高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数学案，共6页。

4.4.3《不同函数增长的差异》


、选择题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 当2＜x＜4时，2x，x2，lg2x的大小关系是( )


A.2x＞x2＞lg2x B.x2＞2x＞lg2x


C.2x＞lg2x＞x2 D.x2＞lg2x＞2x





LISTNUM OutlineDefault \l 3 有一组实验数据如下表所示：





下列所给函数模型较适合的是( )


A.y=lgax(a>1) B.y=ax＋b(a>1)


C.y=ax2＋b(a>0) D.y=lgax＋b(a>1)


LISTNUM OutlineDefault \l 3 某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )


A.一次函数 B.二次函数


C.指数型函数 D.对数型函数





LISTNUM OutlineDefault \l 3 某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y=alg2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到( )


A.300只 B.400只 C.500只 D.600只


LISTNUM OutlineDefault \l 3 三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：





则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为( )


A.y1，y2，y3 B.y2，y1，y3 C.y3，y2，y1 D.y1，y3，y2


LISTNUM OutlineDefault \l 3 某地为加强环境保护，决定使每年的绿地面积比上一年增长10%，那么从今年起，x年后绿地面积是今年的y倍，则函数y=f(x)的大致图象是( )








LISTNUM OutlineDefault \l 3 某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是( )


A.y=0.2x B.y=eq \f(1,10)(x2＋2x) C.y=eq \f(2x,10) D.y=0.2＋lg16x




















LISTNUM OutlineDefault \l 3 在同一坐标系中画出函数y=lgax，y=ax，y=x＋a的图像，可能正确的是( )








、填空题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 函数y=x2与函数y=xln x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y=alg2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到__________.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 某种病菌经30分钟繁殖为原来的2倍，且知这种病菌的繁殖规律为y=ekt(k为常数，t为时间，单位：小时)，y表示病菌个数，则k=________；经过5小时，1个病菌能繁殖为________个.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示.





以下四种说法：


①前三年产量增长的速度越来越快；


②前三年产量增长的速度越来越慢；


③第三年后这种产品停止生产；


④第三年后产量保持不变.


其中说法正确的序号是________.





、解答题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系如图所示.





(1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；


(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜.
































LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x m.要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少米？









































LISTNUM OutlineDefault \l 3 某公司生产一种产品的固定成本为0.5万元，但每生产100件需要增加投入0.25万元，市场对此产品的需求量为500件，销售收入为函数


R(x)=5x－eq \f(x2,2)(0≤x≤5)万元，其中x是产品售出的数量(单位：百件).


(1)把利润表示为年产量的函数f(x)；


(2)年产量为多少时，当年公司所得利润最大？






















































































LISTNUM OutlineDefault \l 3 复利是把前一期的利息和本金加在一起作本金，再计算下一期利息的一种计算利息的方法.某人向银行贷款10万元，约定按年利率7%复利计算利息.


(1)写出x年后，需要还款总数y(单位：万元)和x(单位：年)之间的函数关系式；


(2)计算5年后的还款总额(精确到元)；


(3)如果该人从贷款的第二年起，每年向银行还款x元，分5次还清，求每次还款的金额x(精确到元).


(参考数据：1.073=1.225 0，1.074=1.310 8，1.075=1.402 551，1.076=1.500 730)


























答案解析


LISTNUM OutlineDefault \l 3 \s 1 答案为：B；


解析：法一：在同一平面直角坐标系中分别画出函数y=lg2x，y=x2，y=2x，在区间(2,4)上从上往下依次是y=x2，y=2x，y=lg2x的图象，所以x2＞2x＞lg2x.


法二：比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法.可取x=3，经检验易知选B.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；


解析：通过所给数据可知s随t增大，其增长速度越来越快，而A，D中的函数增长速度越来越慢，B中的函数增长速度保持不变，故选C.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D；


解析：一次函数保持均匀的增长，不能体现题意；二次函数在对称轴的两侧有增也有降；而指数函数是爆炸式增长，不符合“增长越来越慢”；因此，只有对数函数最符合题意，先快速增长，后来越来越慢.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：A；


解析：由已知第一年有100只，得a=100. 将a=100，x=7代入y=alg2(x＋1)，得y=300.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；


解析：通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数函数的增长速度越来越快，y2随x的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y1随x的变化符合此规律，故选C.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D；


解析：设今年绿地面积为m，则有my=(1＋10%)xm，∴y=1.1x，故选D.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；


解析：将x=1,2,3，y=0.2,0.4,0.76分别代入验算.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D；


解析：函数y=ax与y=lgax的单调性相同，由此可排除C；直线y=x＋a在y轴上的截距为a，则选项A中01，显然y=ax的图像不符，排除A，B，选D.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：y=x2


解析：当x变大时，x比ln x增长要快，∴x2要比xln x增长得要快.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：300;


解析：由已知第一年有100只，得a=100.


将a=100，x=7代入y=alg2(x＋1)，得y=300.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：2ln 2 1 024


解析：设病菌原来有1个，则半小时后为2个，得2=eeq \f(k,2)，


解得k=2ln 2，y(5)=e(2ln 2)·5=e10ln 2=210=1 024(个).


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：②③；


解析：由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y=xa(0




LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：(1)由图象可设y1=k1x＋29，y2=k2x，


把点B(30,35)，C(30,15)分别代入y1，y2的解析式，得k1=eq \f(1,5)，k2=eq \f(1,2).


∴y1=eq \f(1,5)x＋29(x≥0)，y2=eq \f(1,2)x(x≥0).


(2)令y1=y2，即eq \f(1,5)x＋29=eq \f(1,2)x，则x=96eq \f(2,3).


当x=96eq \f(2,3)时，y1=y2，两种卡收费一致；


当x＜96eq \f(2,3)时，y1＞y2，使用便民卡便宜；


当x＞96eq \f(2,3)时，y1＜y2，使用如意卡便宜.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：因为长为x m，则宽为eq \f(50－x,3) m，设面积为S m2，


则S=x·eq \f(50－x,3)=－eq \f(1,3)(x2－50x)=－eq \f(1,3)(x－25)2＋eq \f(625,3)(12.5

所以当x=25时，S取得最大值，


即鸡场的长度为25米时，面积最大.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：(1)设年产量为x(百件)，


当0≤x≤5时，f(x)=5x－eq \f(x2,2)－(0.5＋0.25x)；


当x>5时，销售收入为eq \f(25,2)万元，此时f(x)=eq \f(25,2)－(0.5＋0.25x)=12－0.25x


∴f(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(x2,2)＋\f(19,4)x－\f(1,2)，0≤x≤5，,12－0.25x，x>5.))


(2)当0≤x≤5时，f(x)=－eq \f(1,2)(x－4.75)2＋10.781 25；


当x>5时，函数f(x)为单调递减函数.


∴当年产量为475件时，公司所得利润最大.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：


(1)y=10·(1＋7%)x，定义域为{x|x∈N*}.


(2)5年后的还款总额为y=10×(1＋7%)5=10×1.075=14.025 5.


答：5年后的还款总额为140 255元(或14.025 5万元).


(3)由已知得x(1＋1.07＋1.072＋1.073＋1.074)=14.025 5.


解得x=2.438 9.


答：每次还款的金额为24 389元(或2.438 9万元).