高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数学案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数学案设计，共6页。


授课提示：对应学生用书第66页
[教材提炼]
知识点一 函数y＝ax与y＝kx间的增长比较(a＞1，k＞0)
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
函数y＝2x与y＝2x有几个交点，x在什么范围下，2x＞2x会恒成立？
知识梳理 (1)y＝ax(a＞1)与y＝kx(k＞0)在区间[0，＋∞)都单调递增．
(2)它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝ax的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝kx的增长速度．
因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，恒有ax＞kx.
知识点二 函数y＝lgax(a＞1)与y＝kx(k＞0)的增长比较
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
函数y＝lg x与y＝eq \f(1,10)x有几个交点，x在什么范围下，lg x＜eq \f(1,10)x会恒成立？
知识梳理 一般地，虽然对数函数y＝lgax(a＞1)与一次函数y＝kx(k＞0)在区间(0，＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着x的增大，一次函数y＝kx(k＞0)保持固定的增长速度，而对数函数y＝lgax(a＞1)的增长速度越来越慢．不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，lgax可能会大于kx，但由于lgax的增长慢于kx的增长，因此总会存在一个x0，当x＞x0时，恒有lgax＜kx.
知识点三 指数函数y＝ax与幂函数y＝xn(a＞1，n＞0)的增长比较
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
函数y＝2x与y＝x2有几个交点，x在什么范围下，有2x＞x2恒成立？
知识梳理 (1)在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度．因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就有xn(2)
[自主检测]
1．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( )
A．y＝2x
B．y＝10 000x
C．y＝lg3x
D．y＝x3
答案：A
2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f(x)可能是( )
A．y＝1－x－1，x∈(0，＋∞)
B．y＝eq \f(3,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，x∈(0，＋∞)
C．y＝ln x
D．y＝x－1，x∈(0，＋∞)
答案：C
3．三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如下表：
其中关于x呈指数增长的变量是________．
答案：y2
授课提示：对应学生用书第67页
探究一 根据函数的图象规律分析函数模型的增长趋势
[例1] 如图是四个不同形状，但高度均为H的玻璃瓶．已知向其中一个水瓶注水时，注水量与水深的函数关系如下图所示，试确定水瓶的形状是图中的( )
[解析] 看图显然图象从左向右，图象上升先快后慢，也就是说，向瓶中注入相同的水量(如单位体积)时，水的高度改变得越来越大．所以，如果向瓶中匀速注水，则水的高度上升速度先慢后快，注入相同的水，高度上升得快，说明瓶的这部分较细，同样如果水的高度上升得慢，说明瓶的这部分较粗，从图象上看，水的高度上升得越来越快，所以瓶子是下面较粗，越向上越细，所以水瓶的形状应是图B.
[答案] B
根据图象反映的增长、快慢、变化规律，直观想象函数模型的特征．
在2 h内将某种药物注射进患者的血液中．在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是( )
解析：注射时间为2 h，(0,2)内呈直线上升，当t＞2时呈指数衰减．A在(0,2)内不是直线上升．D中t＞2时，为负数，无意义．C衰减部分不是指数变化．故选B.
答案：B
探究二 几类函数变化差异的比较
[例2] 在同一直角坐标系内作出y1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，y2＝x－eq \f(1,2)，y3＝lgeq \f(1,2)x在(0，＋∞)上的图象，并比较这三个函数的变化有何差异．
[解析] 先作出三个具体函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，y＝x－eq \f(1,2)，y＝lgeq \f(1,2)x的图象，如图所示．
(1)这三个函数在(0，＋∞)上都是单调递减的．但递减速度不同．
(2)随着x的增大，函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的衰减速度越来越慢，并且一开始远远大于y＝x－eq \f(1,2)的衰减速度，但是它们始终大于0，而对于y＝lgeq \f(1,2)x，衰减速度也是越来越慢，并且当x＞1时，函数值小于0，会越来越小．因此，存在一个x0，当x＞x0时有.
