高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示精品课时练习

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已知两个非零向量，，，其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
注：(1)两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ＜90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°＜θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)．
(2)公式a·b＝|a||b|cs〈a，b〉与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．
知识点2 向量垂直与向量平行的坐标表示
向量垂直与向量平行的条件容易混淆，注意以下特点
知识点3 平面向量的模的坐标表示
(1)平面向量的模的坐标公式
设，则或，其含义是：向量的模等于向量坐标平方和的算术平方根．
(2)平面内两点间的距离公式
如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么，其含义是：向量的模等于A，B两点之间的距离．
知识点4 平面向量夹角的坐标表示
已知非零向量，是与的夹角，则．
知识点5 平面向量投影的坐标表示
已知非零向量，是与的夹角，则向量在向量方向上的投影为
向量在向量方向上的投影为
考点一 平面向量数量积的坐标运算
解题方略：
平面向量数量积坐标运算的两条途径
进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：
一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；
二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
【例1】已知，，则=___________.
变式1：设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝( )
A．12 B．0 C．－3 D．－11
变式2：设a＝(1，－2)，b＝(3,1)，c＝(－1,1)，则(a＋b)·(a－c)等于( )
A．11 B．5 C．－14 D．10
变式3：已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝eq \r(10)，则a·b＝________.
变式4：a＝(－4,3)，b＝(5,6)，则3|a|2－4a·b等于( )
A．23 B．57 C．63 D．83
变式5：已知a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x＝( )
A．6 B．5 C．4 D．3
变式6：若向量与向量共线，则___________.
变式7：已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b与a共线，那么a·b＝________.
变式8：设向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于( )
A．－eq \f(7,2) B．－eq \f(1,2) C.eq \f(3,2) D.eq \f(5,2)
变式9：已知a＝(2，－1)，a＋2b＝(6,3)，若b·c＝14，|c|＝5，则向量c的坐标为________．
【例2】在平行四边形ABCD中，eq \(AC,\s\up7(―→))＝(1,2)，eq \(BD,\s\up7(―→))＝(－3,2)，则eq \(AD,\s\up7(―→))·eq \(AC,\s\up7(―→))＝________.
【例3】如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，那么（ ）
A．B．1C．D．2
变式1：如图，在矩形ABCD中，，，点E为边BC的中点，点F在边CD上，若，求的值．
【例4】已知O为坐标原点，向量eq \(OA,\s\up7(―→))＝(2,2)，eq \(OB,\s\up7(―→))＝(4,1)，在x轴上有一点P，使eq \(AP,\s\up7(―→))·eq \(BP,\s\up7(―→))有最小值，则点P的坐标是( )
A．(－3,0) B．(2,0) C．(3,0) D．(4,0)
变式1：在△ABC中，，，M为AC的中点，P在线段AB上，则的最小值为________
变式2：如图，在矩形中，为边的中点，若为折线段上的动点，则的最小值为___________.
考点二 与平面向量模有关的问题
解题方略：
求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算：
利用|a|2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
(2)坐标表示下的运算：
若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝ eq \r(x2＋y2).
【例5】已知a＝(1，eq \r(3))，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝________.
变式1：若平面向量与同向，，，则（ ）
A．B．C．D．或
变式2：已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)·b，则|c|等于________．
变式3：设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于( )
A.eq \r(5) B.eq \r(6) C.eq \r(17) D.eq \r(26)
变式4：已知向量，且，，则（ ）
A．3B．C．D．
变式5：已知向量，，若，则（ ）
A．3B．C．D．
【例6】已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)，c＝a＋λb(λ∈R)，则|c|取最小值时，λ的值为________．
变式1：【多选】向量，，则的值可以是（ ）
A．2B．C．4D．
变式2：已知向量a＝(cs θ，sin θ)，向量b＝(eq \r(3)，0)，则|2a－b|的最大值为________．
变式2：已知向量a＝(1,0)，b＝(cs θ，sin θ)，θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，则|a＋b|的取值范围是( )
A．[0，eq \r(2) ] B．[0,2 ] C．[1,2] D．[eq \r(2)，2]
考点三 向量垂直的坐标运算
解题方略：
设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
【例7】若a＝(2，－3)，则与向量a垂直的单位向量的坐标为( )
A．(3,2) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3 \r(13),13)，\f(2 \r(13),13))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3 \r(13),13)，\f(2 \r(13),13)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3 \r(13),13)，－\f(2 \r(13),13))) D．以上都不对
【例8】已知向量，且，则_______.
