高中数学6.3 平面向量基本定理及坐标表示精品一课一练

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知识点1 平面向量加、减运算的坐标表示
考点一 平面向量加法运算的坐标表示
解题方略：
平面向量坐标运算的技巧
(1)进行平面向量坐标运算前，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系．
(2)在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的坐标运算法则进行计算．
已知A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2–x1，y2–y1）．
已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a+b=（x1+x2，y1+y2）．
(3)在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用．
【例1】已知向量，，则向量（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为向量，，所以故选：A.
变式1：若向量，，则（ ）
A．（4，6）B．(-4，-6)C．(-2，-2)D．(2，2)
【解析】.故选：A
变式2：若，，，则=（ ）
A．B．0C．1D．2
【解析】∵，∴，故选：A.
变式3：已知向量，，则（ ）
A．B．5C．7D．25
【解析】根据题意，向量，，则，故.故选：B．
变式4：已知向量，，且，则______.
【解析】因为向量，，
所以，
，
因为，所以，解得.
故答案为：.
变式5：如果点按向量平移后得到点，则点按向量平移后得到点N的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为，所以点N的坐标为．
故选：C．
变式6：设，，，若，求实数x，y的值．
【解析】由题设，，∴，解得.
【例2】如图所示的方格纸中有定点O、P、Q、E、F、G、H，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】如图建立平面直角坐标系，则，，，，，，所以，，，，，
所以，所以；
故选：C
变式1：渭河某处南北两岸平行，如图所示．某艘游船从南岸码头A处出发航行到北岸，假设游船在静水中航行速度大小为，水流由西向东，速度的大小为设速度与速度的夹角为，北岸的点在码头A的正北方向．那么该游船航行到达北岸的位置应（ ）
A．在东侧B．在西侧C．恰好与重合D．无法确定
【解析】如图建立直角坐标系，时，
水流速度为，
轮船的速度，
，
这说明船有x轴正方向的速度，即向东的速度，
故该游船航行到达北岸的位置应在的东方，
故选：A.
考点二 平面向量减法运算的坐标表示
解题方略：
已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），a–b=（x1–x2，y1–y2）
【例3】已知向量，，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题设，.故选：C.
变式1：已知，，是的单位向量，则的坐标为___________.
【解析】已知，，则，
故向量的单位向量为
故答案为：.
变式2：已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】，故选：A.
变式3：设，，则（ ）.
A．B．C．D．
【解析】因为，，
所以.
故选：A.
变式4：在平行四边形ABCD中，，，，则的坐标为______．
【解析】，故答案为：．
变式5：若，，，，且，则实数x，y的值分别是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【解析】由题意，，又，故选：C
变式6：已知点A（0，1），B（3，2），向量，则向量等于（ ）
A．（－7，－4）B．（7，4）
C．（－1，4）D．（1，4）
【解析】设，则
所以，，即.
所以.
故选：A
考点三 平面向量加、减法运算的坐标运算的综合应用
解题方略：
1向量的坐标运算主要是利用加法、减法运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，要注意三角形法则及平行四边形法则的应用.
2若是给出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.
【例4】边长为1的正方形ABCD中，设，，，则______．
【解析】建立平面直角坐标系，如图所示；
在正方形ABCD中，，，，
则，
∴．
故答案为：2．
变式1：已知边长为单位长度的正方形ABCD，若A点与坐标原点重合，边AB、AD分别落在x轴、y轴的正方向上，则向量eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))的坐标为________．
【解析】根据题意建立平面直角坐标系(如图)，则各顶点的坐标分别为A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，所以eq \(AB,\s\up6(→))＝(1,0)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(0,1)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(1,1)，所以eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝(1,0)－(0,1)＋(1,1)＝(2,0)．
变式2：设向量，，，若，，可组成一个三角形，则t=______.
【解析】因为，，，且，，可组成一个三角形
，
．
故答案为：3．
变式3：已知平行四边形ABCD的三个顶点，，的坐标分别是,,,，则向量的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【解析】平行四边形的三个顶点，，的坐标分别是,,,，
∴，
,,,，,,,．
,,,．
故选：B．
变式4：在平行四边形ABCD中，A(1,2)，B(3,5)，eq \(AD,\s\up7(―→))＝(－1,2)，则eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \(BD,\s\up7(―→))＝( )
A．(－2,4) B．(4,6) C．(－6，－2) D．(－1,9)
【解析】在平行四边形ABCD中，因为A(1,2)，B(3，5)，所以eq \(AB,\s\up7(―→))＝(2,3)．又eq \(AD,\s\up7(―→))＝(－1,2)，所以eq \(AC,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→))＝(1,5)，eq \(BD,\s\up7(―→))＝eq \(AD,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→))＝(－3，－1)，所以eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \(BD,\s\up7(―→))＝(－2,4)．故选A.
变式5：在平行四边形中，为一条对角线．若，，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】在平行四边形中， ，，
所以，
所以.
故选：B
变式6：已知O为坐标原点，，，．求证：是等腰直角三角形．
【解析】因为，，，
所以，，，
所以，
所以，且，所以是等腰直角三角形．
练习一 平面向量加法运算的坐标表示
1、已知，，那么=（ ）
A．（2，2）B．（3，0）C．（4，1）D．（3，2）
【解析】因为，，所以，
故选：D.
2、已知向量，，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为，，故.
故选：B
3、若向量，则的坐标为（ ）
A．（2，3）B．（0，3）
C．（0，1）D．（3，5）
【解析】因为，所以，故选：B
4、已知，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】.故选：C
5、已知向量，，则______
【解析】向量，，，
练习二 平面向量减法运算的坐标表示
1、向量，，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题设知：，故选：B
2、若，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为，，
所以．
故选：D．
3、若向量，，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为向量，，
所以；
故选：B.
4、若向量，，则___________.
【解析】．
故答案为：．
5、已知向量，，则___________.
【解析】因为，，
所以，
故答案为：
练习三 平面向量加、减法运算的坐标运算的综合应用
1、已知向量，则____________
【解析】由题意，
又因为，所以，
故答案为：
2、已知，，，则点的坐标为___________，的坐标为___________.
【解析】∵ ，，，
∴ ，∴ 点的坐标为，，
故答案为：，.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
向量加法
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
向量减法
a－b＝(x1－x2，y1－y2)
两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
若点A坐标为(x1，y1)，点B坐标为(x2，y2)，O为坐标原点则eq \(OA,\s\up6(→))＝(x1，y1)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(x2，y2)，eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.