高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数学案及答案

2021-2022（上） 全品学练考 高中数学 必修第一册 RJA（新教材）

4.4.3　不同函数增长的差异

【课前预习】

知识点

单调递增　单调递增　单调递增　y轴　x轴　①越来越快　越来越慢　②ax>kx>logax

诊断分析

1.(1)×　(2)√　(3)√　(4)√

2.解:三个函数在(0,+∞)上都单调递增,且当x2=2x时,x=2或x=4,所以在(0,2)上,2x>x2>log2x,在(2,4)上,x2>2x>log2x,在(4,+∞)上,2x>x2>log2x.虽然对数函数y=log2x、幂函数y=x2、指数函数y=2x在区间(0,+∞)上都单调递增,但它们的增长速度不同.随着x的增大,对数函数y=log2x的增长速度越来越慢,幂函数y=x2、指数函数y=2x的增长速度均越来越快,但当x>4时,总有2x>x2>log2x.

【课中探究】

探究点一

例1　(1)A　(2)C　[解析] (1)对于指数函数y=ax(a>1),y随x的增大而增大,且在指数函数、幂函数、对数函数、一次函数中,指数函数的增长速度最快,故选A.

(2)通过所给数据可知y随x的增大,其增长速度越来越快,而A,D中的函数模型增长速度越来越慢,B中的函数模型增长速度保持不变,故选C.

变式　(1)C　(2)①g(x)=x3　f(x)=2x　②f(2021),g(2021),g(8),f(8)　[解析] (1)由表可知,增长速度最快的是y2,其次是y1,最后是y3,所以关于x分别呈对数增长、指数增长、幂增长的变量依次为y3,y2,y1,故选C.

(2)①当x足够大时,位于上方的图像对应的函数是指数函数f(x)=2x,另一个图像对应的函数就是幂函数g(x)=x3,故C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=2x.

②因为f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10),所以1<x1<2,9<x2<10,所以x1<8<x2,2021>x2.从图像上可以看出,当x1<x<x2时,f(x)<g(x),所以f(8)<g(8),当x>x2时,f(x)>g(x),所以f(2021)>g(2021),又g(2021)>g(8),所以f(2021)>g(2021)>g(8)>f(8).

拓展　2021x>x2021>log2021x　[解析] 对于三种函数,当自变量x为某一个足够大的数值时,指数函数的函数值最大,其次是幂函数的函数值,对数函数的函数值是最小的.

探究点二

例2　解:(1)由题知点(1,1.25),(4,2.5)在曲线P1上,则解得所以y1=.

由题知点(4,1)在曲线P2上,且c=0,

则1=4b,解得b=,所以y2=x.

(2)设投资甲商品x万元,则投资乙商品(10-x)万元,投资获得的利润为y万元,

则y=+(10-x)=-x+,

令=t∈[0,],则y=-t2+t+=-t-2+.

当t=,即x==6.25(万元)时,利润最大为万元,此时10-x=3.75(万元).

因此,当投资甲商品6.25万元,乙商品3.75万元时,所获得的利润最大为万元.

变式　解:(1)f(x)=5x,15≤x≤40,g(x)=

(2)令5x=90,得x=18,

即当15≤x<18时,f(x)<g(x),

当x=18时,f(x)=g(x),

当18<x≤40时,f(x)>g(x),

所以当15≤x<18时,选择甲健身中心比较合算,

当x=18时,两家健身中心一样合算,

当18<x≤40时,选择乙健身中心比较合算.

【课堂评价】

1.B　[解析] 易知对数函数增长的速度越来越慢,故选B.

2.B　[解析] 方法一:在同一平面直角坐标系中分别画出函数y=log2x,y=x2,y=2x的图像(图略),在区间(2,4)上从上往下依次是y=x2,y=2x,y=log2x的图像,所以x2>2x>log2x.

方法二:可取x=3,经检验易知选B.

3.C　[解析] 作出y=f(x),y=g(x),y=h(x)在区间(0,+∞)上的图像(如图所示),由图可知函数f(x)在区间(0,1)上递减较快,但递减速度逐渐变慢,在区间(1,+∞)上递减较慢,且递减速度越来越慢;函数g(x)在区间(0,+∞)上递减较慢,且递减速度越来越慢;函数h(x)在(0,+∞)上的递减速度越来越慢.

4.D　[解析] 经过1年,产量y=a(1+5%);经过2年,产量y=a(1+5%)2……经过x年,产量y=a(1+5%)x.

5.y=x2　[解析] ∵当x增加一定量时,y=x比y=ln x增长的量大,∴y=x2比y=xln x增长得要快.