变式1：已知向量a＝(x－5,3)，b＝(2，x)，且a⊥b，则由x的值构成的集合是( )
A．{2,3} B．{－1,6} C．{2} D．{6}
变式2：已知向量，，若，则t的值为（ ）
A．B．1C．2D．1或2
变式3：设向量a＝(3,3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________.
变式4：已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k的值为( )
A．－eq \f(9,2) B．0 C．3 D.eq \f(15,2)
变式5：已知，，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．2
变式6：已知向量，若，则实数__________.
变式7：已知，，且，则（ ）
A．2B．C．4D．
变式8：已知a＝(1，n)，b＝(－1，n)．若2a－b与b垂直，则|a|＝( )
A．1 B.eq \r(2) C．2 D．4
变式9：设非零向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
考点四 向量夹角的坐标运算
解题方略：
利用数量积的坐标运算求两向量夹角的步骤
(1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积．
(2)利用|a|＝ eq \r(x2＋y2)计算出这两个向量的模．
(3)由公式cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))·\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))直接求出cs θ的值．
(4)在[0，π]内，由cs θ的值求角θ.
【例9】(2019·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，则cs〈a，b〉＝________.
变式1：已知向量，，则与夹角的大小为_________.
变式2：已知向量，若a与b夹角为，则_________.
变式3：已知向量eq \(AB,\s\up7(―→))＝(4,0)，eq \(AC,\s\up7(―→))＝(2,2)，则eq \(AC,\s\up7(―→))与eq \(BC,\s\up7(―→))的夹角的大小为________．
变式4：已知点，，，，则向量与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
变式5：已知A(2,1)，B(3,2)，C(－1,4)，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形
变式6：已知向量，，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
变式7：设向量，，则与夹角的余弦值为（ ）
A．0B．C．D．1
变式8：若向量，则与的夹角余弦值为（ ）
A．B．C．D．
变式9：已知向量，向量，则与的夹角大小为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
变式10：设向量与的夹角为，，，则（ ）
A． B．1 C．D．
变式11：如果正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，那么cs∠DOE的值为________．
变式12：已知单位向量，满足，则与的夹角是_________.
变式13：已知向量，且，则向量与的夹角为___________.
变式14：已知，，，则向量与的夹角的余弦值为___________.
变式15：已知非零向量、满足，且，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
变式16：若a＝(3，－1)，b＝(x，－2)，且〈a，b〉＝eq \f(π,4)，则x＝________.
变式17：已知向量，若向量的夹角为，则的值为_________.
【例10】已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：
(1)a与b的夹角为直角；
(2)a与b的夹角为钝角；
(3)a与b的夹角为锐角．
变式1：若a＝(x,2)，b＝(－3,5)，且a与b的夹角是钝角，则实数x的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(10,3))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(10,3)))C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,3)，＋∞)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,3)，＋∞))
变式2：若向量与的夹角为锐角，则t的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
变式3：若向量，则向量与的夹角为锐角的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
考点五 向量投影的坐标运算
【例11】已知向量 ，，则向量在向量上的投影向量为________（用坐标表示）．
变式1：已知向量，向量，则向量在方向上的投影向量为______．
变式2：设向量，，且在方向上的投影为，则___________.
【例12】已知向量，，则在方向上的投影为___________.
变式1：已知点A（-1，1）､B（1，2）､C（-2，-1）､D（3，4），则向量在方向上的投影为___________.
变式2：己知向量，满足，，且，则在上的投影为_________．
变式3：已知向量，，且在上的投影等于，则的值为__________．
变式4：已知向量满足，则向量在向量方向上的投影为（ ）
A．2B．C．1D．
变式5：已知向量，，，则在方向上的投影为（ ）
A．B．C．D．
变式6：已知向量在正方形网格（小正方形的边长为1）中的位置如图所示则向量在向量上的投影的数量为____________．
变式7：已知，在上的投影为，则与的夹角为___.