比较函数衰减、增长的差异，根据图象的相对位置或者根据函数值的变化，进行比较．
函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．
(1)指出曲线C1，C2分别对应题中哪一个函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．
解析：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，
C2对应的函数为f(x)＝lg x.
(2)当x∈(0，x1)时，g(x)＞f(x)；
当x∈(x1，x2)时，g(x)＜f(x)；
当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞f(x)．
授课提示：对应学生用书第68页
一、谁与争峰——增长函数的选取与拟合
[典例] 政府气候变化专业委员会(IPCC)提供的一项报告指出：使全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中使CO2浓度增加．据测，1994年，1995年，1996年大气中的CO2浓度分别比1993年增加了1个可比单位，3个可比单位，6个可比单位．若用一个函数模拟九十年代中每年CO2浓度增加的可比单位数y与年份增加数x的关系，模拟函数可选用二次函数或函数y＝a·bx＋c(其中a，b，c为常数)，且又知1998年大气中的CO2浓度比1989年增加了16个可比单位，请问用以上哪个函数作模拟函数较好？
[解析] 若以f(x)＝px2＋qx＋r作模拟函数，则依题意得：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(p＋q＋r＝1,4p＋2q＋r＝3,9p＋3q＋r＝6))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(p＝\f(1,2),q＝\f(1,2)，,r＝0))∴f(x)＝eq \f(1,2)x2＋eq \f(1,2)x.
若以g(x)＝a·bx＋c作模拟函数，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ab＋c＝1,ab2＋c＝3,ab3＋c＝6))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(8,3),b＝\f(3,2)，,c＝－3))∴g(x)＝eq \f(8,3)·(eq \f(3,2))x－3.
利用f(x)，g(x)对1994年CO2浓度作估算，则其数值分别为：f(5)＝15可比单位，g(5)＝17.25可比单位，
∵|f(5)－16|<|g(5)－16|，
故f(x)＝eq \f(1,2)x2＋eq \f(1,2)x作模拟函数与1998年的实际数据较为接近，用f(x)＝eq \f(1,2)x2＋eq \f(1,2)x作模拟函数较好．
二、分析不精准致误
[典例] f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝lg2x，当x∈(2，＋∞)时，下列选项中正确的是( )
A．f(x)＞g(x)＞h(x)
B．g(x)＞f(x)＞h(x)
C．当x∈(2,4)时，g(x)＞f(x)＞h(x)，当x∈(4，＋∞)时，f(x)＞g(x)＞h(x)
D．当x∈(2,4)时，f(x)＞g(x)＞h(x)，当x∈(4，＋∞)时，g(x)＞f(x)＞h(x)
[解析] 画出函数的图象，如图所示，当x∈(4，＋∞)时，指数函数的图象位于二次函数图象上方，二次函数图象位于对数函数图象上方，故g(x)＞f(x)＞h(x)．
[答案] D
纠错心得 函数y＝a·bx＋c(b＞1，a＞0)图象的增长特点是随着自变量x的增大，函数值增大的速度越来越快，常形象地称为指数爆炸，如本例中，当x＞4时，g(x)＞f(x).
内 容 标 准
学 科 素 养
1.利用计算工具，比较指数函数、对数函数、幂函数、正比例函数增长的差异．
直观想象
数学抽象
2.结合实例，体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.
函数
性质
y＝ax(a>1)
y＝lgax(a>1)
y＝xn(n>0)
y＝kx(k＞0)
在(0，＋∞)上的增减性
增函数
增函数
增函数
增函数
增长的速度
先慢后快
先快后慢
相对平稳
固定不变
x
0
5
10
15
20
25
30
y1
5
130
505
1 130
2 005
3 130
4 505
y2
5
90
1 620
29 160
524 880
9 447 840
170 061 120
y3
5
30
55
80
105
130
155