高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示当堂检测题

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1．已知，，且，则向量与夹角的大小为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】可知，，，所以夹角为，故选:C.
2．已知空间向量，，和实数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则或B．若，则或
C．若，则或D．若，则
【答案】B
【解析】对于选项，若，则或或，故错误；
对于选项，由，得，即可得其模相等，但方向不确定，故错误；
对于选项，由，得，则或或，故错误；对于选项，由，可得或，故正确，故选：.
3．已知向量，，若，且，则实数（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为向量，，则，
又，所以，解得 .故选：D．
4．若向量，满足，，，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由可得：，
即，
将，代入可得：，
所以，故选：B
5.在平面直角坐标系中，已知三点为坐标原点.若向量，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意得，
∵向量，
∴，
∴，
∴，
所以当时，取得的最小值，且最小值为．故选：B．
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．在直角坐标系xOy中，i, j分别是与x轴，y轴同向的单位向量，若直角三角形ABC中，AB=2i+j，AC=3i+kj，则k的可能值为（ ）
A.-6B. 1C. 6D. -1
【答案】AD
【解析】解：∵AB=2i+j，AC=3i+kj，∴BC=AC−AB=i+(k−1)j，
∵△ABC为直角三角形，
(1)当∠A=90°时，AB⋅AC=6+k=0，解得k=−6；
(2)当∠B=90°时，AB⋅BC=2+k−1=0，解得k=−1；
(3)当∠C=90°时，BC⋅AC=3+k(k−1)=0，方程无实解；
综上所述，k=−6或−1，故选：AD．
7.已知向量a⋅b=b⋅c=a⋅c，b=(3,−1)，c=(−1,−3)，下列等式中正确的是（ ）
A. (a⋅b)·c=b⋅c
B. a+b⋅c=a⋅b+c
C. a+b+c2=a2+b2+c2
D. a+b+c=a−b−c
【答案】BCD
【解析】对于选项A,由题得：b·c=−3+3=0，所以a⋅b=b⋅c=a⋅c=0，
(a⋅b)·c=0，b·c=0，不相等，所以A错误；
对于选项B,(a+b)·c−a·(b+c)=a·c+b·c−a·b−a·c=0，所以a+b⋅c=a⋅b+c，所以B正确；
对于选项C,(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=a2+b2+c2，所以C正确；
对于选项D,(a−b−c)2=a2+b2+c2−2a·b+2b·c−2a·c=a2+b2+c2，
即(a+b+c)2=(a−b−c)2，所以a+b+c=a−b−c，所以D正确．故选：BCD．
8．已知向量，，则（ ）
A．若与垂直，则B．若，则的值为
C．若，则D．若，则与的夹角为
【答案】BC
【解析】对于选项A：由，可得，解得，故A错误，
对于选项B：由，可得，解得，∴，
∴，故B正确；
对于选项C：若，则，则，故C正确：
若，对于选项D：：设与的夹角为，
则，故D错误． 故选:BC．
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则的值为__________;=____________
【答案】3 2
【解析】由，，得，则，．故答案为:3 2
10．已知是，夹角为的两个单位向量，则与的夹角是__________
【答案】
【解析】
，
，
设的夹角为，.故答案为:
11．已知，则等于______.
【答案】
【解析】由，，得.
由⊥，得，即，解得.
故答案为:.
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．已知．
（1）求的坐标和模；
（2）求与的夹角的余弦值．
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）∵．
∴，．
（2），∴与的夹角的余弦值为．
13．(1)已知|a|=4，|b|=3，(2a−3b)⋅(2a+b)=61，求a与b的夹角θ．
(2)设OA=2,5，OB=3,1，OC=6,3，是否存在点M，使O，M，C三点共线，且MA⊥MB？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1);(2)M(2,1)或M(225,115)
【解析】(1)∵(2a−3b)⋅(2a+b)=61，
∴4a2−4a⋅b−3b2=61．
又|a|=4，|b|=3，
∴a⋅b=−6．
∴csθ=a⋅b|a|⋅|b|=−12，
∴θ=120∘．
(2)设存在点M ，且OM→=λOC→=(6λ,3λ)(0