变式8：已知向量，若在上的投影为，则（ ）
A．B．C．D．
变式9：已知，，且，则向量在向量方向上的投影的最大值为_______
练习一 平面向量数量积的坐标运算
1、已知向量，则（ ）
A．0B．1C．D．2
2、已知，，，则________．
3、已知向量，若，，则___________.
4、在直角三角形ABC中，C=90°，AB=5，AC=4，求；
5、已知坐标平面内，，，，．
(1)当，，三点共线时，求的值；
(2)当取最小值时，求的坐标，并求的值．
练习二 与平面向量模有关的问题
1、(2019·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|＝( )
A.eq \r(2) B．2 C．5eq \r(2) D．50
2、已知向量，，则（ ）
A．B．10C．5D．25
3、已知向量，，那么（ ）
A．5B．C．8D．
4、已知向量，，则（ ）
A．B．C．D．
5、已知向量，，若，则___________.
6、已知向量，，，，则（ ）
A． B．4 C．D．
7、已知向量，，且，则（ ）
A．15B．C．16D．225
8、若，且___________.
9、设，向量，，，则（ ）
A．B．C．D．
10、已知向量，且，则_______.
11、在平面直角坐标系中，设，向量，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．
练习三 向量垂直的坐标运算
1、已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．2
2、已知向量，，，则实数k的值为（ ）
A．B．C．6D．
3、已知平面向量，，若，则______．
4、若，，，则（ ）
A．1B．C．0D．2
5、已知向量(1,2)，(,)，其中，若与垂直，则θ=（ ）
A． B． C．D．
6、已知向量，.若向量与垂直，则________.
7、已知，，若，则______.
8、已知平面向量，，若与垂直，则______．
9、已知向量，，且满足，则的值为___________.
10、已知平面向量，，若，则k的值为___________.
11、若向量，，则（ ）
A．B．
C．D．
12、已知向量
(1)若，求x的值；
(2)记，解不等式.
练习四 向量夹角的坐标运算
1、已知向量，，则cs<>=___________.
2、已知向量，满足，，则向量与的夹角为________．
3、若向量，，则与的夹角等于______.
4、已知向量，.则与的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5、已知向量，，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则的值为
B．的最小值为
C．若，则的值为
D．若与的夹角为钝角，则的取值范围是且
6、已知a＝(1,2)，b＝(1，－1)．
(1)若θ为2a＋b与a－b的夹角，求θ的值；
(2)若2a＋b与ka－b垂直，求k的值．
7、设平面上向量a＝(cs α，sin α)(0°≤α≤90°)，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).
(1)求a与b的夹角θ.
(2)求证：a＋b与a－b垂直．
8、设平面三点A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，
(1)试求向量2eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→))的模；
(2)若向量eq \(AB,\s\up7(―→))与eq \(AC,\s\up7(―→))的夹角为θ，求cs θ.
9、已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．
(1)若|c|＝2eq \r(5)，且c∥a，求c的坐标；
(2)若|b|＝eq \f(\r(5),2)，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
练习五 向量投影的坐标运算
1、已知向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
2、已知向量，，则在方向上的投影为________．
3、已知向量，，则在方向上的投影是______.
4、若平面向量，则在上的投影为___________.
5、已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（ ）
B． C．D．
6、已知向量，，则______；向量在向量的投影向量是______．
7、已知向量＝（1，），向量在方向上的投影为﹣6，若（λ+）⊥，则实数λ的值为（ ）
A．B．﹣C．D．3
8、已知向量，，且在方向上的投影为，则（ ）
A．B．C．D．
9、【多选】已知向量，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．与夹角为锐角时，则t的取值范围为D．当时，在上的投影为
10、【多选】已知，，则下列说法正确的有（ ）
A．在方向上的投影为B．与同向的单位向量是
C．D．与平行
11、【多选】如果平面向量，，那么下列结论中正确的是（ ）
A．B．与平行的一个单位向量为
C．与的夹角为D．在方向上的投影为
12、【多选】已知向量，，若，在向量上的投影相等，且，则向量的坐标为（ ）
A． B． C．D．非零向量
坐标表示
记忆口诀
垂直
a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0
对应相乘相加和为0
平行
a∥b⇔x1y2－x2y1＝0
交叉相乘相减差为0