上的投影为
A．B．8C．D．
【解析】，，
，，
在方向上的投影为：．
故选：．
35．已知，，，则向量在方向上的投影是
A．B．C．D．1
【解析】根据投影的定义，
可得向量在向量方向上的投影是：
，（其中为向量与的夹角），
故选：．
36．已知向量＝（1，x），＝（x，9），则x＜0是＜，＞为钝角的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】根据题意，向量＝（1，x），＝（x，9），若＜，＞为钝角，则•＜0且与不共线，
则有，解可得x＜0且x≠﹣3，
故当x＜0时，＜，＞不一定是钝角，反之若＜，＞为钝角，必有x＜0，
故x＜0是＜，＞为钝角的必要不充分条件，
故选：B．
37．已知向量，，则下列说法不正确的是
A．若，则的值为
B．若，则的值为2
C．的最小值为1
D．若与的夹角为钝角，则的取值范围是
【解析】选项，若，则，所以，即正确；
选项，，，
若，则，解得，即正确；
选项，，
当时，取得最小值1，即正确；
选项，若与的夹角为钝角，则，，
解得且，即错误．
故选：．
38．如图，在直角梯形中，，，，，是线段上的动点，则的最小值为
A．B．6C．D．4
【解析】以为原点，，所在直线分别为，轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，
设，，，
所以，，
所以，
所以，
当，即时，取得最小值，为6．
故选：．
二．多选题
39．已知向量，，，则
A．B．C．D．
【解析】，故对错；
，故错对，综上，正确．
故选：．
40．已知平面向量，且，则（ ）
A．B．向量与的夹角为
C．D．
【解析】因为，所以||＝2，
又因为＝4，即+3||²＝+3＝4，所以＝1≠2，故A错误；
由cs＜，＞＝＝，可得向量与的夹角为，故B正确；
因为（）•＝﹣2||²＝﹣1，而||＝＝2，||＝1．
所以（）•≠±||•||，故C错误；
（）•＝||²﹣4＝4﹣4＝0，所以（）⊥，故D正确；
故选：BD．
41．已知平面向量＝（1，0），＝（1，2），则下列说法正确的是（ ）
A．|+|＝16
B．（+）•＝2
C．向量+与的夹角为30°
D．向量+在上的投影向量为2
【解析】，
则，故A错误；
，故B正确；
，
又，
所以向量与的夹角为60°，故C错误；
向量在上的投影向量为，故D正确．
故选：BD．
42．已知向量，则
A．
B．向量在向量上的投影向量是
C．
D．与向量同向的单位向量是
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于，向量，，则有，故，正确；
对于，向量，则，，则向量在向量上的投影向量是，错误，
对于，向量，，则，正确；
对于，设要求向量为，且，，则有，解可得，则要求向量为，，正确；
故选：．
43．关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是
A．若，则
B．，若与平行，则
C．非零向量和满足，则与的夹角为
D．点，，与向量同方向的单位向量为
【解析】对于，若，且，可满足条件，但，故不正确；
对于，由条件，，若这两向量平行，有，解得，故正确；
对于，由条件可知，以向量和为边对应的四边形为一个角是的菱形，则与的夹角为，故正确：
对于，可得，因此与同方向的单位向量为，，故正确；
故选：．
三．填空题（共12小题）
44．已知，，则 ．
【解析】，，
，
故答案为：．
45．若，，且， ．
【解析】因为，，且，
所以，解得，
所以，，，
所以．
故答案为：．
46．已知向量，，若，，则 ．
【解析】因为，
可设，由可得，，，
所以，解得，
所以，故．
故答案为：．
47．已知向量，且，则___________．
【解析】由，所以，解得．故答案为．
48．已知向量，若，则___________．
【解析】，得
所以．故答案为2
49．已知向量，，则与夹角的余弦值为 ．
【解析】向量，，
则，
所以．
故答案为：．
50．已知向量，，，若，则实数 ．
【解析】，，，
，，
，，
，
故答案为：．
51．已知向量，，，若，则 ．
【解析】向量，，，
，，，，
，
，
，
解得．
故答案为：．
52．已知向量，，若，则 ．
【解析】向量，，若，
则，，
，，，，，
则，
故答案为：．
53．已知向量，，则在方向上的投影为 ．
【解析】，
在方向上的投影为，
故答案为：．
54．已知向量，，，则在方向上的射影为 ．
【解析】，，
在方向上的射影为：．
故答案为：．
55．已知向量，，且与向量的夹角为，则向量在向量方向上的投影为 ．
【解析】，，，
又与向量的夹角为，即，解得，
，，
向量在向量方向上的投影为．
故答案为：．
四．解答题
56．已知向量，．
（Ⅰ）当，且时，求；
（Ⅱ）当，求向量与的夹角．
【解析】（Ⅰ），
，，，解得或（舍去），
；
（Ⅱ），，
，解得，，
，
．
57．已知向量，若，
（1）求向量与的夹角；
（2）求的值．
【解析】（1），．
，，解得，
，，，
，
所以向量与的夹角为．
（2），
．
58．已知向量，．
（1）求与的夹角；
（2）求；
（3）若，求实数的值．
【解析】（1），，
，，，
设向量与的夹角为，则，
又由，，，即向量与的夹角为；
（2）；
（3），且，
，解得：．
59．已知，，．
（1）求向量与所成角的余弦值；
（2）若，求实数的值．
【解析】（1），，．
设向量与所成角为，
则，
向量与所成角的余弦值为．
（2），，
又，
，解得．
60．已知向量，，，且，．
（1）求与；
（2）若，，求向量，的夹角的大小．
【解析】（1）由，得，解得，
由，得，解得，
，；
（2）因为，，
，，，
，且，
向量，的夹角为．
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